窗函数法设计FIR数字低通滤波器-课程设计初稿.doc
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《数字信号处理》课程设计报告
题目窗函数法设计FIR数字低通滤波器
学院信息工程学院
专业通信工程
班级
学号
学生姓名
指导教师
二0一二年十二月
引言
数字化是控制系统的重要发展方向，而数字信号处理已在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天等领域广泛应用。
数字信号处理方法通常涉及变换、滤波、频谱分析、编码解码等处理。
数字滤波是重要环节，它能满足滤波器对幅度和相位特性的严格要求，克服模拟滤波器所无法解决的电压和温度漂移以及噪声等问题。
而有限冲激响应FIR滤波器在设计任意幅频特性的同时能够保证严格的线性相位特性。
利用FPGA可以重复配置高精度的FIR滤波器，使用VHDL硬件描述语言改变滤波器的系数和阶数，并能实现大量的卷积运算算法。
结合MATLAB工具软件的辅助设计，使得FIR滤波器具有快速、灵活、适用性强，硬件资源耗费少等特点。
FIR滤波器是最常用的组件之一，它完成信号预调、频带选择和滤波等功能。
FIR滤波器在截止频率的边沿陡峭性能虽然不及IIR滤波器，但是，考虑到FIR滤波器严格的线性相位特性和不像IIR滤波器存在稳定性的问题，FIR滤波器能够在数字信号处理领域得到广泛的应用。
FIR是有限冲激响应（FiniteImpulseResponse）的简称。
由线性系统理论可知，在某种适度条件下，输入到线性系统的一个冲击完全可以表征系统。
当我们处理有限的离散数据时，线形系统的响应（包括对冲击的响应）也是有限的。
若线性系统仅是一个空间滤波器，则通过简单地观察它对冲击的响应，我们就可以完全确定该滤波器。
通过这种方式确定的滤波器称为有限冲击响应（FIR）滤波器。
FIR滤波器是在数字信号处理（DSP）中经常使用的两种基本的滤波器之一。
FIR滤波器具有严格的相位特性，对于信号处理和数据传输是很重要的。
目前FIR滤波器的设计方法主要有三种：
窗函数法、频率取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。
常用的是窗函数法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。
用窗函数设FIR滤波器的基本思路：
从时域出发设计h（n）逼近理想hd（n）。
设理想滤波器的单位响应在时域表达为hd（n）,则Hd（n）一般是无限长的，且是非因果的，不能直接作为FIR滤波器的单位脉冲响应。
要想得到一个因果的有限长的滤波器单位抽样响应h（n）最直接的方法是先将hd（n）往右平移，再进行截断，即截取为有限长因果序列：
h（n）=hd（n）w（n），并用合适的窗函数进行加权作为FIR滤波器的单位脉冲响应。
按照线性相位滤波器的要求，线性相位FIR数字低通滤波器的单位抽样响应h（n）必须是偶对称的。
对称中心必须等于滤波器的延时常数，即用矩形窗设计的FIR低通滤波器，所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，且最大波纹大约为幅度的9%，这个现象称为吉布斯（Gibbs）效应。
为了消除吉布斯效应，一般采用其他类型的窗函数。
MATLAB设计FIR滤波器有多种方法和对应的函数。
窗函数设计法不仅在数字滤波器的设计中占有重要的地位，同时可以用于功率谱的估计，从根本上讲，使用窗函数的目的就是消除由无限序列的截短而引起的Gibbs现象所
带来的影响。
目录
一、课程设计的目的和意义 5
二、课程设计题目描述和要求 5
三、设计原理 5
1.基本原理 5
2.典型的窗函数 6
四、FIR滤波器的窗函数设计基本方法 9
1.FIR滤波器简介 9
2．函数设计法 10
3.几种数字滤波器的窗函数设计 10
3.1数字低通滤波器的窗函数设计 10
3.2利用海明窗设计Ⅱ型数字低通滤波器 13
五、设计步骤 14
六、心得体会 17
七、参考文献 18
一、课程设计的目的和意义
1、通过课程设计把自己在大学中所学的知识应用到实践当中。
2、深入了解利用Matlab设计FIR数字滤波器的基本方法。
3、在课程设计的过程中掌握程序编译及软件设计的基本方法。
4、提高自己对于新知识的学习能力及进行实际操作的能力。
5、锻炼自己通过网络及各种资料解决实际问题的能力。
