二次函数的应用.docx
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二次函数的应用
二次函数的应用
第一部分考点搜索
（一）二次函数与一元二次方程：
二次函数y=ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式决定
抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac>0＝＞一元二次方程有实数根
抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac=0＝＞一元二次方程有实数根
抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac<0＝＞一元二次方程有实数根
【注意：
若抛物线与x轴有两交点为A（x1,0）B（x2,0）则抛物线对称轴式x=两交点间距离AB】
（二）二次函数解析式的确定
1.设顶点式，即：
设当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式
2.设一般式，即：
设
知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式
【注意：
求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：
如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】
（三）二次函数的应用
1.实际问题中解决最值问题：
步骤：
1.分析数量关系建立模型
2.设自变量建立函数关系
3.确定自变量的取值范围
4.根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值
2.与一次函数或直线形图形结合的综合性问题
一般步骤：
1.求一些特殊点的坐标
2.将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式
3.结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题
【注意：
1.在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围.2.有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】
第二部分典例精析
考点一：
二次函数的最值
例题1（2012•呼和浩特）已知：
M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线
上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（ ）
A．有最大值，最大值为
B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为
D．有最小值，最小值为
思路分析：
先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．
解：
∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），
∴N点的坐标为（-a，b），
又∵点M在反比例函数
的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，
∴
，
整理得
，
故二次函数y=-abx2+（a+b）x为y=
x2+3x，
∴二次项系数为
＜0，故函数有最大值，最大值为y=
，
故选：
B．
同步拓展
1．（2012•兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a=bD．不能确定
2.（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：
m）与滑行时间x（单位：
s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．
3.（2012•湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．
B．
C．3D．4
考点二：
二次函数与x轴的交点问题
例2（2012•天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②m＞
；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
思路分析：
将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
解：
一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：
x2-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：
m＞
，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-m，
而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：
x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：
②③．故选C．
同步拓展
1.（2012•株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ ）
A．（-3，0）B．（-2，0）C．x=-3D．x=-2
2．（2012•滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
考点三：
确定二次函数关系式
例题3（2012•珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
A
B
C
O
x
y
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
思路分析：
（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
解：
（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，
（1-2）2+m=0，
1+m=0，
m=-1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．
当x=0时，y=4-1=3，
故C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），
令y=3，有（x-2）2-1=3，
解得x=4或x=0．
则B点坐标为（4，3）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，
，解得
，则一次函数解析式为y=x-1；
（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．
同步拓展
1.（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．
考点四：
二次函数的实际应用
例4（2012•绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-
（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m．
思路分析：
根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
解：
令函数式y=-
（x-4）2+3中，y=0，
0=-
（x-4）2+3，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：
10．
点评：
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
例5（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
输送的污水量y1（吨）
12000
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：
z1（元）与月份x之间满足函数关系式：
z1=
x，该企业自身处理每吨污水的费用：
z2（元）与月份x之间满足函数关系式：
z2=
x-
x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据：
≈15.2，
≈20.5，
≈28.4）
思路分析：
（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：
图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；
（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可．
解：
（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：
y1=
，将（1，12000）代入得：
k=1×12000=12000，
故y1=
（1≤x≤6，且x取整数）；
根据图象可以得出：
图象过（7，10049），（12，10144）点，
代入y2=ax2+c（a≠0）得：
，
解得：
，
故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；
（2）当1≤x≤6，且x取整数时：
W=y1•z1+（12000-y1）•z2=
+（12000-
）•（
x-
x2），
=-1000x2+10000x-3000，
∵a=-1000＜0，x=
=5，1≤x≤6，
∴当x=5时，W最大=22000（元），
当7≤x≤12时，且x取整数时，
W=2×（12000-y2）+1.5y2=2×（12000-x2-10000）+1.5（x2+10000），
=-
x2+1900，
∵a=-
＜0，x=
=0，
当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x=7时，W最大=18975.5（元），
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；
（3）由题意得：
12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，
设t=a%，整理得：
10t2+17t-13=0，
解得：
t=
，
∵
≈28.4，
∴t1≈0.57，t2≈-2.27（舍去），
∴a≈57，
答：
a的值是57．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．
同步拓展
1．（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：
m）与滑行时间x（单位：
s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．
（2012•菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
最大利润是多少？
（利润=销售总价-成本总价）
（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
考点五：
二次函数综合性题目
例6．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，
）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？
如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
6．分析：
（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，
）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2
，代入函数解析式可得出点P的横坐标；
（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．
解：
（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（3，
），
∴
，
解得：
，
故函数解析式为：
，
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；
（2）∵S△POA=2S△AOB，
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为
，
代入函数解析式得：
=
，
解得：
x1=3+3
，x2=3-3
，
即满足条件的点P有两个，其坐标为：
P1（3+3
，
），P2（3-3
，
）．
（3）存在．
过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP=
，
故可得∠BOA=30°，
设Q1坐标为（x，
），过点Q1作Q1F⊥x轴，
∵△OAB∽△OQ1A，
∴∠Q1OA=30°，
故可得OF=3Q1F，即x=
（
），
解得：
x=9或x=0（舍去），
经检验得此时OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．
即可得Q1坐标为（9，3
），
根据函数的对称性可得Q2坐标为（-3，3
）．
∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：
（9，3
）或（-3，3
）．
点评：
此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．
专题训练
一、选择题
1．（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．-1＜x＜5B．x＞5C．x＜-1且x＞5D．x＜-1或x＞5
2．（2012•镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ）
A．
m＜﹣1
B．
﹣1＜m＜0
C．
0＜m＜1
D．
m＞1
3、（2012•泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．
﹣3
B．
3
C．
﹣6
D．
9
二、解答题
1．（2012•无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数关系式
2、（2012•佛山）
（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；
③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．
（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．
3．（2012•徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．
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