秋季新版沪科版九年级数学上学期231锐角的三角函数教案4.docx
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秋季新版沪科版九年级数学上学期231锐角的三角函数教案4
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第1课时 锐角的三角函数
教学目标
【知识与技能】
1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
2.理解坡度的概念,并能够计算坡面的坡度.
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,体会数学在解决实际问题中的应用.
【情感、态度与价值观】
1.通过学习培养学生的合作意识.
2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
锐角三角函数的概念,坡比的概念.
【难点】
锐角三角函数概念的理解.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:
高架桥的起始一段有倾斜的部分,这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢?
学生思考.
二、共同探究,获取新知
1.正切的概念.
教师多媒体课件出示:
在下图中,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡?
你是怎样判断的?
生:
A1B1更陡.
师:
你是怎样判断的呢?
生甲:
这两个中同样是100的一段,对应的高度A1B1上升得多.
生乙:
(2)倾斜得厉害.
教师多媒体课件出示:
师:
这个图里,你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗?
学生观察后回答:
A1B1更陡.
师:
为什么?
生:
……
教师多媒体课件出示:
如图,在锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线,垂足为C,得到Rt△ABC;再任取一点B1,自点B1向另一边作垂线,垂足为C1,得到另一个Rt△AB1C1……这样,我们可以得到无数个直角三角形,这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中,锐角A的对边与邻边之比、、……究竟有怎样的关系?
教师读题后学生思考.
生:
锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的.
师:
对,在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与邻边的比值总是一个定值.
教师边操作边讲解:
在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA===.
2.坡度、坡角的概念.
教师边作图边讲解:
正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=,坡度通常写成h∶l的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角),记作α,于是有i==tanα.你能得到坡度与坡角之间的关系吗?
生:
能.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.
师:
很好!
三、举例应用,巩固新知
教师多媒体课件出示:
【例1】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.
tanA===.
师:
你能计算出∠A和∠B的正切吗?
学生思考后回答:
能.
师:
怎样计算?
教师找一生回答.
生:
tanA==,tanB==
师:
你回答得很好!
现在请同学们看课本第114页练习的第3题.
学生读题后,教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
解:
AC===≈199.64,
∴引桥的坡度为:
tan∠BAC===≈0.06.
四、继续探究,层层推进
教师多媒体课件出示:
师:
在这个图中,这些直角三角形都是相似的,当锐角A的大小确定后,不仅∠A的对边与邻边的比随之确定,还有一些量也是确定的,你知道还有哪些量也是确定的吗?
学生思考、交流.
教师提示:
还有哪两条边的比值也是确定的?
生甲:
∠A的对边与斜边的比值也是确定的.
生乙:
邻边与斜边的比值也是确定的.
师:
对.
教师画一个图形:
师:
在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA===.锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA===.锐角A的正弦、余弦、正切称为锐角A的三角函数.我们介绍了正弦、余弦,下面我们通过具体的实例加深对这些函数的印象.
老师多媒体课件出示:
【例2】 如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12,BC=5.求∠A的各个三角函数值.
师:
要求这三个三角函数的值,需要知道几条边的长?
生:
三条.
师:
现在已知了哪几条边的长?
生:
AC、BC两条边的长.
师:
那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值?
生:
还要求出AB的长.
师:
怎样求呢?
生:
用勾股定理.
师:
很好!
现在请同学们求出AB的长,并进一步求出∠A的各个三角函数的值.
学生做题.
师:
请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相比照,对不正确的地方加以纠正.
学生对照.
教师多媒体课件出示:
【例3】 如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP.求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.
教师读题,学生思考.
师:
以前是在直角三角形中,用直角三角形的边长之比求三角函数的,现在没有直角三角形怎么办?
学生思考.
生:
作辅助线.
师:
怎样作?
生:
过点P向x轴作垂线,垂足为Q.这样在直角三角形OPQ中求角α的三角函数值就行了.
师:
很好!
作出这样的辅助线就方便了,就变成了我们以前遇到过的类型,同学们能求出吗?
生:
能.
师:
好!
现在请同学们画出辅助线,并求出角α的三角函数值.
学生作图,计算.
师:
请同学们将结果与课本上的解答比较,加以修正.
学生对照,修正.
五、练习新知
1.师:
请同学们看课本第116页练习的第1、2题.
学生看题.
