窗函数设计FIR滤波器.docx
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窗函数设计FIR滤波器
（式3.2.1）
由于
是矩形频率响应特性，故
一定是无限长序列，且是非因果的，而FIR滤波器的
必然是有限长的，所以要用有限长的
来逼近无限长的
，最有效的方法是截断
或者说用一个有限长度的窗口函数序列
来截取
，即
（式3.2.2）
因而窗函数序列的形状及长度的选择就是关键。
我们以一个截止频率为
的线性相位的理想矩形幅度特性的低通滤波器为例来讨论。
设低通特性的群延时为
，即
（式3.2.3）
这表明，在通带
≤
范围内，
的幅度是均匀的，其值为1，相位是
。
利用
（1）式可得
（式3.2.4）
是中心点在
的偶对称无限长非因果序列，要得到有限长的
，一种最简单的方法就是取矩形窗
，即
但是按照线形相位滤波器的约束，
必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半（N-1）/2，因而必须
=（N-1）/2，所以有
（式3.2.5）
将（式3.2.4）代入（式3.25），可得
（式3.2.6）
此时，一定满足
这一线性相位的条件。
下面求
的傅里叶变换，也就是找出待求FIR滤波器的频率特性，以便能看出加窗处理后究竟对频率响应有何影响。
按照复卷积公式，在时域是相乘、频域上是周期性卷积关系，即
（式3.2.7）
因而
逼近
的好坏，完全取决于窗函数的频率特性
。
窗函数
的频率特性
为
（式3.2.8）
对矩形窗
，则有
（式3.2.9）
也可表示成幅度函数与相位函数
（式3.2.10）
其中
（式3.2.11）
就是频域抽样内插函数，其幅度函数
在
之内为一个主瓣，两侧形成许多衰减振荡的旁瓣，如果将理想频率响应也写成
（式3.2.12）
则其幅度函数为
（式3.2.13）
波器；
调用格式：
b=fir1（N,Wn）;
b=fir1（N,Wn,‘high’）;
b=fir1（N,Wn,‘stop’）;
参数说明：
N：
阶次，滤波器长度为N＋1；
Wn：
通带截止频率，其值在0～1之间，1对应Fs/2；
b:
滤波器系数。
在上述所有格式中，若不指定窗函数的类型，fir1自动选择Hamming窗。
2）fir2：
用来设计具有任意幅度响应的FIR滤波器。
调用格式：
b=fir2（N,F,M）;
参数说明：
F是频率向量，其值在0～1之间；
M是和F相对应的所希望的幅频相应。
如同fir1,缺省时自动选用Hamming窗。
3）为了观测到设计出来的滤波器的特性，用freqz得到频率响应。
其中在画频率响应的时候我们分为幅度和相位画出。
又因为我们要观测的是衰减的大小程度，以dB为单位，所以我们在画幅度的时候纵坐标应该转换成dB。
4）为了观测是否滤除已知频率，用filte（b,1,a）函数来实现，对信号的滤波实验。
3.6实验所用MATLAB函数说数
1[H,w]=freqz（b,a,N）
b和a分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，返回量H则包含了离散系统频响在0～pi范围内N个频率等分点的值（其中N为正整数），w则包含了范围内N个频率等分点。
调用默认的N时，其值是512。
可以先调用freqz（）函数计算系统的频率响应，然后利用abs（）和angle（）函数及plot（）函数，绘制出系统的频响曲线。
2Wn=kaiser（N,beta）
列向量wn中返回长度为N的凯塞——贝塞尔窗函数w（n）。
3ceil（x）
是取大于等于x的最小整数。
4fir1
使用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器的工具箱函数。
本函数在3.5中有详细介绍。
4.设计内容
4.1用MATLAB设计程序如下
clear;fs=500;t=（1:
250）/fs;
x=10*cos（2*pi*20*t）+cos（2*pi*80*t）+10*cos（2*pi*120*t）;
L=length（x）;N=2^（nextpow2（L））;Hw=fft（x,N）;
figure
（2）;subplot（2,1,1）;plot（t,x）;
gridon;title（'滤波前信号x'）;xlabel（'时间/s'）;%原始信号
subplot（2,1,2）;plot（（0:
N-1）*fs/L,abs（Hw））;%查看信号频谱
gridon;title（'滤波前信号频谱图'）;xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅|H（e^jw）|'）;
Ap=0.25;As=20;%定义通带及阻带衰减
dev=[10^（-As/20）,（10^（Ap/20）-1）/（10^（Ap/20）+1）,10^（-As/20）];%计算偏移量
mags=[0,1,0];%带通
fcuts=[30,50,90,110];%边界频率
[N,Wn,beta,ftype]=kaiserord（fcuts,mags,dev,fs）;%估算FIR滤波器阶数
hh2=fir1（N,Wn,ftype,kaiser（N+1,beta））;%FIR滤波器设计
[hn,w1]=freqz（hh2,1,512）;%求解数字滤波器的频率响应
figure（5）
stem（hh2）
title（'hh2波形'）
figure
（1）%绘图
subplot（2,1,1）
plot（w1/pi,20*log10（abs（hn）））
grid
xlabel（'频率w'）;ylabel（'幅度/db'）;
subplot（2,1,2）
plot（w1/pi,angle（hn））
grid
xlabel（'频率w'）;ylabel（'相位/rad'）;
y=cos（2*pi*80*t）
y=filter（hh2,1,x）;%滤波
y（1:
ceil（N/2））=[];%群延时N/2，删除无用信号部分
L=length（y）;N=2^（nextpow2（L））;Hw_2=fft（y,N）;
figure（3）;subplot（2,1,1）;plot（t（1:
L）,y）;
gridon;title（'y=cos（2*pi*80*t）'）;xlabel（'时间/s'）;
subplot（2,1,2）;plot（（0:
N-1）*fs/L,abs（Hw_2））;%查看信号频谱
gridon;title（'滤波后信号y频谱图'）;xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'振幅|H（e^jw）|'）;
4.2结果分析
实验的第一幅图是滤波器的频率、相位图，第二幅是产生的原始信号的图，后一幅图是滤波后的图，从图上的信号变化可以看出，基本以达到滤波的要求，达到实验目的。
结果的不理想可能是在选取参数上有些不同。
5总结
本次课程设计对我的收获是很大的，经过两天的自我学习及设计滤波器，让我对滤波器有了更深刻的了解，编程中的错误也为我敲响了我的失误点，让我及时改正，编程的不断修改和完善，是对知识了解的一种透彻表现。
对不懂得函数查资料，也是一种对知识了解得渴望。
本次课题的顺利完成对我的学习起到了很大的推进作用。
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