兰州大学运筹学目标规划课后习题题解.docx
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兰州大学运筹学目标规划课后习题题解
第八章目标规划
8.1请将下列目标规划问题数学模型的一般形式转换为各优先级的数学模型。
1、
minP1（dl-）＋P2（d2-）＋P2（d2+）＋P3（d3-）＋P3（d3+）＋P4（d4-）
约束条件：
4xl≤680
4x2≤600
2xl＋3x2－d1++d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2xl＋2x2－d3++d3-＝12
xl＋2x2－d4++d4-＝8
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-≥0。
解：
这是一个四级目标规划问题：
第一级：
mindl-
S.T.4xl≤680
4x2≤600
2xl＋3x2－d1++d1-＝12
xl，x2，d1+，d1-≥0
第二级：
mind2-＋d2+
S.T.4xl≤680
4x2≤600
2xl＋3x2－d1++d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
d1-＝第一级的最优结果
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-≥0
第三级：
mind3-＋d3+
S.T.4xl≤680
4x2≤600
2xl＋3x2－d1++d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2xl＋2x2－d3++d3-＝12
d1-＝第一级的最优结果
d2+，d2-＝第二级的最优结果
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0
第四级：
mind4-
S.T.4xl≤680
4x2≤600
2xl＋3x2－d1++d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2xl＋2x2－d3++d3-＝12
xl＋2x2－d4++d4-＝8
d1-＝第一级的最优结果
d2+，d2-＝第二级的最优结果
d3+，d3-＝第三级的最优结果
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-≥0
2、
minP1（dl-）＋P2（d2-）＋P2（d2+）＋P3（d3-）
约束条件：
12xl＋9x2＋15x3－d1++d1-＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2++d2-＝40
5xl＋7x2＋8x3－d3++d3-＝55
xl，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0。
解：
这是一个三级目标规划问题：
第一级：
mindl-
S.T.12xl＋9x2＋15x3－d1++d1-＝125
xl，x2，x3，d1+，d1-≥0
第二级：
mind2-＋d2+
S.T.12xl＋9x2＋15x3－d1++d1-＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2++d2-＝40
dl-＝第一级的最优结果
xl，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-≥0
第三级：
mind3-
S.T.12xl＋9x2＋15x3－d1++d1-＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2++d2-＝40
5xl＋7x2＋8x3－d3++d3-＝55
dl-＝第一级的最优结果
d2+，d2-＝第二级的最优结果
xl，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0
8.2某企业生产A、B、C、三种不同规格的电子产品，三种产品的装配工作在同一生产线上完成，各种产品装配时消耗的工时分别为5、9和12小时，生产线每月正常台时为1500小时；三种产品销售出去后，每台可获得利润分别为450、550和700元；三种产品每月销售量预计分别为300、80和90台。
该厂经营目标如下：
P1------利润目标为每月150000元，争取超额完成。
P2------充分利用现有生产能力。
P3------可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。
P4------产量以预计销量为标准。
试建立该问题的目标规划数学模型，并求解最合适的生产方案。
解：
先将问题的数据分析如下表：
产品A
产品B
产品C
机器正常台时
所需台时数（小时）
5
9
12
1500
产品利润（元/台）
450
550
700
预计销售量（如）
300
80
90
设三种产品的产量分别为xl、x2、x3。
首要目标是每月的利润为150000元。
设偏差变量d1+、d1-为每月利润高于或低于150000元的部分。
所以有：
minP1（d1-）
450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
其次目标是充分利用现有生产力，现有生产力只有提供的机器台时数。
所以设偏差变量d2+、d2-为使用机器台时数超过或少于1500小时的部分。
有：
minP2（d2-）
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
