离散傅里叶变换和快速傅里叶变换.docx
《离散傅里叶变换和快速傅里叶变换.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散傅里叶变换和快速傅里叶变换.docx（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换
戶幵,戈丿、弟实验报告
课程名称：
彳指导老师成绩：
实验名称：
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换实验类型:
同组学生姓名：
一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填）
三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤
五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填）
七、讨论、心得
一、实验目的和要求
1.掌握DFT的原理和实现
2.掌握FFT的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。
二、实验内容和原理
2.1DTFT和DFT
N1
如果x（n）为因果有限长序列,n=0,1,...,N-1，则x（n）的DTFT表示为：
X（ej）x（n）e
n0
序列的N点DFT是DTFT在［0,2n上的N点等间隔采样，采样间隔为2dN。
通过DFT,可以完成由一组有限个信号采样值x（n）直接计算得到一组有限个频谱采样值X（k）。
X（k）的幅
度谱为X（k）v'xR（k）X|2（k）,XR（k）和Xi（k）分别为X（k）的实部和虚部。
X（k）的相位谱
为（k）列吩
离散傅里叶反变换
IDFT）定义为x（n）丄N\（k）ej_Nnk（n0,1，…，N1）
Nn0
2.2FFT
快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法，它减少了DFT的运算量，使数字信号的处理
速度大大提高。
三、主要仪器设备
PC一台，matlab软件
四、实验内容
4.1第一题
求有限长离散时间信号
x（n）的离散时间傅里叶变换（DTFT）X（ejQ）并绘图。
（1）已知x（n）
0其2他n2;
（2）已知x（n）2n0n10。
0其他
4.1.1理论分析
1）
由DTFT计算式,
X（Q）是实数，可以直接作出它的图像。
Figure1X（Q）曲线
2）由DTFT计算式:
X（
x（n）ej
io
2nej
n0
1夕1©11」
12ej
z11。
11」
12ej
X（
211
12ej
可以发现
（Q）周期为2n
;而X（Q）
的相位在2n周期内有约十次振荡。
4.1.2编程计算作图
编写一个计算DTFT的函数。
functionDTFT（x,n1,n2）w=-2*pi:
2*pi/1000:
2*pi;%X=zeros（size（w））;
fori=n1:
n2%DTFT
表示Q
计算式
X=X+x（i-n1+1）*exp（（-1）*j*w*i）;
end
angle（X）;
subplot（2,1,1）;
plot（w,abs（X）,'r'）;
xlabel（'\Omega'）;ylabel（subplot（2,1,2）;
plot（w,angle（X）,'b'）;
xlabel（'\Omega'）;ylabel（end
'|X（\Omega）|'）;holdon;%作幅频图
'\angle（\Omega）'）;%作相频图
输入序列x,和n的取值范围，即可计算其DTFT。
1）输入：
x=[11111];
DTFT（x,-2,2）;
（因为X（Q）是实数，所以实际计算过程中对相频曲线取了绝对值）结果：
Figure2X（Q）的频谱
可以看出，X（Q）的相位只有0和n两种取值，X（Q）是实函数，而且其幅度频谱与理论计算得到的相同。
2）输入：
n=0:
10;x=2.An;
DTFT（x,0,10）
结果:
2500
2000
1500
1000
-10
-5
0
5
0
Figure3第1题
（2）中X（Q）的频谱
500
-1
4.2第二题
已知有限长序列x（n）={色7,9,5,1,7,9,5},试分别采用DFT和FFT求其离散傅里叶变换X（k）的幅度、相位图。
4.2.1理论分析
由FFT蝶形运算得到，X（k）=51,7,-9-j4,7,3,7,-9+j4,7
4.2.2编程计算作图
1.DFT
编写一个计算DTFT的函数。
DFT（序列x，长度N）
functionDFT（x,N）
k=0:
N-1;
X=zeros（size（k））;
forn=0:
N-1
X=X+x（n+1）*exp（（-1）*j*2*pi/N*n*k）;%DFT计算式
end
subplot（2,1,1）;
stem（k,abs（X）,'.'）;xlabel（'k'）;ylabel（'|X（k）|'）;holdon;%幅频图
subplot（2,1,2）;
stem（k,angle（X）,'*'）;xlabel（'k'）;ylabel（'Angle（k）'）;%相频图
