数学思想方法在教学中的应用.docx

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数学思想方法在教学中的应用

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数学思想方法在教学中的应用

初中数学教学大纲指出：

“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。

”新大纲中把数学思想和方法视为数学的基础知识，于是学习和掌握数学思想方法是至关重要的，也是全面提高初中学生的数学素质，推进素质教育的重要一环。

而数学思想和方法对增强学生数学观念，培养学生良好数学素质起着重要作用，也利于开拓型、创造型人才的培养。

因此，在初中数学教学中加强数学思想和方法的教学意义重大。

所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。

所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。

数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。

数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。

在实现教学目的的过程中，数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势，它是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。

因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。

从初中阶段就重视数学思想方法的渗透，将为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益。

一、初中数学教学应渗透的思想方法

1、分类讨论思想

分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。

分类是数学发现的重要手段。

在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

例如，教材中给实数的定义是“有理数与无理数统称为实数”，这个定义揭示了实数的内涵与外延，这本身就体现出分类思想方法。

在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：

⑴折痕是圆周角的一条边，⑵折痕在圆周角的内部，⑶折痕在圆周角的外部。

验证时，要分三种情形来说明，这里实际上也体现了分类讨论的思想方法。

还有，对三角形全等识别方法的探索，教材中的思考题：

如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？

同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时要让学生体验这种思想方法。

2、数形结合思想

一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。

初一教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础。

有理数的大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题中的画图分析等，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到锻炼。

数形结合在各年级中都得到充分的利用。

例如，点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定，直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定，圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。

又如，勾股定理结论的论证、函数的图象与函数的性质、利用图象求二元一次方程组的近似解、用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。

再如，有理数的加法法则、乘法法则，不等式组的解集的确定都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的；实践与探索中行程问题教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系。

在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。

整体思想在初中教材中体现突出，如在实数运算中,常把数字与前面的“＋，－”符号看成一个整体进行处理；又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等；再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理，如：

（a+b+c）2=[（a+b）

2+c]视（a+b）为一个整体展开等等，这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。

化归思想是数学思想方法体系主梁之一。

在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。

如已知（x+y）2=11,xy=1求x2+y2的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，则易得:

原式=9；又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,

这都是化归思想在实际问题中的具体体现。

再如解方程（组）通过“消元”、“降次”最后求出方程（组）的解等也体现了化归思想；

化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。

化归的手段是多种多样的,其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。

实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。

如在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到了代数和的概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆的两种运算得到统一。

又如，对等腰梯形有关性质的探索，除了教材中利用轴对称方法外，还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。

除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：

多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答„„

变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。

解方程中的同解变换，定律、公式中的命题等价变换，几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。

具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换，从正反、互逆等进行变换考虑问题,但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题，因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。

例：

四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF.求证:

DE=BF.

这道题若是由已知向后推理较难把握方向，但用变换方法寻找证法比较易：

要证DE=BF，只要证△ADE≌△CBF（证△ABFE≌△CDE也可）；要证△ADE≌△CBF，因题目已知BC=DA，AE=CF，只要证∠DAE=∠BCF；要证∠DAE=∠BCF，可由△ABC≌△CDA得到，而由已知条件AB=CD,BC=DA,AE=CF不难得到△ABC≌△CDA。

这样问题就解决了。

所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。

比较是一切理解和思维的基础，随着学习的不断深入，学生要掌握越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。

例如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同，明确因式分解与整式乘法是恒等变形，又是互逆运算。

如（a+b）（a-b）=a2－b2是整式乘法，a2－b2=（a+b）（a-b）是因式分解。

在不等式的解法教学时，可以对比一元一次方程解法：

去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1这些步骤是一样的。

当然，要特别比较化系数为1时两者的不同之处。

又如，全等三角形是相似三角形在相似比为1时的特例，两个三角形相似和全等有它特定的内在联系，因此，全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。