再次目标是可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。
所以设偏差变量d3+、d3-为使用机器台时数超过或少于1600小时的部分。
有：
minP3（d3+）
5xl＋9x2＋12x3－d3++d3-＝1600
最后目标是产量以预计销量为标准。
所以设偏差变量d4+和d4-、d5+和d5-、d6+和d6-为分别代表产品A超过或少于120、产品B超过或少于80、产品C超过或少于90、的部分。
有：
minP4（d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+）
xl－d4++d4-＝300
x2－d5++d5-＝80
x3－d6++d6-＝90
所以得本问题的目标规划数学模型：
minP1（d1-）＋P2（d2-）＋P3（d3+）＋P4（d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+）
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3++d3-＝1600
xl－d4++d4-＝300
x2－d5++d5-＝80
x3－d6++d6-＝90
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2,3,4,5,6）
这是一个四级目标规划问题：
第一级：
mind1-
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
xi≥0（i=1,2,3）
d1+、d1-≥0
代入求解模板得结果：
即：
最优解：
（0，0，214.29）,最优值：
mind1-＝0
第二级：
mind2-
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
d1-＝0
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2）
代入求解模板得结果：
即：
最优解：
（333.33，0，0）,最优值：
mind1-＝0，mind2-＝0
第三级：
mind3+
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3++d3-＝1600
d1-＝0
d2-＝0
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2，3）
代入求解模板得结果：
即：
最优解：
（333.33，0，0）,最优值：
mind1-＝0，mind2-＝0，mind3+＝66.667
第四级：
mind4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3++d3-＝1600
xl－d4++d4-＝300
x2－d5++d5-＝80
x3－d6++d6-＝90
d1-＝0
d2-＝0
d3+＝66.667
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2,3,4,5,6）
代入求解模板得结果：
即：
最优解：
（333.33，0.0001，0）,
最优值：
mind1-＝0，mind2-＝0，mind3-＝66.667,
mind4-＝0,mind4+＝33.33
mind5-＝80,mind5+＝0
mind4-＝90,mind4+＝0
即安排生产的方案：
生产产品A33.33件，产品B和产品C不生产最合适。
若再加上产品是整数的特殊要求：
第一级：
mind1-
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
xi≥0（i=1,2,3）
d1+、d1-≥0
得最优解：
（0，0，215）
最优值：
d1-＝0
第二级：
mind2-
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
d1-＝0
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2）
得最优解：
（334，0，0）
最优值：
d1-＝0，d2-＝0
第三级：
mind3+
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3++d3-＝1600
d1-＝0
d2-＝0
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2，3）
得最优解：
（334，0，0）
最优值：
d1-＝0，d2-＝0，d3-＝70
第四级：
mind4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+
S.T.450xl＋550x2＋700x3－d1++d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2++d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3++d3-＝1600
xl－d4++d4-＝300
x2－d5++d5-＝80
x3－d6++d6-＝90
d1-＝0
d2-＝0
d3+＝70
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2,3,4,5,6）
得最优解：
（334，0，0）
最优值：
d1-＝0，d2-＝0，d3-＝70
mind4-＝0,mind4+＝34
mind5-＝80,mind5+＝0
mind4-＝90,mind4+＝0
8.3现有一个四个产地、三个销地的运输问题，其供需数量及单位运费如下表所示：
