大学高数第五章课件优质PPT.ppt

大学高数第五章课件优质PPT.ppt

《大学高数第五章课件优质PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学高数第五章课件优质PPT.ppt（148页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

,性质7（定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:

积分中值公式,至少存在一点,使,即,33,定理用途,无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求连续变量的平均值要用到.,如何去掉积分号来表示积分值.,34,解,例,定积分几何意义,求电动势,在一个周期上的,平均值,35,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,36,例,证,由积分中值定理有,（a为常数）,37,3.定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4.典型问题,

（1）估计积分值;

（2）不计算定积分比较积分大小.,六、小结,1.定积分的实质:

特殊和式的极限.,2.定积分的思想和方法:

以直代曲、以匀代变.,四步曲:

分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,38,思考题1,证,夹逼定理,即得,39,思考题2,解,由定积分几何意义可知,用定积分的几何意义计算,并求,所围成图形的,面积（如图）.,图形,40,41,作业,习题5-1（233页）,2.

（1）3.4.5.

（2）6.

（2）（4）8.

（1）（3）（5）,42,第二节微积分基本公式,问题的提出,积分上限函数及其导数,牛顿莱布尼茨公式,小结思考题作业,（v（t）和s（t）的关系）,fundamentalformulaofcalculus,第五章定积分,43,通过定积分的物理意义,例,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,（v（t）和s（t）的关系）,设某物体作直线运动,已知速度,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.,是时间间隔,一、问题的提出,其中,积分的有效、简便的方法.,找到一个计算定,44,如果能从v（t）求出s（t）,这正是第四章已经解决了的微分运算的,？

定积分的计算有捷径可寻,进行一般性的讨论.,运算.,定积分,运算就可化为减法,启发,不定积分问题.,逆运算,45,定积分,积分上限函数,一定要分清函数的,如果上限x在区间a,b上任意变动,每一个取定的x值,则对于,定积分有一个对应值,所以它,在a,b上定义了一个函数,设f（x）在a,b中可积,则对任一点,与,自变量x,积分变量t.,二、积分上限函数及其导数,46,这个函数的几何意义,下面讨论这个函数的可导性.,是如图红色部分,的面积函数.,47,证,定理1（原函数存在定理）,因为,从而,48,积分中值定理,定积分性质3,故,49,定理1指出:

积分联结为一个有机的整体,

（2）连续函数f（x）一定有原函数,就是f（x）的一个原函数.,

（1）积分运算和微分运算的关系,它把微分和,所以它是微积分学基本定理.,函数,微积分,50,推论,?

51,例,解,例,解,52,例,解,53,例,解,这是型不定式,分析,应用洛必达法则,54,例,解,求极限,2002年考研数学（三）5分,55,证,例,证明函数,为单调增加函数.,56,为单调增加函数.,故,57,证,令,为单调增加函数.,证明:

只有一个解.,例,所以原方程,只有一个解.,58,分析,求,必须先化掉,积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.,解,对所给积分方程两边关于x求导,得,练习,需先求出,即,59,定理2（牛顿-莱布尼茨公式）,证,牛顿（英）16421727,莱布尼茨（德）16461716,如果,是连续函数,的一个原函数,则,都是f（x）在a,b,因为,上的原函数,故有,C是待定常数,即有,三、牛顿莱布尼茨公式,60,牛顿（Newton）莱布尼茨（Leibniz）公式,微积分基本公式,特别,61,微积分基本公式表明,求定积分问题转化为求原函数的问题.,一个连续函数在区间a,b上的定积分等于,它的任意一个原函数在区间a,b上的增量.,仍成立.,62,例,原式,解,面积,例,解,平面图形的面积.,所围成的,63,例,解,64,例,解,由图形可知,如被积函数是分段函数,应分段分成几个,再用牛莱公式.,积分,65,练习,解,66,例,解,如被积函数有绝对值,再用,去掉后,N-L公式.,应分区间将绝对值,67,例,已知函数,求积分上限的函数,解,分段函数,?

错!

