最新人教版高中数学必修⑤21《数列的概念与简单表示法》教学设计.docx
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最新人教版高中数学必修⑤21《数列的概念与简单表示法》教学设计
人教版高中数学必修⑤2.1《数列的概念与简单表示法》教学设计
课题：
必修⑤2.1数列的概念与简单表示法三维目标：
1．知识与技能
（1）理解数列及其有关概念，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列的简单分类；
（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式；
（4）了解数列是一种特殊的函数；
（5）了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与
的关系.
2．过程与方法
（1）通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
（2）通过实例，体会并掌握数列的概念及表示方法，体验观察分析法求数列的通项公式的过程和技巧，发展数学猜想验证的能力；
（3）通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力；
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
3．情态与价值观
（1）通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
（2）借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；
（3）通过对数列知识的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神，并进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。
教学重点：
理解数列的概念，探索并掌握数列的简单表示法：
通项公式、列表法、图像法。
根据数列的递推公式写出数列的前几项，数通项公式及其应用。
教学难点：
了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
理解递推公式与通项公式的关系根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
教具：
多媒体、实物投影仪
教学方法：
合作探究、分层推进教学法
教学过程：
一、双基回眸科学导入：
1.在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“
”，再取一半还剩“
”，、、、、、、，如此下去，即得到1，
，
，
，、、、、、、
2.生活中的三角形数、正方形数：
三角形数：
1，3，6，10，…
正方形数：
1，4，9，16，25，…
可用多媒体展示三角形数、正方形数，提问：
这些数有什么规律？
与它所表示的图形的序号有什么关系？
今天，我们就来研究这种按一定次序排列的数
二、创设情境合作探究：
★让学生通过自主学习，回答下列基本知识带来的问题：
什么是数列？
什么是数列的项？
你能举出几个数列的例子吗？
数列有几种分类方法？
什么是数列的通项公式？
★⒈数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
【点评】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉数列的项：
数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
例如，上述例子均是数列，其中1，4，9，16，25，…，“4”是这个数列的第2项（或首项），“9”是这个数列中的第3项.
⒊数列的一般形式：
，或简记为
，其中
是数列的第n项
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？
这一关系可否用一个公式表示？
（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于下面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓↓↓↓↓
序号12345
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
来表示其对应关系
即：
只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋数列的通项公式：
如果数列
的第n项
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
【点评】⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：
1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
，也可以是
.
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第
项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：
项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
是有穷数列
无穷数列：
项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：
从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：
从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：
各项相等的数列。
摆动数列：
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
三、互动达标巩固所学：
问题.1根据数列的定义，判断下列各小题是否为数列。
⑴苹果，香蕉，葡萄，西瓜
⑵4，5，6，7，8
⑶
⑷1，-1，1，-1，1，-1
⑸1，1，1，1，1，1，1
【分析】此题非常简单，只要根据定义即可答出
【解析】
（1）不是，其他均是。
【点评】此题主要考察对定义的理解和掌握情况。
问题.2根据数列的通项公式，写出数列的前5项。
（1）
（2）
（3）
⑷数列满足
【分析】前三个题是给出的通项公式，最后一个题给出的是递推关系。
【解析】⑷解：
据题意可知：
，
【点评】此种问题，只要把第一项
，代入递推公式：
即可逐个求出
问题.3根据数列的前4项，写出数列的通项公式。
（1）2，4，8，16
（2）
（3）1，-1，1，-1
（4）
（5）1，1，1，1
（6）2，0，2，0
（7）9,99,999,9999
★引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。
并思考：
根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？
举例说明。
问题.4图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图中的5个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前5项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像
。
【分析】此题的三角形变化规律性较强：
每一次变化，每个三角形都一分为三。
【解析】
【点评】通过多媒体展示希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。
体会数列的图象是一系列孤立的点。
【小试牛刀】
1、观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式。
（1）2，4，（），16，32，（），128
（2）（），4，9，16，25，（），49
（3）
（4）
2、数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式。
（1）
（2）
（3）
3、数列的通项公式为
则数列中的第
项为：
A.
B.
C.
D.
4、600是
这个数列的第几项？
5、根据数列的前四项，写出通项公式。
（1）2，4，2，4
（2）3，33，333，3333
四、思悟小结：
知识线：
（1）数列的概念：
数列，项
（2）数列的分类：
有穷数列，无穷数列递增数列，递减数列，常数列，摆动数列
（3）数列的表示方法：
通项公式递推公式图像图标
（4）数列的通项和递推关系
思想方法线：
（1）公式法；
（2）猜测法；
（3）递推思想；
（4）抽象概括思想。
题目线：
（1）根据数列的通项公式，写出数列的前几项；
（2）根据数列的前几项，写出通项公式
（3）根据图形的规律，写出通项公式
五、针对训练巩固提高：
1．下面对数列的理解有四种：
①数列可以看成一个定义在N*或它的有限子集上的函数；
②数列的项数是无限的；
③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
④数列的通项公式是唯一的。
其中正确的序号是（）.
A.①②③B.②③④C.①③D.①②③④
2.在数列
中，
是它的
A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项
3.已知数列的一个通项公式为
则
=
A.
B.－
C.
D.－
4.已知数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，53，…中，x=
A．18B.21C.23D.24
5.说出下面数列一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数
⑴1，3，5，7
⑵
⑶
6已知数列
的前n项和
，则
。
7数列
中的最大项是。
六布置作业：
A类作业：
课本P33习题2.1A组的第2，3题.
B类作业：
课本P35习题2.1B组的第1,2，3题.
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