基于状态空间方程的系统分析.docx
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基于状态空间方程的系统分析
现代工程控制理论实验报告
学生姓名：
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实验十五基于状态空间方程的系统分析
摘要
本次试验主要是基于状态空间表达式线性系统进行分析和设计，实验的具体内容如下
（1）选取一典型对象，应用状态反馈的原理进行系统的极点配置，使得系统的输出满足一定的动态性能
（2）对于以上系统，设计全状态观测的状态观测器；
（3）对于以上系统，应用增广状态反馈的原理设计可以基于阶跃信号无差跟踪的控制系统；
（4）类似于第三部分呢，设计基于斜坡信号的无差跟踪的控制系统。
目录
摘要2
1、利用状态反馈原理进行极点配置4
1.1状态反馈4
1.2状态反馈进行极点配置的原理4
1.3状态反馈进行极点配置的实例5
2、状态观测器9
2、1状态观测器的介绍9
2.2为上述系统建立状态观测矩阵的程序如下11
3、增广状态反馈13
3.1增广状态反馈简介13
3.2为上述系统加入增广状态反馈环节14
4实验总结16
1、利用状态反馈原理进行极点配置
1.1状态反馈
状态反馈是是指个将系统的所有状态变量通过比例环节反馈到输入端的一种反馈方式。
如下图所示，在开环系统当中状态变量x通过增益大小为k的比例环节反馈到系统的输入端。
这样的环节就称为状态反馈。
1.2状态反馈进行极点配置的原理
某系统的状态变量图如下
从图中可以得到系统的状态空间表达式
引入状态反馈的系统图如下
因此系统的输入量
。
其中
。
n表示状态变量的数量，也就是控制对象的阶次。
为系统的给定量。
为
系统状态变量。
为
是开环系统的输入量，将其称作控制量。
则引入状态反馈后系统的状态方程变为
，而
系统的状态方程和系统的特征方程存在一定的关系，如下
即是系统的特征方程
由于
，因此调节状态反馈阵
的元素
，就能实现闭环系统极点的任意配置。
1.3状态反馈进行极点配置的实例
设某无自衡对象的开环传递函数为
。
应用状态反馈原理进行极点配置使最终系统的输出满足超调量小于10%，过渡时间小于10s。
解将该系统的状态变量图绘于下方
由此可以确定系统的空间方程
设
，
加入反馈装置后的方框图绘于下方。
此时
系统要求超调量小于10%，过渡时间小于10s。
由此可以设计出合适的主导极点。
设主导极点的形式为
，主导极点和系统品质衡量指标之间存在以下关系
设ts=10,Mp=10可以解得
。
将其代入可以解得主导极点为-0.4+0.5458i和-0.4-0.548。
正好两个极点，对应系统的阶次是2。
如果对象的阶次高于2时，需要加入新的极点，作为非主导极点进入系统。
这些非主极点的应该远离虚轴，实部应该是主导极点的5~10倍。
借助matlab语句，k=place（a,b,J）;可以得到加入的反馈环节的增益k1=0.4578,k2=0.7。
整个过程对应的程序如下
clearall;
closeall;
clc;
num=[5];
den=[1010];
%[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）;
r=ones（fix（50/0.1）+1,1）;
num1=num./den
（1）;
den1=den./den
（1）;
a=[01;0-den1
（2）];
b=[0;1];
c=[num1
（1）0];
d=0;
%r=ones（fix（50/0.1）+1,1）.*（k
（1）/c
（1））;
m=ctrb（a,b）;
n=rank（m）;
ts=10;
fai=10;
jieta=sol_jieta（fai）;
wn=sol_wn（ts,jieta）;
JR=-wn*jieta;
JI=j*wn*sqrt（1-jieta^2）;
J=[JR+JIJR-JI];
k=place（a,b,J）;
a1=a-b*k;
b1=b;
c1=c;
d1=0;
t=0:
0.1:
50;
[y,t,x]=lsim（ss（a1,b1,c1,d1）,r,t）;
plot（t,y）;
dd=Tvalue（y,0.1）;
legend（dd,4）;
得到的输出曲线为
稳定时间7.8s，超调量9.9957满足系统的要求。
2、状态观测器
2、1状态观测器的介绍
利用状态反馈环节可以配置系统的闭环极点是系统的品质能够满足一定的要求。
但是，状态反馈控制有一个很重要的前提——状态变量具有可观性。
如果状态变量不可观，就找不到合适的位置引出反馈环节进行状态反馈控制。
倘若状态变量真的无法直接观测，可以借助状态观测器解决上述问题。
根据系统的外部变量（输入变量和输出变量）的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统称为状态观测器，也称为状态重构器。