再如，轴对

称图形、旋转对称图形、中心对称图形是意义不尽相同的概念，通过类比可以发现它们之间的异同，从而加深对这几个概念的本质属性的认识。

类比要点如下图：

初中数学教材中,专辟了介绍统计初步知识的内容（旧课标放在初三代数部分的最后一章，新课标分散于各个年级）,就是要求学生从中提炼并掌握一些处理数据的方法,并用来解决一些实际问题。

二、初中数学教学应如何加强数学思想方法的渗透

1.提高渗透的自觉性

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。

教师讲不讲，讲多少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。

对于学生的要求是能领会多少算多少。

因此，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。

其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

2.把握渗透的可行性

数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。

因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。

同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

3.注重渗透的渐进性和反复性

数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。

为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”。

因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。

其次要注意渗透的长期性。

应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。

数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。

总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,依据课本内容和学生的认知水平,从初一开始就有计划的渗透,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。

研读新课标理解新教材走进新中考

宝应县城郊初级中学郭义兵

尊敬的王玉宏主任，尊敬的各位数学同仁：

凛冽的寒风只能带来严冬的冷意，但带不走我们学习的热情!

粗浅的报告只能带来学习的体会，但要带走大家实践的智慧!

伟大的法国建筑家列·柯尔伯齐曾说：

“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学”。

是的，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、翻转、放大缩小的电视画面„„这一切的一切，就是我们籁以生存的生活空间，这就是每时每刻都在我们眼前闪动的美丽图形。

下面我就以《空间与图形》这一知识板块为话题，谈谈我对课标的理解，教材的认识，以及中考教学的思考。

我发言的题目是《研读新课标理解新教材走进新中考》，想从以下三个方面向大家汇报。

一是新课标的研读

二是新教材的理解

三是新中考的建议

关于新课标的学习体会，我想从以下几个方面加以说明

一是实施新课标前的几何教学现状

二是“空间与图形”的学习价值

三是从“几何”到“空间与图形”，课标作了哪些改革？

一、实施新课标前的几何教学现状

20世纪80年代以来我国数学教学大纲、教材经历了多次改革，但从“几何”的课程内容和目标看：

初中阶段仍然主要是运用演绎推理的方法、依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质；同时教学内容的呈现方式比较单一（图形的概念——图形的性质定理或判定定理——证明，严格的演绎推理——进一步证明其他命题）。

由于几何内容缺少与现实生活的紧密联系，过分强调演绎推理和形式化证明，使得“几何”的直观优势没有得到充分发挥，学生的空间观念没有得到真正有效的发展。

在几何教学，为了对付中考，教学往往超出课本要求，让学生用大量的时间做复杂的几何证明题（一个证明题常常是要添2—3辅助线，用到5—6个定理）导致许多学生怕学几何、甚至厌恶几何，从而丧失学习数学的兴趣和信心。

课程改革前的几何教学这现状说明了我们没有充分认识到“几何”的教育价值，因此也就不可能全面、充分地利用“几何”的价值。

二、“空间与图形”的学习价值

为了使我们更好地认识《空间与图形》的学习价值，让我们先来学习一遍课标对这一知识块的宏观目标要求，具体的教学目标要求（知识与技能，数学思考，解决问题，情感态度）：

在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。

“空间与图形”的教学目标和内容结构：

知识技能目标1．经历探索物体与图形的基数学思考目标内容结构1．图形的认识本性质、变换、位置关系的过程；．在探索图形的性点、线、面；角；相交线与平行线；三角12．掌握三角形、四边形、圆质、图形的变换以及形；四边形；圆；尺规作图；视图与投影。

的基本性质以及平移、旋转、轴平面图形与空间几何2．图形与变换

段对称、相似等的基本性质；体的相互转换等活动轴对称、平移、旋转、相似、位似3．初步认识投影与视图；过程中，初步建立空3．图形与作标4．掌握基本的识图、作图等间观念，发展几何直平面直角坐标系、图形应变换后点的坐标技能；觉。

的变化、确定物体的位置5．体会证明的必要性，能证2．体会证明的必要4．图形与证明明三角形和四边形的基本性质，性，发展初步的演绎证明的含义（必要性），掌握基本的推理技能。