教师找两生分别板演练习第1、2题,其余同学在下面做,然后集体订正得到:
(1)解:
BC===8,
∴sinA===,cosA===,
tanA===.
sinB===,cosB===,
tanB===.
(2)解:
AB===4.
∵∠ACD+∠A=90°,∠B+∠A=90°,
∴∠ACD=∠B(同角的余角相等),
同理∠BCD=∠A.
∴sin∠ACD=sin∠B===,
cos∠BCD=cos∠A===.
2.师:
同学们,通过刚才习题的练习,你们掌握得怎么样?
下面让我们一起来看几道习题.
教师板书习题:
(1)为测量如图所示的上山坡道的倾斜度,小明测得数据如图所示,则该坡道倾斜角α的正切值是( )
A. B.4 C. D.
【答案】C
(2)晓敏由地面沿坡度i=1∶2的坡面向上前进了10m,此时她距离地面的高度为( )
A.5m B.4m C.2m D.m
【答案】C
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则tanA的值为 .
【答案】
(4)在△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,则AC的长是 .
【答案】9
(5)在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则tanB= .
【答案】
(6)某楼梯每一级台阶的宽度为30cm,高度为15cm,则楼梯的倾斜角的正切值为 .
【答案】
(7)修建抽水站时,沿着倾斜角为α的斜坡铺设管道,若量得水管的长度AB为100m,端点B离水平面的铅直高度为60m,则倾斜角α的正切值为 .
【答案】
六、课堂小结
师:
本节课你又学习了什么内容?
学生回答.
师:
你还有什么疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课采用问题引入法,从教材探究性问题梯子的倾斜度入手,让学生主动参与学习活动.用特殊值探究锐角的三角函数时,学生们表现得非常积极,从作
图、找边角、计算各个方面进行探究,学生发现:
特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出,然后探究:
三角函数与直角三角形的边、角有什么关系?
三角函数与三角形的形状有关系吗?
整节课都在紧张而愉快的气氛中进行.学生非常活跃,大部分人都能积极动脑、积极参与.教学中,我一直比较关注学生的情感态度,对那此积极动脑、热情参与的同学都给予了鼓励和表扬,促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态,从而保证教学活动的有效性.
第2课时 30°,45°,60°角的三角函数值
教学目标
【知识与技能】
1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【过程与方法】
1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.
【情感、态度与价值观】
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.
重点难点
【重点】
30°、45°、60°角的三角函数值.
【难点】
与特殊角的三角函数值有关的计算.
教学进程
一、复习巩固
教师多媒体课件出示:
如图所示:
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)a、b、c三者之间的关系是 ;
(2)sinA= ,cosA= ,
tanA= ;
sinB= ,cosB= ,
tanB= .
(3)若∠A=30°,则= .
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.引出新知
教师多媒体课件出示问题:
为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:
(1)含30°和60°两个锐角的三角尺;
(2)皮尺.请你设计一个测量方案,测出一棵大树的高度.
学生讨论,交流想法.
生:
我们组设计的方案如下:
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,这位同学拿起三角尺,使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°角的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度、BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
师:
在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?
生:
含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:
30°的角所对的直角边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,得(2CD)2=CD2+a2.
解得,CD=a.
则树的高度即可求出.
师:
我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°角的正切值,在上图中,tan30°==,则CD=atan30°,岂不简单!
你能求出30°角的三个三角函数值吗?
2.讲授新课.
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
师:
观察一副三角尺,其中有几个锐角?
它们分别等于多少度?
生:
一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°.
师:
sin30°等于多少呢?
你是怎样得到的?
与同伴交流.
生:
sin30°=.sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边长等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边长为a,所以sin30°==.
师:
cos30°等于多少?
tan30°呢?
生:
cos30°==.tan30°===.
师:
我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?
你是如何得到的?
生:
求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°==,cos60°==,tan60°==.
师生共同分析:
我们一起来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.如图,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,斜边为a.由此可求得
sin45°===,
cos45°===,
tan45°==1.
教师多媒体课件出示:
三角函数
角度α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
师:
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需要熟记.另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?
生:
30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为、、,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
师:
再来看第二列的函数值,有何特点呢?
生:
第二列是30°、45°、60角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从小到大分别为、、,余弦值随角度的增大而减小.
师:
第三列呢?
生:
第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.
师:
很好!
掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定会做得很棒!