状态观测器的方框图如下。
输入u=v-k
有方框图可以得到原系统状态变量与观测到的状态变量之间建立联系
由上式减下式可得
矩阵HC-A称为系统矩阵，直接描述了状态观测矩阵的特性。
2.2为上述系统建立状态观测矩阵的程序如下
clearall;
closeall;
clc;
%控制对象
num=[5];
den=[10010];%二阶无自衡对象
num1=num./den
（1）;
den1=den./den
（1）;
a=[01;0-den1
（2）];
b=[0;1];
c=[num1
（1）0];
d=0;
m=ctrb（a,b）;
n=rank（m）;
%品质要求
ts=10;
fai=10;
%主导极点
jieta=sol_jieta（fai）;
wn=sol_wn（ts,jieta）;
JR=-wn*jieta;
JI=j*wn*sqrt（1-jieta^2）;
J=[JR+JIJR-JI];
%求得反馈系数K
k=place（a,b,J）;
L=k';
r=1*k
（1）/c
（1）;
st=20;
dt=0.01;
lp=st/dt;
x=zeros（2,1）;
x1=zeros（2,1）;
t=[];
Y=[];
Y1=[];
fori=1:
lp
E=（a-b*k）*x+b*r;
x=x+E*dt;
y=c*x;
E=（a-b*k-L*c）*x1+b*r+L*y;
x1=x1+E*dt;
y1=c*x1;
t=[ti*dt];
Y=[Yy];
Y1=[Y1y1];
end
dd1=Tvalue（Y,dt）;
dd1=['系统实际输出',char（13,10）',dd1];
dd2=Tvalue（Y1,dt）;
dd2=['观测到的系统输出',char（13,10）',dd2];
subplot（2,1,1）;
plot（t,Y,'b','linewidth',2）;
legend（dd1,4）;
gridon;
subplot（2,1,2）;
plot（t,Y1,'r','linewidth',2）
legend（dd2,4）;
gridon;
得到的输出曲线如下
两条曲线几乎没有差别，说明状态观测器的输出挺接近真实值。
3、增广状态反馈
3.1增广状态反馈简介
当全状态反馈控制闭环系统的稳态输出存在稳态误差，原有的状态反馈形式变无法继续。
这个时候我们需要引入增广状态反馈。
方框图如下所示：
增广状态反馈与普通状态反馈的区别在于，输入端即串入积分比例控制器。
类似于PI控制器中的消除稳误差的积分作用，增广矩阵也是利用相同的原理来消除误差的。
当阶跃信号y与系统的输出yr存在静态误差时，积分作用将误差进行累加，导致输入信号u不断改变。
此时系统的输出y就不会保持不变，而是向着靠近yr的方向靠近，直至无差。
3.2为上述系统加入增广状态反馈环节
对应的程序如下。
clearall;
closeall;
clc;
n=2;
num=[5];
den=[1010];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）
m=ctrb（a,b）;
n=rank（m）;
ts=10;
fai=10;
jieta=sol_jieta（fai）;
wn=sol_wn（ts,jieta）;
JR=-wn*jieta;
JI=j*wn*sqrt（1-jieta^2）;
Ahat=[azeros（n,1）;-c0];
Bhat=[b;0];
Chat=[c0];
J=[5*JRJR+JIJR-JI];
Khat=place（Ahat,Bhat,J）
K=Khat（1:
n）;
Kl=Khat（n+1）;
a1=[a-b*K-b*Kl;-c0];
b1=[zeros（n,1）;1];
c1=Chat;
d1=0;
t=0:
0.1:
90;
[y,t,x]=step（ss（a1,b1,c1,d1）,t）;
plot（t,y）;
dd=Tvalue（y,0.1）;
legend（dd,4）;
得到的输出曲线为
4实验总结
系统的极点直接影响着系统的响应特性，当我们按照一定的原则对系统进行调整来实现极点的配置，即可使系统品质的满足各项要求。
在经典控制系统设计中，对于一个简单的单输入单输出闭环系统而言，控制器部分只有简单的增益环节K，因此系统仅有唯一的控制参数K可供调整。
但对于N维控制系统，控制器需要至少N个独立变量来调整系统所需根极点的位置，状态反馈控制器则可以将系统的所有状态变量X都进行反馈，将系统的根极点调整到需要的位置，即系统的状态观测设计，就可以保证系统带全观测的状态反馈控制顺利实现。
总之，状态反馈控制是一种很好的控制方法，能够满足绝大部分的控制需求，而且控制效果可以达到要求，并且随着知识的不断发展，状态反馈控制也会变得更加完善，满足更多科学工作者们的要求。
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