二、课程设计题目描述和要求
关于窗函数法设计FIR数字低通滤波器
题目:
对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0≤f≤2kHZ内衰减小于1dB，阻带3kHZ≤f≤∞上衰减大于30dB。
希望对模拟信号采样后用线性相位FIR数字滤波器实现上述滤波，采样频率Fs=10kHZ。
要求:
用窗函数法设计满足要求的FIR数字低通滤波器，为了降低运算量，滤波器阶数尽量低。
三、设计原理
1.基本原理
设计低通FIR数字滤波器，寻求一系统函数，使其频率响应逼近滤波器要求的理想频率响应，其对应的单位脉冲响应
（1）
其中
如果所希望的滤波器的理想的频率响应函数为，则其对应的单位脉冲响应为
（2）
窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列逼近。
由于往往是无限长序列，而且是非因果的，所以用窗函数将截断，并进行加权处理，得到：
（3）
就作为实际设计的FIR数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数为
（4）
式中，N为所选窗函数的长度。
2.典型的窗函数
（1）矩形窗（RectangleWindow）
（5）
其频率响应和幅度响应分别为：
，（6）
（2）三角形窗（BartlettWindow）
（7）
其频率响应为：
（3）汉宁（Hanning）窗，又称升余弦窗
（8）
其频率响应和幅度响应分别为：
（4）汉明（Hamming）窗，又称改进的升余弦窗
（9）
其幅度响应为：
（5）布莱克曼（Blankman）窗，又称二阶升余弦窗
（10）
其幅度响应：
（6）凯塞（Kaiser）窗
（11）
其中：
β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。
I0（·）是第一类修正零阶贝塞尔函数。
若阻带最小衰减表示为，β的确定可采用下述经验公式：
若滤波器通带和阻带波纹相等即δp=δs时，滤波器节数可通过下式确定：
式中：
我们知道，用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数的类型及窗口长度N的取值。
设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N。
各种类型的窗函数可达到的阻带最小衰减和过渡带宽度见下表1
表1各种窗函数的基本参数
窗函数
旁瓣峰值幅度/dB
过渡带宽
阻带最小衰减/dB
矩形窗
-13
4π/N
-12
三角形窗
-25
8π/N
-25
汉宁窗
-31
8π/N
-44
哈明窗
-41
8π/N
-53
不莱克曼窗
-57
12π/N
-74
凯塞窗（α=7.865）
-57
10π/N
-80
这样选定窗函数类型和长度N之后，求出单位脉冲响应，并按照式（4）求出。
是否满足要求，要进行演算。
一般在尾部加零使长度满足2的整数次幂，以便用FFT计算。
如果要观察细节，补零点数增多即可。
如果不满足要求，则要重新选择窗函数类型和长度N，再次验算，直至满足要求。
如果要求线性相位特性，则还必须满足
（12）
根据上式中的正、负号和长度N的奇偶性又将线性相位FIR滤波器分成四类。
要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类，例如，要设计线性相位低通特性，可以选择这一类，而不能选择这一类。
我们在设计滤波器时，希望窗谱主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带，同时尽可能减小最大旁瓣的相对幅度，我们发现这是不可能的，因为这本身就是一个矛盾体，所以在设计滤波器时只是根据实际情况来选择合适的窗函数
主程序框图如图下图所示。
其中幅度特性要求用dB表示。
开始
读入窗口长度N
计算hd（n）
调用窗函数子程序求w（n）
调用子程序（函数）计算H（k）=DFT[h（n）]
调用绘图子程序（函数）绘制H（k）幅度相位曲线
结束
主程序框图
计算h（n）=hd（n）w（n）
四、FIR滤波器的窗函数设计基本方法
1.FIR滤波器简介
FIR数字滤波器设计最简单的方法是窗函数法，通常也称为傅立叶级数法。
它是在时域进行的，因而必须由理想滤波器的频率响应推导出其单位冲激响应，在设计一个FIR数字滤波器的单位冲激响应去逼近。