(2)进一步探究锐角的三角函数值.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
∵sinA=,cosA=,
sinB=,cosB=,
∴sinA=cosB,cosA=sinB.
∵∠A+∠B=90°,
∴∠B=90-∠A,
即 sinA=cosB=cos(90°-∠A),
cosA=sinB=sin(90°-∠A).
任意一个锐角的正(余)弦值,等于它的余角的余(正)弦值.
三、例题讲解,巩固新知
【例1】 计算:
(1)sin30°+cos45°;
(2)sin260°+cos260°-tan45°.
分析:
本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角的三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2;
教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正得到:
解:
(1)sin30°+cos45°=+=;
(2)sin260°+cos260°-tan45°
=()2+()2-1
=+-1
=0.
【例2】 在Rt△ABC中,∠C=90°,且sinA=,求cosB的值.
解:
∵∠A+∠B=90°,∴cosB=cos(90°-∠A)
=sinA=.
【例3】 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01m)
分析:
引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解:
根据题意(如图)可知,
∠BOD=60°,
OB=OA=OD=2.5m,
∠AOD=×60°=30°,
∴OC=OD·cos30°
=2.5×≈2.165(m).
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
四、随堂练习
师:
同学们,刚才学习了那么多,现在让我来检测一下你们学得怎么样了.
教师多媒体课件出示:
1.sin30°的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
2.计算4sin60°-3tan30°的值为( )
A.B.2C.3D.0
【答案】A
3.计算sin245°+cos245°的值为( )
A.2B.1C.0D.3
【答案】B
4.计算的值为( )
A.1-B.-1C.-1D.1-
【答案】A
5.下列各式中,正确的是( )
A.sin20°+sin55°=sin75°
B.tan80°-tan50°=tan30°
C.2cos60°=1
D.cos60°-cos30°=cos30°
【答案】C
6.计算:
(1)sin60°-tan45°;
(2)cos60°+tan60°;
(3)sin45°+sin60°-2cos45°.
【答案】
(1)原式=-1=;
(2)原式=+=;
(3)原式=×+-2×=.
7.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m.扶梯的长度是多少?
【答案】扶梯的长度为==14(m),
所以扶梯的长度为14m.
五、课堂小结
本节课总结如下:
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
sin30°=,sin45°=,sin60°=;
cos30°=,cos45°=,cos60°=;
tan30°=,tan45°=1,tan60°=.
2.能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.
教学反思
本节课的教学中,课堂环节设置齐全,能很好地贯彻执行理解教育,对理解教育的教育模式把控较好;课堂中学生分组很好,能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围;课件制作很好,能很好的配合指导自学书的使用,提高了课堂的效率;学生积极参与,学习积极性较高;课堂习题的设置有梯度,题目能面向全体学生.
第3课时 一般锐角的三角函数值
教学目标
【知识与技能】
1.会使用计算器求锐角的三角函数值.
2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.
【过程与方法】
在做题、计算的过程中,逐步熟悉计算器的使用方法.
【情感、态度与价值观】
经历计算器的使用过程,熟悉其按键顺序.
重点难点
【重点】
利用计算器求锐角三角函数的值.
【难点】
计算器的按键顺序.
教学过程
一、复习回顾
教师多媒体课件出示:
1.
三角函数
角度α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
教师找一生回答.
2.已知2sin(90°-α)-=0,求锐角α的度数.
教师找一生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
二、讲解新知
师:
上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值,但如果是任意的一个锐角,如何求它的三角函数值呢?
比如让你求sin36°的值.
学生思考,讨论.
生:
作一个有一个锐角的直角三角形,量出它的对边和斜边长,求它的比值.
师:
很好!
现在请同学们按这种方法求出sin36°的值.
学生作图、测量、计算.
生:
约等于0.5878.
师:
对!
用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值,古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法,只是误差较大.经过许多数学家不断的改进,不同角的三角函数值被制成了常用表,三角函数表大大改进了三角函数值的应用.今天,三角函数表又被带有sin、cos和tan功能键的计算器所取代.请同学们想一想用计算器得到的数是精确的吗?
学生思考,讨论.
生甲:
是,比如sin30°是0.5.
生乙:
不是,比如sin45°等于,是一个无理数,就是无限不循环小数,用计算器得到的是有限个数字.
生丙:
有些是精确的,有些不精确.
师:
对!