68,已知函数,求积分上限的函数,正确做法,69,例,试证明:

积分中值定理中的,可在开区间,取得,即如果,则至少,存在一点,使得,证,令,由定理1（原函数存在定理）知:

可导,根据拉格朗日中值定理,至少存在一点,使得,即,70,例,解,此极限实为一积分和的极限.,定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.,即它表示每项为,用定积分求极限时,需将

（1）式中的两个,任意量,用特殊的值处理.,71,练习,2002年考研数学

（二）填空3分,填空题,解,原式,72,练习,解,原式=,73,微积分基本公式,积分上限函数（变上限积分）,积分上限函数的导数,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,四、小结,注意其推论.,74,思考题1,问:

对吗?

分析,其中的x对积分过程,是常数,而积分结果,是x的函数.,若被积函数是积分上限（或下限）的函数中的,注意,变量x及积分变量t的函数时,应注意x与t的区别.,对x求导时,绝不能用积分上限（或下限）的变量x替,换积分变量.,75,思考题1,问:

故,正确解答,因为,76,思考题2,已知两曲线,在点,处的切线相同,写出此切线方程,并求极限,解,故所求切线方程为,2002年考研数学

（一）7分,77,作业,习题5-2（240页）,2.3.4.5.

（1）（3）6.

（2）（4）（6）（11）（12）7.

（2）（4）8.

（2）9.

（1）

（2）11.12.,78,第三节定积分的换元法和分部积分法,定积分的换元法,小结思考题作业,定积分的分部积分法,definiteintegralbyparts,definiteintegralbysubstitution,第五章定积分,79,上一节的牛莱公式将定积分的计算,的形式,而不定积分可用换元法,和分部积分法求积,这样定积分的计算问题,已经比较完满地解决了.,归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分,常可使得计算更简单.,80,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,一、定积分的换元法,函数,满足条件:

（1）,

（2）,具有连续导数,且其值域,definiteintegralbysubstitution,81,证,故有,则,由于,N-L公式,N-L公式,则,所以存在原函数,原函数,82,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代;

求定积分的方法有两种方法:

可用N-L公式;

从换元的观点.,

（1）,换元公式仍成立;

（2）,在定积分换元公式中,改变,（3）,83,例,解,在用“凑”微分的方法时,不明显地写出,下限就不要变.,定积分的上、,新的变量t,84,或,例,解,原式,这是半径为a的四分之一的圆的面积.,85,例,解,原式,86,解,令,原式,练习,87,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.,换元积分,例,证,由于,由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.,通常,作变换,还可以证明一些定积分等式,88,利用这一结果计算:

则,89,可得:

由定积分的几何意义（面积的代数和）也可得.,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,90,例,91,练习,奇,奇,偶,92,证,

（1）,三角函数的定积分公式,例,由此计算,设,证毕.,93,设,证,由此计算,94,说明:

尽管,但由于它没有,初等原函数,故此积分无法直接用N-L公式求得.,95,周期函数的定积分公式,这个公式就是说：

周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,（留给同学证）,96,例,解,法一,97,法二,即,98,练习,解,被积函数中除积分变量t外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换,则,分析,99,练习,选择题,设函数,连续,则下列函数中,必为偶函数的是,分析,?

2002年考研数学

（二）选择3分,100,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,definiteintegralbyparts,定理2,由不定积分的分部积分法,及N-L公式.,101,例,解,原式=,?

102,例,解,1990年考研数学

（一）计算5分,原式=,103,例,解,无法直接求出,所以,因为,没有初等原函数,分析,被积函数中含有“积分上限的函数”,用分部积分法做.,选择积分上限的函数为,104,今后也可将原积分化为二重积分计算.,105,例证明定积分公式,证,设,n为正偶数,n为大于1的正奇数,J.Wallis公式,106,积分关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,因为,107,所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,108,例,上公式在计算其它积分时可以直接引用.,109,例,解,用公式,n为正偶数,110,练习,解,用定积分的分部积分公式,111,解,则,是奇函数,是偶函数,练习,n为正偶数,112,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,113,思考题1,试检查下面运算是否正确?

