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二、简单的线性规划问题
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
（1）在平面直角坐标系内作出可行域．
（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
（3）确定最优解：
在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
（4）求最值：
将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
x＋y≥3，
5.
（1）设变量x，y满足约束条件：
x－y≥－1，则目标函数z＝y＋x1的最小值2x－y≤3，
为（）
A．1B．2
C．3D．4
（2）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每
投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，
该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）
A．36万元B．31.2万元
D．24万元
C．30.4万元
5.[解析]
（1）不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC，目标函数的几何意义是区域内的点与点P（0，－1）连线x＋y＝3，的斜率，显然图中AP的斜率最小．由解得点A
2x－y＝3
y＋11＋1
的坐标为（2,1），故目标函数z＝＋x的最小值为＋2＝1.
（2）设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，x＋y≤60，
2
则x≥3y，
x≥5，
y≥5.
目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.
[答案]
（1）A
（2）B
注：
（1）求目标函数最值的一般步骤为：
一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
（2）在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．
2x＋y－6≤0，
表示的平面区域的面积为（）
6．不等式组x＋y－3≥0，y≤2
B．1
D．无穷大
2x＋y－6≤0，
解析：
选B不等式组x＋y－3≥0，表示的平面y≤2
区域如图所示（阴影部分），△ABC的面积即为所求．求出点
A，B，C的坐标分别为（1,2），（2,2），（3,0），则△ABC的面
1
积为S＝2×（2－1）×2＝1.
x≥0，
7．已知实数x，y满足y－x＋1≤0，若z＝y－ax取得最大值时的最优解y－2x＋4≥0，
（x，y）有无数个，则a＝.
解析：
依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.
答案：
1
8．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准
的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1800元，为了使年利润
达到最大值，第一种机器应购买台，第二种机器应
购买台．
解析：
设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总
3x＋5y≤135，
的年利润为z万日元，则50x＋20y≤1800，目标函数为z
x，y∈N，
＝9x＋6y.
不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．
当直线z＝9x＋6y经过点M61390，11395，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点（33,7），此时
z＝9x＋6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．
答案：
337
三、基本不等式
基本不等式的常用变形
（1）a＋b≥2ab（a>0，b>0），当且仅当a＝b时，等号成立；
（2）a2＋b2≥2ab，ab≤a＋2b2（a，b∈R），当且仅当a＝b时，等号成立；ba
（3）ab＋ab≥2（a，b同号且均不为零），当且仅当a＝b时，等号成立；11
（4）a＋a≥2（a>0），当且仅当a＝1时，等号成立；a＋a≤－2（a<0），当且仅当a＝－1时，等号成立．
9.
（1）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（）
2428
A.5B.5
C．5D．6
（2）若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是（）
C．2
D.54
13
［解析］
（1）由x＋3y＝5xy可得5y＋5x＝1，
1
即x＝1，y＝21时，等号成立，
∴3x＋4y的最小值是5.
（2）由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×（2x）×（3y）＋3xy（当且仅当2x＝3y时等号成立），∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
[答案]
（1）C
（2）C注：
条件最值的求解通常有两种方法：
一是消元法，即根据条件建立两个量之间
的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
22
10．已知x＋y＝1（x>0，y>0），则x＋y的最小值为（）
xy
A．1B．2
C．4D．8
解析：
选D∵x>0，y>0，∴x＋y＝（x＋y）
＝8.
当且仅当xy＝xy，即x＝y＝4时取等号．
yx
11
11．设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋y2x2＋4y2的最小值为．
1111
解析：
x2＋y2x2＋4y2＝5＋x21y2＋4x2y2≥5＋2x21y2·x42y2＝9，当且仅当x2y2
1
＝21时“＝”成立．
答案：
9
12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入61（x2－600）万元作为1技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：
当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？
并求出此时每件商品的定价．
解：
（1）设每件定价为t元，依题意，有[8－（t－25）×0.2t]≥25×8，
整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
11
（2）依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋6（x2－600）＋5x有解，
等价于x>25时，a≥1x50＋61x＋51有解．∵1x50＋61x≥215x0·16x＝10（当且仅当x＝30时，等号成立），
∴a≥10.2.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．
巩固练习：
11
1．若aba
A．a＋b0
C．abb2
11
解析：
选D由<<0，可得bab
2．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于（）
A．－3B．1
C．－1D．3
解析：
选A由题意：
A＝｛x|－1a＝－1，b＝
－2，∴a＋b＝
－3.
x
2＋2
3．函数y＝（x>1）的最小值是（）
x－1
A．23＋2
B．23－2
C．23
D．2
解析：
选A
∵x>1，∴x－
1>0.
x2＋2
x2－2x＋2x＋2
∴y＝x－1＝
x－1
x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1
x－12＋2x－1＋3
x－1
33
＝x－1＋x－31＋2≥23＋2当且仅当x－1＝x－31，即x＝3＋1时等号成立．
x≥0，
4．（2017·浙江高考）若x，y满足约束条件x＋y－3≥0，则z＝x＋2y的取
x－2y≤0，
值范围是（）
B．[0,4]
A．[0,6]
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－
2
2z的最大值为（）
A．0B．1
C.94D．3
∴A（1,3）．∴xy的最大值为3.
答案：
3
>“”≥”“≤”或“<”．）
解析：
因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
t＋1
因为t>0，所以＋2≥t，
所以logat＋21≥logat＝21logat.
答案：
≤
9．（2017·全国卷Ⅲ）若x，y满足约束条件
x－y≥0，
x＋y－2≤0，则z＝3x－4y的最小值为．
y≥0，
解析：
作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：
3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A（1,1）时，z取得最小值，最小值为3－4
＝－1.
答案：
－1
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，
生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）．
（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：
（1）依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3（100－x－y）＝2x＋3y＋300.
（2）约束条件为：
x＋3y≤200，
x＋y≤100，整理得
x∈N，
y∈N，
5x＋7y＋4100－x－y≤600，100－x－y≥0，x∈N，
y∈N，
目标函数为W＝2x＋3y＋300，如图所示，作出可行域．初始直线移初始直线经过点A时，W有最大值，x＋3y＝200，
由
x＋y＝100，
得x＝50，
得
y＝50.
最优解为A（50,50），所以Wmax＝550（元）．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯利润总和．
（注：
f（n）＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额）
（1）从第几年开始获利？
（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？
为什么？
解：
由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f（n）＝－2n2＋40n－72.
（1）获利就是要求f（n）>0，所以－2n2＋40n－72>0，解得2（2）①年平均利润＝fnn＝40－2n＋3n6≤16.
当且仅当n＝6时取等号．
故此方案共获利6×16＋48＝144（万美元），此时n＝6.
②f（n）＝－2（n－10）2＋128.
当n＝10时，f（n）max＝128.
故第②种方案共获利128＋16＝144（万美元），
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．
12．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，bb－3
∈R，求－的最大值和最小值．
a－1
解：
设f（x）＝x2＋ax＋2b，
由题意f（x）在［0,1］和［1,2］上各有一个零点，
f0≥0，b≥0，f1≤0，即a＋2b＋1≤0，
f2≥0，a＋b＋2≥0，
aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图．由
建立平面直角坐标系
a＋2b＋1＝0，
a＋b＋2＝0，
a＝－3，解得ba＝＝－1，3，即C（－3,1）．
令k＝，可以看成动点P（a，b）与定点A（1,3）的连线的斜率．
a－1
31
又B（－1,0），C（－3,1），则kAB＝2，kAC＝2，
1b－33b－331
∴≤≤.故的最大值是，最小值是.
2a－12a－122
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