离散傅里叶变换.docx

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离散傅里叶变换

第三章离散傅里叶变换

离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。

但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。

近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。

§3-1引言

一.DFT是重要的变换

1.分析有限长序列的有用工具。

2.在信号处理的理论上有重要意义。

3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。

二.DFT是现代信号处理桥梁

DFT要解决两个问题：

一是离散与量化，

二是快速运算。

傅氏变换离散量化DFT（FFT）信号处理

§3-2傅氏变换的几种可能形式

一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换

对称性：

时域连续，则频域非周期。

反之亦然。

二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数

*时域周期为Tp,

频域谱线间隔为2π/Tp

三.离散时间、连续频率的傅氏变换

--序列的傅氏变换

四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT

由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。

DFT的简单推演：

在一个周期内，可进行如下变换：

视作n的函数，

视作k的函数，

这样,

§3-3周期序列的DFS

一.周期序列DFS的引入

导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：

对上式进行抽样，得：

，代入

又由于

所以求和可以在一个周期内进行，即

这就是说，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。

二.的k次谐波系数的求法

1.预备知识

同样，当时，p也为任意整数，则

亦即

所以

2.的表达式

将式的两端乘

，然后从n=0到N-1求和，则：

通常将定标因子1/N移到表示式中。

即：

3.离散傅氏级数的习惯表示法

通常用符号代入，则：

正变换：

反变换：

4.的周期性与用Z变换的求法

周期性：

用Z变换的求：

对作Z变换，

如果，则有

可见，是Z变换在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的

N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。

§3-4DFS的性质

一.线性

如果

则有

其中，a,b为任意常数。

二.序列的移位

如果

则有：

证明：

令i=m+n,则n=i-m。

n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m

所以

*和都是以N为周期的周期函数。

三.调制特性

如果

则有

证明：

时域乘以虚指数（）的m次幂，频域搬移m,调制特性。

四.周期卷积和

1.如果

则：

2.两个周期序列的周期卷积过程

（1）画出和的图形；

（2）将翻摺,得到

可计算出：

（3）将右移一位、得到

可计算出：

（4）将再右移一位、得到，

可计算出：

（5）以此类推，

3.频域卷积定理

如果，则

§3-5DFT--有限长序列的离散频域表示

一.预备知识

1.余数运算表达式

如果，

m为整数；则有：

此运算符表示n被N除，商为m，余数为。

二.有限长序列x（n）和周期序列的关系

周期序列是有限长序列x（n）的周期延拓。

有限长序列x（n）是周期序列的主值序列。

如：

三.周期序列与有限长序列X（k）的关系

同样，周期序列是有限长序列X（k）的周期延拓。

而有限长序列X（k）是周期序列的主值序列。

四.从DFS到DFT

从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。

因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换（DFT）的定义。

或者：

§3-6DFT的性质

一.线性

1.两序列都是N点时

如果

则有：

2.和的长度N1和N2不等时，

选择为变换长度,短者进行补零达到N点。

二.序列的圆周移位

1.定义

一个有限长序列的圆周移位定义为

这里包括三层意思：

先将进行周期延拓

再进行移位

最后取主值序列：

2.圆周位移的含义

由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。

如果把排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。

当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列：

。

三、共轭对称性

1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量

周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对

称分量分别定义为

同样，有

2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量

有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为

由于

所以

这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。

3.共轭对称特性之一

证明：

4.共轭对称特性之二

证明：

可知：

5.共轭对称特性之三

证明：

6.共轭对称特性之四

证明：

7.共轭对称特性之五、六

（k）圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性

9.实、虚序列的对称特性

当x（n）为实序列时，根据特性之三，则

X（k）=Xep（k）

又据Xep（k）的对称性：

当x（n）为纯虚序列时，根据特性之四，则

X（k）=Xop（k）

又据Xop（k）的对称性：

四.圆周卷积和

1.时域卷积定理

设和均为长度为N的有限长序列，

且，

五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积

1.线性卷积

的长度为

的长度为

它们线性卷积为

的非零区间为

的非零区间为

两不等式相加得

也就是不为零的区间。

2.用圆周卷积计算线性卷积

圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。

的长度为,的长度为,先构造长度均为L长的序

列,即将补零点;然后再对它们进行周期延拓，即

所以得到周期卷积：

§3-7抽样Z变换--频域抽样理论

一.如何从频域抽样恢复原序列

1.两种抽样

时域抽样：

对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。

频域抽样：

对一有限序列（时间有限序列）进行DFT所得x（k）就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。

2.由频域抽样恢复序列

一个绝对可和的非周期序列x（n）的Z变换为

由于x（n）绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位

圆。

这样,对X（Z）在单位圆上N等份抽样,就得到

3.频域抽样不失真的条件

当x（n）不是有限长时，无法周期延拓；

当x（n）为长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即

§3-8利用DFT对连续时间信号的逼近

一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差

1.混叠现象

为避免混叠,由抽样定理可知，须满足

其中,为抽样频率;为信号的最高频率分量；

或者

其中,T为抽样间隔。

2.频谱泄漏

在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内,也就是说，在时域对信号进行截断操作,或称作加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏。

3.栅栏效应

用DFT计算频谱时，只是知道为频率

的整数倍处的频谱。

在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察

景象一样，故称作栅栏效应。

补零点加大周期，可使F变小来提高辨力，以减少栅栏效应。

二.DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定

1.连续时间非周期信号傅氏变换对

2.连续时间周期信号傅氏级数变换对

变换时：

4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换

用DFT计算所得的频谱分量乘以T，就等于频谱的正常幅度电平；

用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换，再乘以就得到所需信号的正常幅

度电平。

所以,从时间到频率,再从频率到时间，整个过程总共乘了

幅度电平未受到影响。

用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：

设

5.用DFT计算周期信号的傅氏级数

用DFT计算出的频谱分量乘以1/N等于周期信号的频谱的正常幅

度电平。

而用IDFT的计算结果乘以N才等于周期信号。