圆心角圆周角弧和弦练习.docx

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圆心角圆周角弧和弦练习

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=

AB，OD=2。

（1）求∠CDB的度数；

（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形。

它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比

。

①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；

②求弦CE的长；

③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？

若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由

解：

1.

（1）∵AB是⊙O的直径，DE=

AB，

∴OA=OC=OE=DE.

则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC.

 设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.

又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.

∴x+2x=108，x=36°.∴∠CDB=36°；

（2）①有三个：

△DOE，△COE，△COD.

∵OE=DE，∠CDB=36°，∴△DOE是黄金三角形；

②∵△COD是黄金三角形，∴

 ∵OD=2，∴OC=

-1.

∵CD=OD=2，DE=OC=

-1，

∴CE=CD-DE=2-（

-1）=3-

；

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3（如图所示）。

ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：

作OE的垂直平分线

分别交直线AB、CD得到点P1、P2。

ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：

点P3与点A重合。

2.

在一次数学实验探究课中，需要研究同一个圆中两条线段的关系问题，某同学完成了以下部分的记录，单位：

cm

（1）请计算AE×BE，CE×DE的值，并填入上表相应的位置。

（2）猜想对在同一个圆中，两条线段相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？

并试着证明。

（3）利用上述结论，解决问题:

AB为⊙Ｏ的弦，Ｐ是AB上一点，AB=10，PA=4，OP=5，求⊙Ｏ的半径Ｒ

解：

（1）AE×BE ；12；15；20；CE×DE；12；15；20；

（2）AE×BE=CE×DE，用三角形相似证明。

（3）由结论得，（R+5）×（R-5）=24，得R=7

3.

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，若∠ABC=50°，求∠CAD的度数。

解：

连接CD，∠ADC=∠ABC=50°

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°

∴∠CAD+∠ADC=90°

∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°

4.

如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积。

解：

连接OA，OB，则OA=OB，∠AOB=2∠C。

∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，

∴OA2+OB2=AB2

又∵AB=4，∴2OA2=42，∴OA2=8，

∴S⊙O=

·OA2=8

5.

如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A、B重合），没∠OAB=α，∠C=β。

（1）当α=35°时，求卢的度数；

（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明。

解：

（1）连接OB，则OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=35°，

∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-35°-35°=110°，

∴∠β=∠C=

∠AOB=55°；

（2）α与β的关系是α+β=90°，证明如下：

延长AO交⊙O于E，连接BE，则∠E=∠C=β，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠E=90°，

∴α+β=90°。

6.

AB是圆O的一条弦，点C为弧AB的中点，CD是圆O的直径，过点C的直线交AB与E，交圆O于F。

（1）判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论。

（2）将直线l绕点C旋转（与CD不重合）在旋转过程中，E点F点的位置也随之变化，请画出l在不同位置时，使

（1）的结论仍成立的图形，选其中一个图形给予证明。

解

（1）∠CEB=∠FDC

（2）

证明：

7.

如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长．

解

∵弦AC与BD交于E，所以A、B、C、D是⊙O上的点

∴∠B=∠C，∠A=∠D（同弧所对圆周角相等）

∴△ABE∽△DCE

∴

AB

DC

=

AE

DE

∴

6

DC

=

8

4

∴CD=3．

8.

已知，如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC=2

10

cm．AD：

DB=4：

1，求AD的长．

解：

9.

圆O中，弦AB=AC，AD是圆O的直径．求证：

AD平分∠BAC．

解：

证明：

方法1：

过O点分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，如图，

∴OE，OF分别为弦AB，AC的弦心距，

∵弦AB=AC，

∴OE=OF，

∴∠1=∠2，

即AD平分∠BAC．

方法2：

本题也可以通过连接OB，OC，得△AOC≌△AOB（sss），得∠COA=∠BAD，即AD平分∠BAC．

方法3：

本题也可以通过连接BD，CD，得RT△ABD≌RT△AOB（HL），得∠COA=∠BAD，即AD平分∠BAC．

10.

如图，某公路弯道弧AB长为1.83km，弯道半径OA为1.5km．

求：

（1）弯道弧AB的度数（精确到0.1°）；

（2）弯道两端AB的距离（精确到0.01km）

解