根据冲激响应的时域特性，数字滤波器可分为无限长冲激响应（IIR）和有限长冲激响应滤波器（FIR），FIR的突出优点是：
系统总是稳定的、易于实现线性相位、允许设计多通带（或多阻带）滤波器，但与IIR相比，在满足同样阻带衰减的情况下需要的阶数较高，滤波器的阶数越高，占用的运算时间越多，因此在满足指标要求的情况下应尽量减少滤波器的阶数。
2．函数设计法
窗函数设计法是一种通过截短和计权的方法使无限长非因果序列成为有限长脉冲应响应序列的设计方法，通常在设计滤波器之前，应该先根据具体的工程应用确定滤波器的技术指标，在大多数实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作，所以指标的形式一般为在频域中以分贝值给出的相对幅度响应和相位响应。
用窗函数法设计FIR滤波器的步骤如下：
（1）根据过渡带宽及阻带衰减要求，选择窗函数的类型并估计窗口长度N（或阶数M=N-1），窗函数类型可根据最小阻带衰减As独立选择，因为窗口长度N对最小阻带衰减As没有影响，在确定窗函数类型以后，可根据过渡带宽小于给定指标确定所拟用的窗函数的窗口长度N，设待求滤波器的过渡带宽为Δω，它与窗口长度N近似成反比，窗函数类型确定后，其计算公式也确定了，不过这些公式是近似的，得出的窗口长度还要在计算中逐步修正，原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择较小的N，在N和窗函数类型确定后，即可调用MATLAB中的窗函数求出窗函数W（n）。
（2）根据待求滤波器的理想频率响应求出理想单位脉冲响应hd（n），如果给出待求滤波器频率应为Hd（ejw），则理想的单位脉冲响应可以用下面的傅里叶反变换式求出：
（13）
在一般情况下，hd（n）是不能用封闭公式表示的，需要采用数值方法表示；从w=0到w=2π采样N点，采用离散傅里叶反变换（IDFT）即可求出。
（3）计算滤波器的单位脉冲响应h（n），它是理想单位脉冲响应和窗函数的乘积。
（4）算技术指标是否满足要求，为了计算数字滤波器在频域中的特性，可调用freqz子程序，如果不满足要求，可根据具体情况，调整窗函数类型或长度，直到满足要求为止。
使用窗函数法设计时要满足以下两个条件：
窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；
尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是使能量尽量集中于主瓣，减小峰肩和纹波，进行增加阻带的衰减。
3、几种数字滤波器的窗函数设计
3.1数字低通滤波器的窗函数设计
假设理想低通数字滤波器的频率响应，其幅频特性为。
那么该滤波器的：
式中表示截止频率（rad），表示采样延迟。
由此可得理想数字低通滤波器的单位冲激响应为：
（14）
根据式
（1），可知是一个以α为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd（n）作为h（n），则为要保证所得到是线性相位FIR滤波器，延时α应为h（n）长度N的一半,
α=（N-1）/2
（15）
其中WR（n）=RN（n）（为了表示一致）
设W（ejω）为该窗口函数的频谱:
用幅度函数和相函数来表示，则有。
其线性相位部分
e-jωα则是表示延时一半长度α=（N-1）/2，对频响起作用的是它的幅度函数
图1矩形窗函数及其幅度函数
理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式Hd（ejω）=Hd（ω）e-jωα
其中幅度函数为
二个信号时域乘积对应于频域卷积，所以有
如果也以幅度函数H（ω）和相位函数来表示H（ejω）,H（ejω）=H（ω）e-jw则实际FIR滤波器的幅度函数H（ω）为
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
为了满足工程上的需要，可以通过改变窗函数的形状来改善滤波器的幅度频率特性，而窗函数的选择原则是：
1）具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度；
2）旁瓣的幅度下降的速率要快，以利于增加阻带的衰减；
3）主瓣的宽度要窄，这样可以得到比较窄的过渡带。
通常上述的几点难以同时满足。
实际中设计FIR数字滤波器往往要求是线性相位的，因此要求满足线性相位的条件，即要求w（n）满足：
