高一数学教案Word文件下载.doc
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全体实数的集合记作R
注：
（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数0
（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：
如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、集合中元素的特性
（1）确定性：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：
集合中的元素没有重复
（3）无序性：
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
（二）集合的表示方法
1、列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，…，100}
所有正奇数组成的集合：
{1，3，5，7，…}
（2）a与{a}不同：
a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只
有一个元素
2、描述法：
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条
件写在大括号内表示集合的方法
格式：
{x∈A|P（x）}
含义：
在集合A中满足条件P（x）的x的集合
例如，不等式的解集可以表示为：
或
所有直角三角形的集合可以表示为：
（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分
如：
{直角三角形}；
{大于104的实数}
（2）错误表示法：
{实数集}；
{全体实数}
3、文氏图：
用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
4、何时用列举法？
何时用描述法？
⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：
集合
⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法
如：
集合；
集合{1000以内的质数}
例集合与集合是同一个集合吗？
答：
不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合=是函数的所有函数值构成的数集
（三）有限集与无限集
1、有限集：
含有有限个元素的集合
2、无限集：
含有无限个元素的集合
3、空集：
不含任何元素的集合记作Φ，如：
1.2子集全集补集
内容分析
在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系
本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质
本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
（1）回答概念：
集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图
（2）用列举法表示下列集合：
①{-1，1，2}
②数字和为5的两位数}{14，23，32，41，50}
（3）用描述法表示集合：
（4）集合中元素的特性是什么？
（5）用列举法和描述法分别表示：
“与2相差3的所有整数所组成的
集合”{-1，5}
问题：
观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q
（3）A={-2，4}，
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
（一）子集
1定义：
（1）子集：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一
个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集
合B，或集合B包含集合A
记作:
，AB或BA
读作：
A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记
作AB或BA
有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合
（2）集合相等：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B
（3）真子集：
对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：
AB或BA,读作A真包含于B或B真包含A
（4）子集与真子集符号的方向
（5）空集是任何集合的子集ΦA
空集是任何非空集合的真子集ΦA若A≠Φ，则ΦA
任何一个集合是它本身的子集
（6）易混符号
①“”与“”：
元素与集合之间是属于关系；
集合与集合之间是包含关系如ΦR，{1}{1，2，3}
②{0}与Φ：
{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
全集与补集
1补集：
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），
由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A
S
A
的补集（或余集），记作，即
CSA=
2、性质：
CS（CSA）=A，CSS=，CS=S
3、全集：
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示
1.3交集、交集
这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系
1．说出的意义
2．填空：
若全集U={x|0≤x＜6，X∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么
{0，2，4}{0，2，3，5}
3．已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C=.（答：
C={1，2}）
4．观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？
如上图，集合A和B的公共部分叫做集合A和集合B的交（图1的阴影部分），集合A和B合并在一起得到的集合叫做集合A和集合B的并（图2的阴影部分）．
观察问题3中A、B、C三个集合的元素关系易知，集合C={1，2}是由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的，即集合C的元素是集合A、B的公共元素，此时，我们就把集合C叫做集合A与B的交集，这是今天我们要学习的一个重要概念.
1．交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作AB（读作‘A交B’），
即AB=｛x|xA，且xB｝．
｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
又如：
Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则AB={c,d,e}．
2．并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．
记作：
AB（读作‘A并B’），
即AB={x|xA，或xB}）．
｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．
3、交集、并集的性质
用文图表示
（1）若AB,则AB=B,AB=B
（2）若AB则AB=AAB=A
（3）若A=B,则AA=AAA=A
（4）若A,B相交，有公共元素，但不包含
则ABA,ABB
ABA,ABB
（5））若A,B无公共元素，则AB=Φ
（学生思考、讨论、分析：
从图中你能看出那些结论？
）：
从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：
1．交集的性质
（1）AA=AAΦ=Φ，AB=BA
（2）ABA,ABB．
2．并集的性质
（1）AA=A
（2）AΦ=A（3）AB=BA（4）ABＡ,ABB
联系交集的性质有结论：
ΦABAAB．
3.德摩根律：
（CuA）（CuB）=Cu（AB）,
（CuA）（CuB）=Cu（AB）（可以用韦恩图来理解）．
结合补集，还有①A（CuA）=U,②A（CuA）=Φ．
容斥原理
一般地把有限集A的元素个数记作card（A）.对于两个有限集A，B，有
card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）．
三、讲解范例：
例1设A=｛x|x>
-2｝,B=｛x|x<
3｝，求AB.
解：
AB=｛x|x>
-2｝｛x|x<
3｝=｛x|-2<
x<
3｝．
例2设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求AB.
AB=｛x|x是等腰三角形｝｛x|x是直角三角形｝
=｛x|x是等腰直角三角形｝．
例3A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求AB.
AB=｛3,4,5,6,7,8｝．
例4设A=｛x|x是锐角三角形｝，B=｛x|x是钝角三角形｝，求AB.
AB=｛x|x是锐角三角形｝｛x|x是钝角三角形｝
=｛x|x是斜三角形｝．
例5设A=｛x|-1<
2｝,B=｛x|1<
3｝，求A∪B.
AB=｛x|-1<
2｝｛x|1<
3｝=｛x|-1<
说明：
求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；
利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题
例6（课本第12页）设A=｛（x,y）|y=-4x+6｝,B=｛（x,y）|y=5x-3｝,求AB.