推理能力。

证明的基本依据4条（公理）

个命题（定理）

证明题的难度不得超过上述定理的难度。

学习方式以探究为主要求证明的命题三角形四边形方面的近40

作为数学课程的四大内容之一，“空间与图形”主要是研究现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。

《标准》将“几何”拓展为“空间与图形”，就是为了突出几何“更好地认识和描述现实空间”的作用。

（一）空间与图形的学习，有助于学生更好地认识和理解人类生活的空间，获得必需的基础知识和基本技能。

人们认识周围世界的物体，常常要描述物体的形状、大小并用恰当的方式表示物体之间的位置关系。

而图形直观、几何模型、以及几何图形的性质，是准确描述现实世界空间关系和解决学习、生活和工作中各种问题的必备工具。

在现代社会，不论人们从事什么活动，都会经常遇到各种图形的量（长度、面积、角度、体积等等）的计算，各种基本图形（如三角形、四边形、多边形、圆等等）的性质和作图问题。

（二）空间与图形的学习，有助于学生发展空间观念和几何直觉，形成创新意识。

空间观念一般是指：

（1）能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状；

（2）能够由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；

（3）能够根据条件作出或画出图形，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；

（4）能根据条件做出立体模型；

（5）能描述实物或几何图形的运动与变化；

（6）能采用适当的方式描述物体间的位置关系；

（7）能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

几何直觉是具有意识的人脑对于数学对象、结构以及规律性的敏锐的空间想象和迅速的判断，是想象和判断的有机结合。

几何直觉是一种直觉思维。

在“空间与图形”学习中，学生常常要经历从实际背景中抽象出几何模型，探索基本图形的基本性质及其相互关系。

由于几何具有直观、形象的特点，更易于从现实中抽象出数学概念、理论、方法。

这些对空间观念和几何直觉的发展，有着不可替代的作用。

吴文俊院士指出“几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉。

不能把几何学等同于逻辑推理。

应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止。

只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的”。

M.Atiyan：

几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位。

几何直觉仍是增强数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。

创新，源于“问题”、始于直觉，与数学的其他分支相比，几何图形的直观形象，为学生进行自主探索、创新的活动，提供了更有利的条件。

在解决空间与图形问题时，学生往往要运用观察、操作、猜想、作图、与设计等各种手段，在借助图形直观、进行合情推理的过程中，学生能增强好奇心，加深对数学的理解，激发出潜在的创造力，逐步形成创新意识。

（三）“空间与图形”的学习，有助于发展学生推理能力

《标准》在“空间与图形”中尽管削弱了逻辑证明的要求，但《标准》对“证明”仍提出明确的要求：

“从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想”。

可见《标准》在“空间与图形”中，建构了一个局部公理化的体系，在这个体系中，“图形的证明”应该是培养学生逻辑推理能力的有效途径。

同时《标准》还强调了在引导学生探索图形性质的过程中，注重培养学生进行合情推理、有条理的思考与表达。

这样将会使学生的推理能力得到完整的发展。

在空间与图形的教学中，让学生经历对图形性质的探索、发现和证明的完整过程，既有助于学生对图形的性质有真正的体会和理解，防止学生对于图形性质的机械记忆；又有助于学生逐步学会合情推理与演绎推理的方法，体验数学推理的作用和证明的意义。

当然，除了“空间与图形”，其他内容（比如在初中阶段的数与代数、统计与概率、实践和综合应用）中可以而且也应该担负起培养学生推理能力的任务，但“空间与图形”的学习特点决定了它是培养学生的推理能力的主要途径。

为了更好地认清“空间与图形”在课标中的地位和作用以及更好地比照与原大纲中“几何”的异同点，我们先来认识和了解一下“空间与图形”的内容结构。

（见前表）

三“空间与图形”内容的改革

1．内容的结构有较大变化

《标准》不再以欧几里得的公理体系为主线，不是严格按照知识的逻辑顺序呈现这个领域，而是把“空间与图形”分为“图形的认识、图形变换、图形与坐标、图形与证明”等四条线索展开，《标准》对内容呈现的顺序也不作任何规定。

