数列的概念与简单表示法教学设计 李.docx

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数列的概念与简单表示法教学设计李

2.1数列的概念与简单表示法

第1课时数列的概念与简单表示法

（人教A版高中新课程标准实验教科书必修5）

教师教育学院学科教学（数学）1411290018李鑫

1、教材分析

本节课选自普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修5）中第二章《数列》第一节“数列的概念与简单表示法”的第一课时，课程类型：

新授课。

数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的位置，数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用。

同时，数列也是中学数学到高等数学的一个桥梁，它是极限、微积分等近代数学的重要基础，为之后学习作了铺垫。

数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。

本章在对学生学习、生活中大量实际问题的分析基础上，建立等差数列和等比数列特殊的数列模型，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本关系。

本节课是数列起始课，聚焦到数列实例，注重概念的形成过程，突出了函数思想、数学模型思想、特殊到一般数学思想，强化了用函数视角看待数列，体现数列的应用性以及数学的文化价值。

二、学情分析

知识层面：

高一学生已经学习了集合，用集合的视角看待数学学习中所研究的各种对象，同时运用集合语言准确、简捷地表征数学内容。

在集合之后对基本初等函数进行系统学习，从映射的角度理解函数，了解函数表示方法与函数的图像和性质。

思维能力层面：

同初中相比较，认识到高中数学学习的不同，更注重抽象思维的培养，具有一定的特殊到一般、数学模型、转化与化归等数学思想的基础。

经由初中到高中学习的衔接、过渡，思维水平有了质的提升，但需注意推理过程中逻辑严谨性，如分类讨论方法的运用等更全面地分析问题、解决问题。

3、教学目标

对学生情况进行充分了解、分析后，结合本节课教学内容设置如下教学目标：

1.通过实例，理解数列及其相关概念，重点体会其次序性，了解数列的几种简单表示方法（列表、图像、通项公式）。

2.通过数列的三种表达形式，突出研究数列问题考虑的两个元素——项、序号，由两个变量相互对应掌握数列的通项公式，与之前学习的函数相关联。

3.在数列学习过程中，体会函数思想、数学模型思想、特殊到一般数学思想的渗透。

教学重点：

1.通过实例，理解数列的概念和次序性，了解数列的几种简单表示方法（列表、图像、通项公式）。

2.理解数列是一种特殊函数。

3.通过对数列的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养观察能力和抽象概括能力。

4.知识的形成过程中体会函数思想、数学模型思想、特殊到一般的数学思想的渗透。

教学难点：

1.由数列的前几项抽象、归纳数列的其中一个通项公式。

2.理解数列是一种特殊函数。

3.知识的形成过程中体会函数思想、数学模型思想、特殊到一般的数学思想的渗透。

4、教法、学法

普通高中《数学课程标准》（实验）倡导积极主动、勇于探索的学习方式，课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动。

根据本节课的教学内容，以数学史编制问题引入，以问题串推动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法。

同时，为了直观、形象地突出重点，突破难点，借助多媒体等信息技术，如借助几何画板动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

从问题的提出到解决，学生通过直观感知学习、生活中的数列实例，观察其特点，模仿实例列举数列，学习数列、项、首项等概念，把初步建立的“次序”与“每个数”之间的对应关系，精确的数学语言进行描述，同时转化成符号语言用项an、次序（序号）n表示其函数关系。

以问题驱动，深刻地理解数列及其相关概念。

通过合作交流，观察数列对象，对其进行分类，体会不同标准下的分类成果。

而教师则作为数学学习的组织者、引导者、合作者，在宏观把握整个整体的同时及时给予点拨和纠正。

5、教学过程

本节课选自普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修5）中第二章《数列》第一节“数列的概念与简单表示法”的第一课时，课程类型：

新授课。

主要通过以下四个阶段进行教学，课题导入、新知传授、概念应用、总结提升，具体步骤如下：

（一）课题导入

教学阶段

（一）课题导入

教学内容

问题：

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾研究三角形数，常借助在沙滩上画点或石子来表示数，仔细观察三角形数的规律，给大家一点时间思考，完成下面的填空。