AB=｛（x,y）|y=-4x+6｝｛（x,y）|y=5x-3｝
=｛（x,y）|｝=｛（1,2）｝
本题中，（x,y）可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．
形如2n（nZ）的整数叫做偶数，形如2n+1（nZ）的数叫做奇数，全体奇数的集合叫做奇数集全体偶数的集合叫做偶数集．
交集与并集性质例题
例1（课本第12页）设U=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,A=｛3,4,5｝,B=｛4,7,8｝,求CuA,CuB,（CuA）（CuB）,（CuA）（CuB）,Cu（AB）,Cu（AB）．
CuA=｛1,2,6,7,8｝CuB=｛1,2,3,5,6｝
（CuA）（CuB）=Cu（AB）=｛1,2,6｝
（CuA）（CuB）=Cu（AB）=｛1,2,3,5,6,7,8｝
例2已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=}求A∩B,A∪B．
A∩B={x|1≤x≤5},A∪B=R．
例3已知A={x|x2≤4},B={x|x>
a},若A∩B=Ф,求实数a的取值范围．
a≧2
例4集合M=｛（x,y）|∣xy∣=1,x＞0｝,N=｛（x,y）|xy=-1｝,求M∪N．
M∪N=｛（x,y）|xy=-1,或xy=1（x＞0）｝．
例5已知全集U={x|x2-3x+2≥0}，A={x||x-2|>
1}，B=，
求CUA，CUB，A∩B，A∩（CUB），（CUA）∩B
∵U={x|x2-3x+2≥0}＝{x|x1或x2}，
A={x||x-2|>
1}={x|x<
1或x>
3}，
B=={x|x1或x>
2}
∴CUA=
CUB=
A∩B=A={x|x<
3}，={x|x<
A∩（CUB）=
（CUA）∩B=
1.4逻辑联结词
学生在初中数学中，学习过简单的命题（包括原命题与逆命题）知识，掌握了简单的推理方法（包括对反证法的了解）．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．
这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．
一、复习引入：
命题的概念：
可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题
例如：
①11>
5②3是15的约数③0.7是整数
①②是真命题，③是假命题
反例：
④3是15的约数吗？
⑤x>
8
都不是命题，不涉及真假（问题）无法判断真假
“这是一棵大树”；
“x＜2”．都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x＜2”是否成立．
注意：
①初中教材中命题的定义是：
判断一件事情的句子叫做命题；
这里的定义是：
可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的
②判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；
不能判断真假的语句，就不是命题.
③与命题相关的概念是开语句例如，x<
2，x-5=3，（x+y）（x-y）=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）.
在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了．
二、讲解新课：
1．逻辑连接词
例⑥10可以被2或5整除；
（10可以被2整除或10可以被5整除）
⑦菱形的对角线互相垂直且平分；
（菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分）
⑧0.5非整数.（非“0.5是整数”）
逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
2．简单命题与复合命题：
简单命题：
不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
复合命题：
由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题
其实，有些概念前面已遇到过
或：
不等式-x-6>
0的解集{x|x<
-2或x>
3}
且：
不等式-x-6<
0的解集{x|-2<
x<
3}即{x|x>
-2且x<
3．复合命题的构成形式
如果用p,q,r,s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：
即：
p或q记作pÚ
qp且q记作pÙ
q
非p（命题的否定）记作Ø
p
释义：
“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA3B）；
又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如，“xA且xB”，是指x属于A，同时x也属于B（即xAB）.
“非p”是指p的否定，即不是p.例如，p是“xA”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即x）.
开语句：
语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）．也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句（有的逻辑书也称之为复合条件命题），这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同．在进行命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆．
例1（课本第26页例1）分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：
⑴24既是8的倍数，也是6的被数；
⑵李强是篮球运动员或跳高运动员；
⑶平行线不相交.
⑴这个命题是p且q的形式，其中p：
24是8的倍数，q：
24是6的倍数.
⑵这个命题是p或q的形式，其中p：
李强是篮球运动员，q：
李强是跳高运动员.
⑶这个命题是非p的形式，其中p：
平行线相交.
例2命题“方程|x|=1的解是x=±
1”中，使用逻辑联结词的情况是（）
A：
使用了逻辑联结词“或”B：
使用了逻辑联结词“且”
C：
使用了逻辑联结词“非”D：
没有使用逻辑联结词
判断复合命题真假的方法
1．“非p”形式的复合命题
例1
（1）如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.
（2））如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？
并判断其真假.
（1）中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.
（2）中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>
2”，其显然为真.
小结：
非p复合命题判断真假的方法
当p为真时，非p为假；
当p为假时，非p为真，即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示
非p
真
假
2．“p且q”形式的复合命题
例2．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.
p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；
p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）
“p且q”形式的复合命题真假判断
当p、q为真时，p且q为真；
当p、q中至少有一个为假时，p且q为假可用下表表示
p且q
3．“p或q”形式的复合命题：
例3．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.
p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；
p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）
“p或q”形式的复合命题真假判断
当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；
当p，q都为假时，“p或q”为假.即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真.可用下表表示.
p或q
像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.
在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.
例4（课本第28页例2）分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：
①p：
2+2=5，q：
3>
2；
②p：
9是质数，q：
8是12的约数；
③p：
1∈{1，2}，q：
{1}{1，2}；
④p：
φ{0}，q：
φ={0}.
①p或q：
2+2=5或3>
2；
p且q：
2+2=5且3>
非p：
2+25.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
②p或q：
9是质数或8是12的约数；
9是质数且8是12的约数；
9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
③p或q：
1∈{1，2}或{1}{1，2}；
1∈{1，2}且{1}{1，2}；
1{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
④p或q：
φ{0}或φ={0}；
φ{0}且φ={0}；
φ{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
4．逻辑符号
“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.
例如，“p或q”可记作“p∨q”；
“p且q”可记作“p∧q”；
“非p”可记作“┐p”.
数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别
“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：
一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个
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