所以，窗函数不仅有截短的作用，而且能够起到平滑的作用，在很多领域得到了应用。
3.2利用海明窗设计Ⅱ型数字低通滤波器
技术指标
图2Ⅱ型数字低通滤波器冲激响应与幅度响应
五、设计步骤
（1）根据对阻带衰减及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。
本题要求设计的FIRDF指标：
通带截止频率：
阻带截止频率:
阻带最小衰减：
（2）用窗函数法设计FIR数字低通滤波器，为了降低运算量，希望滤波器的阶数尽量低，故应选择凯塞窗。
根据教材中公式（7.2.16）计算凯塞窗的控制参数为
指标要求过渡带宽度。
根据教材中公式（7.2.17）计算滤波器阶数为
取满足要求的最小整数M=16。
所以h（n）长度为N=M+1=17。
程序设计：
fp=2000;
fs=3000;
Fs=10000;
rs=30;
N=128;
n=0:
N-1;
wp=2*pi*fp/Fs;
ws=2*pi*fs/Fs;
Bt=ws-wp;
alph=0.5482*（rs-21）^0.4+0.07886*（rs-21）;
M=ceil（（rs-8）/2.285/Bt）;
wc=（wp+ws）/2/pi;
hn=fir1（M,wc,kaiser（M+1,alph））;
subplot（2,2,1）;
stem（hn,'filled'）;
xlabel（'n'）;
ylabel（'hn'）;
title（'hn波形'）;
hw=fft（hn,N）;
f=n*fs/N;
w=0:
0.01:
pi;
H=freqz（hn,1,w）;
subplot（2,2,2）;
plot（w/2/pi,abs（H））;gridon;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'Hg（w）/dB'）;
title（'幅频响应函数曲线'）;
subplot（2,2,3）;
plot（f/10000,angle（hw））;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'相位/rad'）;
title（'相位响应函数曲线'）;
subplot（2,2,4）;
plot（w,20*log10（H））;
xlabel（'w/π'）;
axis（[04-600]）
ylabel（'20lg|H|'）;
title（'损耗函数曲线'）;
六、心得体会
通过本次课程设计，我巩固了课堂中学习的理论知识，并能够用所学习的理论知识正确分析数字信号处理的基本问题，和解释数字信号处理的基本现象，掌握了用窗函数法设计FIR数字低通滤波器的正确方法和步骤，以及用MATLAB软件编写程序实现该滤波器的仿真，还学到了一些用所学知识解决实际问题的技巧。
还体会到了与其他高级语言的程序设计相比，MATLAB环境下可以更方便、快捷地设计具有严格线性相位的FIR滤波器，节省大量的编程时间，提高编程效率，且参数的修改也十分方便，还可以进一步进行优化设计。
另外，由于课本知识掌握的不牢固和MATLAB软件编程环境的不熟悉，在课程设计的过程中也遇到了一些难题，例如不知道用窗函数法设计FIR数字低通滤波器的详细方法和步骤，题目所给的参数不知道如何转换成低通滤波器的技术指标，还有此程序指令的MATLAB实现也让我们很头疼。
最后通过认真看了几遍课本和其他有关书籍，网上查阅相关资料，才使得这些问题得以解决。
我们也都深深意识到了团队合作的重要性，任务的完成需要两个人的密切配合，合理的分工与合作，共同面对和解决设计中遇到的各种问题，才能值得此次课程设计逐渐趋于完善。
最后还要感谢刘振老师对我们这次课程设计的指导。
七、参考文献
[1]丁玉美,高西全.数字信号处理.西安电子科技大学出版社,2001,第二版.
[2]万永革.数字信号处理的MATLAB实现.科学出版社，2007.
[3]胡广书.数字信号处理.清华大学出版社，1998.
[4]薛山.MATLAB基础教程.清华大学出版社，2011.
[5]陈怀琛,吴大正,高西全.MATLAB及在电子信息课程中的应用.电子工业出版社,2003.
[6]陈怀琛.数字信号处理教程—MATLAB释义与实现.电子工业出版社,2004.
[7]李娟.MATLAB平台下的FIR数字滤波器设计与分析.高师理科学刊,2010,第03期.
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