销地
产地
B1
B2
B3
`供应量
A1
4
7
5
12
A2
6
4
8
5
A3
3
6
10
6
A4
5
4
8
11
需求量
12
16
18
经营决策中要求所有产地的产量都必须全部运出，希望达到目标以及优先等级如下：
P1------销地B1、B2至少得到它需求量的50%。
P2------必须满足销地B3全部需求量。
P3------由于客观原因，要尽量减少A4到B2的货运量。
P4------若期望运费132元，并尽可能减少运输费用。
解：
设决策变量如下表：
销地
产地
B1
B2
B3
`供应量
A1
xl
x2
x3
12
A2
x4
x5
x6
5
A3
x7
x8
x9
6
A4
xl0
xl1
xl2
11
需求量
12
16
18
因为经营决策中要求所有产地的产量都必须全部运出所以得以下四个绝对约束：
xl＋x2＋x3＝12
x4＋x5＋x6＝5
x7＋x8＋x9＝6
xl0＋x11＋x12＝11
本问题的首要目标是销地B1、B2至少得到它需求量的50%。
即B1至少得到6件，B2至少得到8件。
设偏差变量d1+和d1-、d2+和d2-分别代表B1超过或少于6件、B2超过或少于8件的部分。
有：
minP1（d1-＋d2-）
xl＋x4＋x7＋x10－d1++d1-＝6
x2＋x5＋x8＋x11－d2++d2-＝8
其次目标是必须满足销地B3全部需求量。
设偏差变量d3+和d3-代表B3超过或少于18件的部分。
有：
minP2（d3-）
x3＋x6＋x9＋x12－d3++d3-＝18
再次目标是要尽量减少A4到B2的货运量。
设偏差变量d4+和d4-代表A4到B2的货运量超过或少于0件的部分。
有：
minP3（d4+）
x11－d4++d4-＝0
最后的目标是期望运费132元，并尽可能减少运输费用，设偏差变量d5+和d5-代表总运费超过或少于132元件的部分。
有：
minP4（d5+）
4xl＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12－d5++d5-＝132
所以得本问题的目标规划数学模型：
minP1（d1-＋d2-）＋P2（d3-）＋P3（d4+）＋P4（d5+）
S.T.xl＋x2＋x3＝12
x4＋x5＋x6＝5
x7＋x8＋x9＝6
xl0＋x11＋x12＝11
xl＋x4＋x7＋x10－d1++d1-＝6
x2＋x5＋x8＋x11－d2++d2-＝8
x3＋x6＋x9＋x12－d3++d3-＝18
x11－d4++d4-＝0
4xl＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12－d5++d5-＝132
xi≥0（i=1,2…..12）
di+、di-≥0（i=1,2,3,4,5）
这是一个四个优先及的目标规划问题：
第一级：
mind1-＋d2-
S.T.xl＋x2＋x3＝12
x4＋x5＋x6＝5
x7＋x8＋x9＝6
xl0＋x11＋x12＝11
xl＋x4＋x7＋x10－d1++d1-＝6
x2＋x5＋x8＋x11－d2++d2-＝8
xi≥0（i=1,2…..12）
di+、di-≥0（i=1,2）
得结果：
最优解（0，0，12，0，0，5，0，3，3，6，5，0）
最优值d1-＝0，d2-＝0
第二级：
mind3-
S.T.xl＋x2＋x3＝12
x4＋x5＋x6＝5
x7＋x8＋x9＝6
xl0＋x11＋x12＝11
xl＋x4＋x7＋x10－d1++d1-＝6
x2＋x5＋x8＋x11－d2++d2-＝8
x3＋x6＋x9＋x12－d3++d3-＝18
d1-＝0
d2-＝0
xi≥0（i=1,2…..12）
di+、di-≥0（i=1,2，3）
得结果：
最优解（0，0，12，0，0，5，0，5，1，8，3，0）
最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝0
第三级：
mind4+
S.T.xl＋x2＋x3＝12
x4＋x5＋x6＝5
x7＋x8＋x9＝6
xl0＋x11＋x12＝11
xl＋x4＋x7＋x10－d1++d1-＝6
x2＋x5＋x8＋x11－d2++d2-＝8
x3＋x6＋x9＋x12－d3++d3-＝18
x11－d4++d4-＝0
d1-＝0
d2-＝0
d3-＝0
xi≥0（i=1,2…..12）
di+、di-≥0（i=1,2，3，4）
得结果：
最优解（0，0，12，0，3，3，0，5，0，8，0，3）
最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝0，d4+＝0
第四级：
mind5+
S.T.xl＋x2＋x3＝12
x4＋x5＋x6＝5
x7＋x8＋x9＝6
xl0＋x11＋x12＝11
xl＋x4＋x7＋x10－d1++d1-＝6
x2＋x5＋x8＋x11－d2++d2-＝8
x3＋x6＋x9＋x12－d3++d3-＝18
x11－d4++d4-＝0
4xl＋7x2＋5x3＋6x4＋4x5＋8x6＋3x7＋6x8＋10x9＋5x10＋4x11＋8x12－d5++d5-＝132
d1-＝0
d2-＝0
d3-＝0
d4+＝0
xi≥0（i=1,2…..12）
di+、di-≥0（i=1,2,3,4,5）
得结果：
最优解（0，0，12，0，5，0，3，3，0，5，0，6）
最优值d1-＝0，d2-＝0，d3-＝9，d4+＝0，d5+＝48
即：
销地
产地
B1
B2
B3
`供应量
A1
0
0
12
12
A2
0
5
0
5
A3
3
3
0
6
A4
5
0
6
11
需求量
12
16
18
8.4某公司准备投产三种产品，三种产品的单位利润、需要劳动力资源及投入成本情况如下表：