1，3，6，

图一图二图三图四

类似的还有1，4，9，16，25，...被称为正方形数。

图一图二图三图四

像这样按照一定顺序排列着的一列数就是我们今天要学习的主要内容——数列。

教师活动

展示课件，提出要考一考同学，将学生注意力集中到数学问题的思考中。

学生活动

审题，利用题目中的已知条件，借助图形完成填空。

设计意图（教学策略、方法等）

以数学史内容改编成问题从而引入课题——数列，调动学生学习兴趣，活跃思维。

同时渗透数形结合方法，借助图像发现三角形数、正方形数的排列规律。

（二）新知传授

教学环节

环节一：

概念引入

教学内容

我们在学习和生活中经常可以遇到按次序排列的一列数，看几个例子:

（1）堆放的钢管，共7层，自上而下各层的钢管数是:

4,5,6,7,8,9,10;

（2）

的精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值:

1,1.4,1.41,1.414,…;

（3）《庄子》中的一句话:

一尺之棰,日取其半,万世不竭.将每日剩余的长度写出来,我们就可以获得一列数

教师活动

展示课件，列举学习和生活中经常可以遇到按次序排列的一列数（数列），引导学生仿照实例列举数列。

学生活动

仔细观察课件中列举的数列，初步从形式上进行模仿，与其次序建立联系，掌握项、首项等概念。

设计意图（教学策略、方法等）

先点题再让学生举例，同时介绍数列一种研究实际问题的方法。

为了研究方便，给出项的概念，并与其次序初次建立关系。

教学环节

环节二：

理解数列概念

教学内容

问题一：

目前通用的人民币面额从大到小排列的顺序构成数列（单位：

元）：

100，50，20，10，5，1，0.5，0.1与目前通用的人民币面额从小到大排列的顺序构成数列（单位：

元）：

0.1，0.5，1，5，10，20，50，100两个数列是否为同一个数列？

问题二：

2015中超联赛第八轮已结束，下述表格中球队进球数能否构成一个数列？

球队

北京国安

广州恒大

山东鲁能

江苏舜天

辽宁宏运

进球数

3

3

2

1

0

教师活动

展示课件，对回答问题同学施以引导，积极地个性化的评价，同时，在问题一强调数列的各项是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。

而在问题二处强调数列中的各项的数值是可以相等的，但属于不同项。

如果进行的顺利，学生在理解概念理解地比较好，教师辅以“结合我们刚刚见到的几个数列，想一想高一刚开始我们学习的集合，你能说一说数列中的项与集合中的元素有什么区别吗？

”等问题。

学生活动

理解数列的概念，再次数列的各项与其序号建立联系。

（同时区分数列各项与集合中的元素：

1.数列涉及的对象是数，而集合不局限于数。

2.数列中的数按一定顺序排列，而集合中的元素具有无序性。

（举例子）3.数列中的数可以重复出现，集合元素具有互异性。

...只要言之有理，不局限于上述表达。

）

设计意图（教学策略、方法等）

以问题串的方式，引发学生思考，深化对数列及其相关概念的理解。

同时，例题中给出的数列多元的类型，促使学生产生思维的冲突，为环节三探究数列的类型作铺垫。

教学环节

环节三：

探究数列类型

教学内容

活动:

让同学列举一些数列，并板书在黑板上同时展示课件，互相讨论将列举的数列（包括黑板）进行分类。

标准

类型

项数

有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无线）

项间大小关系

递增数列；递减数列；常数列

其他

摆动数列

由此，给出数列的一般形式：

记做数列{an}。

教师活动

强调了数列的次序性与各项可以相等的性质之后，再来环节二的两个问题，使绝大部分同学能够得到两个问题正确解答。

借此在黑板板书多类型的一列数，让同学判断是否为数列。

展示课件中的活动，组织学生进行合作交流探究数列类型，并书写研究报告。

结合大量实例引导学生归纳出数列的一般形式，并书写至黑板。

学生活动

深刻理解数列及其相关概念，掌握环节二问题一二中提出的数列的项与集合中元素的不同点。

同其他同学进行合作交流，仔细观察老师、学生们一同列举的所有数列，对其进行分类，完成研究报告的表格。

设计意图（教学策略、方法等）

通过对给出数列类型的探究，互相合作交流，体会不同角度、标准下数列的类型并不唯一。

同时在给学生观察大量数列实例的基础上给出数列的一般形式，强调其符号表示{an}。

教学环节

环节四：

掌握通项公式

教学内容

问题：

通过今天的学习，我们了解到每一项与该项的序号具有一定的联系，那在此之前，我们见过这种两个变量之间的对应关系吗？

（引导学生回答函数关系），提到函数关系，那是不会产生这样一个问题，数列是函数吗？

我们能否用一个式子（解析式）表示，如何表示？

带着这个疑问，我们一起看一个非常简单的数列。

例：

仔细观察下列表格，你能解决课件中的问题吗？

项

1

...