我们用计算器得到的是三角函数值的近似值.不同计算器给出的近似值的有效数字也不同,有10个、有8个.我们一般取四个有效数字,具体的根据要求去取.不同计算器的按键方法也各有不同.
教师拿出计算器.
师:
我们学习这种计算器的使用方法.请同学们拿出自己的计算器.
学生拿出自己的计算器.
师:
先按ON键,再按DEG/RAD键,使显示器屏幕出现“DEG”,然后再按有关三角函数的键.
教师板书:
1.求已知锐角的三角函数值.
【例1】 求sin40°的值.(精确到0.0001)
师:
比如我们求sin40°的值,依次按sin、4、0、=这几个键.
学生操作.
师:
因为要求精确到万分位,我们将得到的数字四舍五入到万分位即可,你得到四舍五入后的值是多少?
生:
0.6428.
师:
很好!
如果带有分呢?
【例2】 求cos54°38'的值.(精确到0.0001)
师:
我们依次按cos、5、4、D·M'S、3、8、D·M'S、=这几个键.
学生操作后回答.
【例3】 求sin63°50'41″的值.(精确到0.0001)
师:
先用如下方法将角度单位状态设定为“度”:
SHIFTMODE(SETUP)3显示D.
再按下列顺序依次按键:
sin、6、3、D·M'S、5、2、D·M'S、4、1、0’”、)、=
显示结果为0.897859012.
所以sin63°52'41″≈0.8979.
2.由锐角三角函数值求锐角.
【例4】 已知sinA=0.5086,求锐角A.
师:
你有没有注意到计算器上有个2ndf键?
生:
注意到了.
师:
这个键叫做第二功能键,我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用.我们依次按2ndfsin-10·5086)=.
学生操作.
师:
这样我们得到的是多少度,要化成度分秒的形式,我们按那个第二功能键2ndf和度分秒键D·M'S.
学生操作后回答结果.
教师多媒体课件出示:
已知tanx=0.7410,求锐角x.(精确到1')
师:
已知一个锐角的正切,请同学们用计算器求出这个角的度数.
学生操作后回答结果.
三、练习新知
师:
现在请同学们用计算器计算课本第122页的练习1,然后填表.
学生操作填表并回答.
师:
现在请同学们用计算器求出练习2中各个三角函数值,并回答.
学生计算完成后抢答.
师:
请同学们完成练习3、4,把结果写在练习本上.
学生操作,老师巡视指导,然后集体订正.
四、巩固提高
师:
同学们,通过刚才课本的习题练习,相信大家都对用计算器求锐角的三角函数值有了一定的了解,下面让我们继续来做几道巩固一下.
教师多媒体课件展示习题.
1.sinα=0.2316,cosβ=0.2316,则锐角α与锐角β之间的关系是( )
A.α=β B.α+β=180°
C.α+β=90°D.α-β=90°
【答案】C
2.使用计算器计算:
sin52°18'≈ .(保留三个有效数字)
【答案】0.791
3.已知cosβ=0.7416,利用计算器求出β的值约为 .(精确到1°)
【答案】42°
4.用计算器求出下列三角函数的值.(精确到0.0001)
(1)sin20°;
(2)cos42.5°;
(3)tan65°3'18″.
【答案】
(1)0.3420
(2)0.7373 (3)2.1499
教师指名回答第1题,其余题目用计算器算出.教师巡视,对还有不会使用计算器求三角函数值的学生进行帮助指导.
五、课堂小结
师:
本节课,我们学习了什么内容?
生甲:
用计算器求一个锐角的三角函数值.
生乙:
还学习了已知一个函数值,求它对应的锐角的大小.
师:
对,你还有什么不懂的地方吗?
学生提问,教师解答.
教学反思
如何让学生体会用计算器的好处,我设计一个正弦值难于直接得到的sin36°的值让学生计算.在没有提示的情况下,学生有的用笔算,通过作图测量用正弦的定义计算,我肯定了学生的这种探索式作法,同时提出了使用计算器的简便性,在较短的时间内能正确计算,也显示了其较强的计算能力.学生通过亲身体验和交流自然发现了用计算器计算的好处——快捷、准确,为今后合理选择计算方法做了有效的铺垫.还让学生讨论了用计算器得到的数的精度,让他们意识到用计算器得到的是近似值,对数的近似有更深的认识.在用计算器的过程中向学生说明了几个键的功能,使他们更好地理解并掌握按键顺序.