产品
利润（万元/件）
需要工人（人/万件）
投入成本（元/件）
产品1
15
6
6
产品2
10
4
8
产品3
12
5
10
现在的重要工作是确定三种产品的生产计划，并且要求在计划中最好能体现完成以下三个目标：
P1--------希望总利润不低于130万元。
P2--------现有工人45名，要充分利用现有员工，但尽可能不要安排加班。
P3--------希望总投资不要超过60万元。
1、用优先级目标规划确定满意的投产计划。
2、若将三个目标赋予偏离目标的罚数权重为低于总利润目标为5；低于现有工人利用目标为4；超过现有工人人数目标为2；超过投资额目标为3。
用加权目标规划确定满意的投产计划。
解：
分别设三种产品的产量为x、x2、x3件。
1、minP1（d1-）＋P2（d2-+d2+）＋P3（d3+）
S.T.15xl＋10x2＋12x3－d1++d1-＝130
6x1＋4x2＋5x3－d2++d2-＝45
6x1＋8x2＋10x3－d3++d3-＝60
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2,3）
这是一个三个优先级的目标规划问题：
第一级：
mind1-
S.T.15xl＋10x2＋12x3－d1++d1-＝130
xi≥0（i=1,2,3）
d1+、d1-≥0
得最优解：
（8.667，0，0），最优值：
mind1-＝0
第二级：
mind2-+d2+
S.T.15xl＋10x2＋12x3－d1++d1-＝130
6x1＋4x2＋5x3－d2++d2-＝45
d1-＝0
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2）
得最优解：
（8.667，0，0），最优值：
mind1-＝0，mind2-＝0，mind2+＝7
第三级：
mind3+
S.T.15xl＋10x2＋12x3－d1++d1-＝130
6x1＋4x2＋5x3－d2++d2-＝45
6x1＋8x2＋10x3－d3++d3-＝60
d1-＝0
d2-＝0
d2+＝7
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2,3）
得最优解：
（7.333，2，0），
最优值：
mind1-＝0，mind2-＝0，mind2+＝7，mind3+＝0
即产品1安排生产7.333件，产品2安排2件最合适。
若考虑产品应该是整数可得：
第一级：
得最优解：
（9，0，0），最优值：
mind1-＝0
第二级：
得最优解：
（8，1，0），
最优值：
mind1-＝0，mind2-＝0，mind2+＝7
第三级：
得最优解：
（8，1，0），
最优值：
mind1-＝0，mind2-＝0，mind2+＝7，mind3+＝0
即产品1安排生产8件，产品1安排1件最合适。
2、min5d1-＋4d2-+2d2+＋3d3+
S.T.15xl＋10x2＋12x3－d1++d1-＝130
6x1＋4x2＋5x3－d2++d2-＝45
6x1＋8x2＋10x3－d3++d3-＝60
xi≥0（i=1,2,3）
di+、di-≥0（i=1,2,3）
得最优解：
（7.333，2，0），
最优值：
min5d1-＋4d2-+2d2+＋3d3+＝14
即产品1安排生产7.333件，产品2安排2件最合适。
8.5某公司准备从两个不同仓库向三个居民点提供某种产品。
在计划其内该产品供不应求，公司决定重点保证某些居民点的需要，同时又要保证总的运费要最省。
已知仓库的库存量、各居民点的需求量及仓库到各居民点的单位运费如下表：
运价单位：
元/单位产品
居民点1
居民点2
居民点3
库存量（单位产品）
仓库1
12
5
10
3200
仓库2
10
12
4
4500
需求量（单位产品）
2500
1800
5000
公司要求在制定运输方案时考虑以下六个有序目标：
P1--------完全满足居民点3的需求。
P2--------至少满足所有居民点需求的75%。
P3--------使总的运费为最小。
P4--------从仓库2向居民点3的最小货运量为1200单位。
P5--------从仓库1到居民点3和从仓库2到居民点1的公路不好，希望尽可能减少运货量。
P6--------平衡居民点1和居民点2之间的供货量最满意水平。
试求满意的运输方案。
解：
这是一个运输问题，但由于库存量（3200+4500=7700单位）不能完全满足3个居民点的需求（2500+1800+5000=9300单位），所以是一个产销不平衡的运输问题，我们先不考虑六个目标的附加条件，先求出无条件产销不平衡的最佳运输方案。
居民点1
居民点2
居民点3
库存量（单位产品）
仓库1
900
1800
500
3200
仓库2
4500
4500
需求量（单位产品）
2500
1800
5000
最小运输费用：
42800元
下面考虑公司设有的6个有序目标，可利用优先目标规划模型来求解。
1、确定决策变量
设仓库到各居民点的产品运量为xi如下表：
居民点1
居民点2
居民点3
库存量（单位产品）
仓库1
x1
x2
x3
3200
仓库2
x4
x5
x6
4500
需求量（单位产品）
2500
1800
5000
在本问题的六级目标中一共有9个目标，设di+和di-（i=1,2…,9）为各目标的偏差变量。
2、绝对约束条件
xl＋x2＋x3＝3200
x4＋x5＋x6＝4500
x1＋x4≤2500
x2＋x5≤1800
x3＋x6≤5000
3、各级的目标规划数学模型
一级：
满足居民点3的需求。
所以mind1-
S.T.
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