序号

1

2

3

4

5

...

学生思维水平和概括能能存在差异，可能得到的结果：

序号和项的分母是一样的。

这个数列的每一项的分母就是序号。

序号用n表示的话，那项就可以用

来表示。

数列{an}中，an=

总结：

这个数列的每一项与该项的序号之间满足的互为倒数的关系，我们用符号表示每一项

，即只要依次用1，2，3...代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项。

像

这样的式子我们就称之为该数列的通项公式。

练习：

观察下列几个数的特点，按照其中的规律完成填空

2，5，10，17，26，（），50，...

问题：

你能从中得到什么启示呢？

练习：

根据下列数列{an}的通项公式，求a5,an-1。

1.

2.

2.

教师活动

回顾之前环节所得到的结论，为本环节通项公式的学习做铺垫。

引导学生同之前学习的函数概念建立联系，认识到数列是一类函数。

学生活动

理解数列是一类特殊函数，通过观察、归纳总结使课件中呈现的问题得以解决，同时，掌握通项公式的概念，注意不同类型的数学知识的表征，尤其注意符号语言的转化。

设计意图（教学策略、方法等）

以课件中的问题为驱动，引导学生观察列表法表示的数列，深化两个变量一一对应，并且尝试写出“数列函数的解析式”。

（此环节内学生很容易发现规律，并且可以用语言进行描述，引导学生用精确的数学语言表征通项公式的概念，同时注意符号语言的转化。

）

（三）概念应用

教学内容

问题：

我们刚刚通过列举数列的项和序号构成列表以及通项公式来表示数列，还有其他的表示方法吗？

（学生回答问题并阐述自己的思考过程，教师施以评价。

）

图像，那你能做出下列两个数列的图像吗？

1、全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列：

2，4，6，8，10，...,2n，...

2、正方形数构成的数列：

1，4，9，16，...，

，...

利用几何画板演示。

问题：

谈谈自己对数列的理解；

注意：

孤立的点。

定义域是正整数N*（或它的有限子集）

教师活动

类比基本初等函数的学习，引导学生通过其图像理解数列作为一种函数的特殊性，利用几何画板“显示与隐藏”功能，试误重点强调出——孤立的点，也由此一步一步启发学生认识到定义域、值域、对应关系的重要性。

学生活动

同之前基本初等函数学习建立联系，通过直观感知数列是一类特殊的函数。

设计意图（教学策略、方法等）

通过数列的三种表示方法，特别的图像法，再次体会函数视角理解数列。

同时，学生可能会存在数列同之前学习的函数其图像一样，是连续的，利用几何画板“显示”与“隐藏”功能，利用试误使学生对其表象记忆深刻，从而深化其数列函数的特殊性——定义域非连续，正整数N*（或它的有限子集）。

（四）总结提升

教学内容

教师活动

启发引导学生进行知识梳理，呈现数列第一课时思维导图。

学生活动

回顾本节课学习的知识、经验，进行系统整理。

设计意图（教学策略、方法）

以概念图梳理本节课学习的知识，使学生在头脑中建立知识网络，理解数列及其相关概念之间的逻辑性，同时突出教学重点，再次强调。

作业：

分为必做题和选做题

必做题：

大阳光P17、19

思考：

你能写出三角形数的通项公式吗？

阅读书P32斐波那契数列相关内容。

选做题：

大阳光P18

板书设计（略）

6、教学反思

数学教学中对于概念教学重视程度不高，常常把教学的重点放在教学内容的相关性质上，简单地说是一种“做题取向”，而数列概念的理解对于后续学习递推公式、等差数列、等比数列等是有事半功倍的效果。

特别的，针对2014年天津高考理数的19题考察集合的一个反思，在讲解过程中学生将其看作数列的现象很普遍，很难在集合的视角下思考问题，导致思维十分局限。

究其原因，存在高考题目考察内容和位置相对固定，学生产生思维定式，但在题目用列举法表示集合的已知条件清楚列出的情况下，更多的是没有深刻理解集合与数列的区别，因此在概念教学上要提高老师和学生的重视程度。