高二数学函数的单调性与导数测试题.doc
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选修2-21.3.1函数的单调性与导数
一、选择题
1．设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a>0），则f（x）为R上增函数的充要条件是（ ）
A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0，f（x）为增函数，
∴f′（x）＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝（2b）2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.
2．（2009·广东文，8）函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，2） B．（0,3）
C．（1,4） D．（2，＋∞）
[答案] D
[解析] 考查导数的简单应用．
f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x－2）ex，
令f′（x）>0，解得x>2，故选D.
3．已知函数y＝f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k＝（x0－2）（x0＋1）2，则该函数的单调递减区间为（ ）
A．[－1，＋∞） B．（－∞，2]
C．（－∞，－1）和（1,2） D．[2，＋∞）
[答案] B
[解析] 令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为（－∞，2]．
4．已知函数y＝xf′（x）的图象如图
（1）所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（ ）
[答案] C
[解析] 当0∴f′（x）<0，故y＝f（x）在（0,1）上为减函数
当x>1时xf′（x）>0，∴f′（x）>0，故y＝f（x）在（1，＋∞）上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈（－π，π）的单调增区间是（ ）
A.和
B.和
C.和
D.和
[答案] A
[解析] y′＝xcosx，当－πcosx<0，∴y′＝xcosx>0，
当00，∴y′＝xcosx>0.
6．下列命题成立的是（ ）
A．若f（x）在（a，b）内是增函数，则对任何x∈（a，b），都有f′（x）>0
B．若在（a，b）内对任何x都有f′（x）>0，则f（x）在（a，b）上是增函数
C．若f（x）在（a，b）内是单调函数，则f′（x）必存在
D．若f′（x）在（a，b）上都存在，则f（x）必为单调函数
[答案] B
[解析] 若f（x）在（a，b）内是增函数，则f′（x）≥0，故A错；f（x）在（a，b）内是单调函数与f′（x）是否存在无必然联系，故C错；f（x）＝2在（a，b）上的导数为f′（x）＝0存在，但f（x）无单调性，故D错．
7．（2007·福建理，11）已知对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且x>0时，f′（x）>0，g′（x）>0，则x<0时（ ）
A．f′（x）>0，g′（x）>0 B．f′（x）>0，g′（x）<0
C．f′（x）<0，g′（x）>0 D．f′（x）<0，g′（x）<0
[答案] B
[解析] f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同（反），∴x<0时，f′（x）>0，g′（x）<0.
8．f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）＋f（x）≤0，对任意正数a、b，若aA．af（a）≤f（b） B．bf（b）≤f（a）
C．af（b）≤bf（a） D．bf（a）≤af（b）
[答案] C
[解析] ∵xf′（x）＋f（x）≤0，且x>0，f（x）≥0，
∴f′（x）≤－，即f（x）在（0，＋∞）上是减函数，
又0＜a＜b，∴af（b）≤bf（a）．
9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（0）＋f
（2）<2f
（1） B．f（0）＋f
（2）≤2f
（1）
C．f（0）＋f
（2）≥2f
（1） D．f（0）＋f
（2）>2f
（1）
[答案] C
[解析] 由（x－1）f′（x）≥0得f（x）在[1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1]上单调递减或f（x）恒为常数，
故f（0）＋f
（2）≥2f
（1）．故应选C.
10．（2010·江西理，12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）＝0），则导函数y＝S′（t）的图像大致为
（ ）
[答案] A
[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
二、填空题
11．已知y＝x3＋bx2＋（b＋2）x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．
[答案] b<－1或b>2
[解析] 若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4（b＋2）≤0，∴－1≤b≤2，
由题意b＜－1或b＞2.
12．已知函数f（x）＝ax－lnx，若f（x）＞1在区间（1，＋∞）内恒成立，实数a的取值范围为________．
[答案] a≥1
[解析] 由已知a＞在区间（1，＋∞）内恒成立．
设g（x）＝，则g′（x）＝－＜0 （x＞1），
∴g（x）＝在区间（1，＋∞）内单调递减，
∴g（x）＜g
（1），
∵g
（1）＝1，
∴＜1在区间（1，＋∞）内恒成立，
∴a≥1.
13．函数y＝ln（x2－x－2）的单调递减区间为__________．
[答案] （－∞，－1）
[解析] 函数y＝ln（x2－x－2）的定义域为（2，＋∞）∪（－∞，－1），
令f（x）＝x2－x－2，f′（x）＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln（x2－x－2）的单调减区间为（－∞，－1）．
14．若函数y＝x3－ax2＋4在（0,2）内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
[答案] [3，＋∞）
[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间（0,2）内恒成立，
即a>x在区间（0,2）上恒成立，∴a≥3.
三、解答题
15．设函数f（x）＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．
（1）求a、b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
[解析]
（1）求导得f′（x）＝3x2－6ax＋3b.
由于f（x）的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11），所以f
（1）＝－11，f′
（1）＝－12，
即，
解得a＝1，b＝－3.
（2）由a＝1，b＝－3得
f′（x）＝3x2－6ax＋3b＝3（x2－2x－3）
＝3（x＋1）（x－3）．
令f′（x）>0，解得x<－1或x>3；又令f′（x）<0，解得－1所以当x∈（－∞，－1）时，f（x）是增函数；
当x∈（3，＋∞）时，f（x）也是增函数；
当x∈（－1,3）时，f（x）是减函数．
16．求证：
方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.
[证明] 设f（x）＝x－sinx，x∈（－∞，＋∞），
则f′（x）＝1－cosx＞0，
∴f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数．
而当x＝0时，f（x）＝0，
∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.
17．已知函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
[分析] 可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
[解析] ∵函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，∴a＜0，b＜0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.
令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.
∴当x∈时，函数为增函数．
令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，
∴x＜－，或x＞0.
∴在，（0，＋∞）上时，函数为减函数．
18．（2010·新课标全国文，21）设函数f（x）＝x（ex－1）－ax2.
（1）若a＝，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
[解析]
（1）a＝时，f（x）＝x（ex－1）－x2，
f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．
当x∈（－∞，－1）时，f′（x）>0；当x∈（－1,0）时，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0.
故f（x）在（－∞，－1]，[0，＋∞）上单调递增，在[－1,0]上单调递减．
（2）f（x）＝x（ex－1－ax）．
令g（x）＝ex－1－ax，则g′（x）＝ex－a.
若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′（x）>0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0.
当a>1，则当x∈（0，lna）时，g′（x）<0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时g（x）<0，即f（x）<0.
综合得a的取值范围为（－∞，1]．
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