如不正确,希指出原因.,解答,注意,必定大于零.,上述运算的问题在于引进的变换,不满足换元法则的前提条件.,114,思考题2,解答,115,作业,习题5-3（249页）,11.

（1）（5）（9）（10）（12）（13）,1.

（2）（7）（10）（11）（12）（14）（19）2.（3）（4）3.5.8.9.10.,116,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,小结思考题作业,第四节反常积分,（广义积分）,improperintegral,第五章定积分,117,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,反常积分,推广,118,一、无穷限的反常积分,一个固定的点电荷+q产生的电场,当单位正电荷从r=a沿径向移到r=b处时,（k是常数）.,单位正电荷从r=a移到无穷远时,对场内,其它电荷有作用力,由库伦定律知,距q为r单位的,正电荷受到的电场力,其方向与径向一致指向外,大小为,电场力所作的功,称为该电场在这两点处的电位差.,电场力所需,作的功,称为该电场在点a处的电位.,119,例,试求a、b两点的电位差及a点的电位.,解,a、b两点的电位差,令,即得a点处的电位,这里计算了一个,类似的实例还有:

无界域的面积,问题,上限无限增大的定积分的极限.,第二宇宙速度,电容器放电问题等等.,120,定义1,即,当极限存在时,称反常积分,当极限不存在时,称反常积分,如果极限,存在,则称这个极限值,反常积分,

（1）,收敛;

发散.,121,即,当极限存在时,称反常积分,当极限不存在时,称反常积分,存在,如果极限,则称这个极限值,反常积分,

（2）,收敛;

发散.,122,如果反常积分,和,都收敛,则称上述两反常积分之和为函数,称反常积分,上的反常积分,即,收敛;

记作,发散.,否则称反常积分,（3）,123,为了方便起见,规定:

对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式,124,例计算反常积分,解,反常积分的积分值,的几何意义,125,例计算反常积分,解,126,例,解,考虑,由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,由定义可知,因而,?

只有上述两个极限都存在时,才能使反常,但是上述两个极限都不存在.,故知,积分收敛.,127,为对称区间.,其错误的原因在于认定,不成立的.,对于反常积分来说,对称区间上的性质,各不相关.,128,证,例证明反常积分,收敛,发散.,129,证,因此,收敛,其值为,发散.,例证明反常积分,*,130,并求其值.,令,例证明,解,131,132,练习,1.计算,2002年考研数学

（一）填空3分,解,2.位于曲线,下方,x轴上方的,无界图形的面积是,解,2002年考研数学

（二）填空3分,133,定义2,即,当极限不存在时,称反常积分,则称此极限为,仍然记为,如极限,存在,也称反常积分,函数,二、无界函数的反常积分,（瑕积分）,反常积分,收敛;

发散.,瑕点,

（1）,134,否则,则定义,如极限,存在,

（2）,瑕点,称反常积分,发散.,135,若等号右边两个反常积分,如果,则定义,否则,就称反常积分,发散.,都收敛,（3）,瑕点,反常积分,如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.,通常用瑕点将区间分开,136,例计算反常积分,解,为瑕点,这个反常积分值的,直线x=0与x=a,位于曲线,x轴之上,之间的图形面积.,几何意义,之下,137,为了方便起见,由NL公式,则反常积分,规定:

138,例计算反常积分,解,故原反常积分发散.,139,证,反常积分收敛,其值为,反常积分发散.,例证明反常积分,*,140,例求,解,发散.,也发散.,错误的做法:

141,例,解,此反常积分经变量代换化成了定积分.,142,例,下面是,练习,发散,无穷区间上无界函数的,反常积分,发散,发散.,发散.,143,例,解,试用分段函数表示,144,试用分段函数表示,145,无界函数的反常积分（瑕积分）,无穷限的反常积分,注意,三、小结,1.不要与常义积分混淆;

2.不能忽略内部的瑕点.,146,思考题1（选择题）,解答,恒等于常数.,147,思考题2,积分的瑕点是哪几点？

解答,积分,不是瑕点,的瑕点是,可能的瑕点是,又,148,作业,习题5-4（256页）,1.

（2）（5）（7）（8）（9）2.3.,