空间与图形的这四条线索是同时进行的，没有先后之分，往往是交织在一起的。

每个学段都包含这四部分内容，后一学段都是前一学段的螺旋式上升和自然发展。

从小学到初中，只是认识和感受图形的方式方法不同、理解的水平程度不同。

所谓相互交织就是说，在图形的认识中了解图形的变换，利用图形的变换认识图形的一些性质。

2．内容的呈现方式有根本性的变化

《标准》提倡内容的呈现以“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的为基本形式，让学生经历知识的探索、发现、形成、应用和发展的过程，经历把实际问题转化为数学问题（数学化），和再发现的过程；改变原来采用的“公理、定义——定理、证明——例题、习题”的内容呈现形式。

3．加强的方面

（1）强调内容要联系现实背景，联系学生生活经验和活动经验

《标准》强调“空间与图形”内容的选取应是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，紧密联系学生的生活经验和活动经验，拓宽几何学习的背景。

《标准》还强调内容呈现方式的多样化，突出数学活动的过程，提倡个性化的学习方式和策略，以及问题的开放性，这都为学生富有个性的发展提供了充分的时间和空间。

《标准》要求学习内容的呈现力求体现“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展“的模式。

（2）加强了“图形与变换”和“图形与坐标”的有关内容

《标准》把“图形变换”作为“空间与图形”的四大内容之一，从第一学段到第三均作了安排，第三段“图形变换”包括：

图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转、图形的相似

图形的轴对称中加强了轴对称图形的画法，轴对称图形在生活中的应用（图案设计等）；

图形的平移：

在过去大纲中没有作为一项内容单独提出来，第三学段学习要求是：

通过具体实例认识平移，探索它的性质，理解对应点连线平行且相等的性质。

能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

图形的旋转：

除中心对称图形，还包括了绕旋转中心转任意角度的图形，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；要能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；欣赏旋转在现实生活中的运用。

多种变换的组合：

探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

图形的相似：

是对原“相似三角形”部分进行重要改革，由过去注重相似三角形判定和性质定理及其相关的证明，转向从图形变换的角度来认识相似图形。

注重对相似图形认识及相似在生活中的应用（测量旗杆的高度）。

要求学生探索相似三角形的性质和相似条件；了解图形的位似变换、能够利用位似将一个图形放大或缩小。

《标准》把“图形与坐标”也作为“空间与图形”的四个主要内容之一，目的并不再于让学生获得新的几何结论和事实，而是给学生多提供一种研究图形的手段和方法，使学生会利用坐标来描述和探究图形的位置关系，在同一坐标系中感受图形变换前后点的坐标的变化。

“图形与变换”和“图形与坐标”的学习，可以使学生感受用坐标、变换、推理等多种方式认识现实空间和处理几何问题，掌握刻画现实空间关系和认识图形特征的工具。

（3）《标准》增加了视图与投影等内容，加强平面图形与立体图形间的转化的要求。

这部分内容的学习可以使学生认识立体图形与平面图形之间的关系，以及用平面图形来描述几何体或物体在生活中的作用。

向学生提供了认识空间图形的一些手段和方法。

视图与投影包括：

会画基本几何体的三视图（如直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图）；会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型；

了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；

了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实中的应用（如物体的包装）；

通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎样形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光下或灯下，观察手的阴影或人的身影）；

了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面和立体图形中表示；

通过实例了解中心投影和平行投影。

（4）加强了几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念

重视几何的建模过程，是国际数学课程改革的一种趋势。

“空间与图形”由于其自身的特点，在把实际问题转化为数学模型（几何建模）、以及这种模型的现实意义等方面比起其他的数学模型更加直观、形象，更易于从现实中抽象出数学的概念、理论和方法。

《标准》注重学生经历从实际背景中抽象出数学（几何）模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程，注重探索图形性质及其变化规律的过程。

《标准》几乎在每一部分内容的开头，都提出要“通过实例认识（或了解）„„„„”，几乎对每一个图形的性质、几何方法都要求“探索„„性质”

（5）突