end
输入：
x=[87951795];
DFT（x,8）;
结果：
Figure4第2题DFT结果
2.FFT
编写一个利用matlab自带函数计算FFT并绘图的函数FFT1（序列x，长度N）
functionFFT1（x,N）
X=fft（x,8）;%用自带的fft函数计算
k=0:
N-1;
subplot（2,1,1）;
stem（k,abs（X）,'.'）;xlabel（'k'）;ylabel（'|X（k）|'）;holdon;%幅频图
subplot（2,1,2）;
stem（k,angle（X）,'*'）;xlabel（'k'）;ylabel（'Angle（k）'）;%相目频图
end
输入：
x=[87951795];
FFT1（x,8）;
结果：
Figure5第2题FFT结果
因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的结果与DFT结果相同。
DFT和FFT的结果，符合理论计算得到的，X（k）=51,7,-9-j4,7,3,7,-9+j4,7
4.3第三题
已知连续时间信号x（t）=3cos8nt,X（3）=3[（8）（8）]，该信号从t=0开始
以采样周期Ts=0.1s进行采样得到序列x（n），试选择合适的采样点数，分别采用DFT和FFT求其离散傅里叶变换X（k）的幅度、相位图，并将结果与X（k）的幅度、相位图，并将结果与
X（3）相比较。
4.3.1理论分析
1.原信号的频谱：
X（3）=3[（8）（8）],只在土8n不为0.且在土8n处相
2.采样角频率QS=20n>2X8n,满足采样定理。
3.采样后的信号，为X（3）以20n为周期的延拓。
所以只在（土8+20k）n（k为任意整
数）处不为0.如取区间［0,20n］内，只有8n和16n处不为0。
进行N点DFT后，将
812
20n的区间映射为［0,N］区间。
理想情况下仅在n=N和N两处不为0。
2020
4.x（n）cos（8nTs）cos（0.8n），周期为5,所以取采样点数为5的倍数时，不会发
生泄漏；而采样点数不是5的倍数时，则会发生泄漏。
10
1
3
3111131
9
-
8
7
6
■
）
X5
4
3
1
040
1
Figure6原始信号的频谱X（Q）
4.3.2编程计算作图
编写一个获得信号的N点样本的函数sample（点数N）
functionx=sample（N）
t=0:
0.1:
（N-1）*0.1;%0.1s为间隔
x=3*cos（8*pi*t）;%x即采样结果
End
输入：
X=sample（N）;
FFT1（X,N）;
即可获得采样N点的频谱图。
因为DFT结果与FFT是完全一样的，所以这里只使用FFT
作图。
取采样点数N=51620104获得以下频谱图：
•••
■
■
■
-
-
.o51J
\2.51
33.5
Figure7N=5
Figure8N=16
Figure9N=20
80
Figure10N=104
可以看出，N=5和20时，由于是周期的整数倍，频谱只有两条谱线，且满足前面
812
理论计算得出的公式n=—N和宜N，没有发生泄漏，且这两条谱线对应
2020
的相位是0.所以频谱与原信号频谱在形式上时相同的。
而N=16和N=54时，则都
发生了频谱泄漏，频谱与原信号频谱就很不同了。
但相比之下N=54时谱线更加
接近原谱线。
验证了“为减小泄漏误差，如果待分析的信号实现不知道确切周期，
则截取较长时间长度的样点进行分析”这个说法。
同时也可以发现，虽然幅频图中显示幅值为0，但相频图中相应的位置仍有谱线。
这可能是matlab浮点运算造成的误差，即本来为0处其实是一个非常小的复数，所以仍有一定相位。
4.4第四题
4.4.1理论分析
若噪声信号较小，则采样后的频谱仍能较准确地反映原信号的特征。
4.4.2编程计算
对原采样程序稍加改编，加入一个噪声信号p*randn（1,N）。
p表示噪声信号的强度。
functionx=samplenoise（N,p）
t=0:
0.1:
（N-1）*0.1;
x=3*cos（8*pi*t）+p*randn（1,N）;
end
取采样点数N=20进行分析。
输入：
X=samplenoise（20,p）;%取P=1和10两种情况。
FFT1（X,20）;
Figure11N=20噪声较小（p=1）
Figure12N=20噪声较大（p=10）
难准确获得原信号的频谱。
4.5第五题
3.5已知序列x（n）4（n）3（n1）2（n2）
（n3），X（k）是x（n）的6点DFT,设
（1）若有限长序列y（n）的6点DFT是Y（k）W64kX（k），求y（n）。
（2）若有限长序列w（n）的6点DFTW（k）是X（k）的实部，求w（n）。
（3）若有限长序列q（n）的3点DFT是Q（k）X（2k）,k=0,1,2，求q（n）。
由题意得到：
x（n）=4,3,2,1,0,0n=（0,1,2,3,4,5）
4.5.1理论分析
1）由DFT的性质可以得到，如果y（n）的DFT为Y（k）W64kX（k），那么y（n）就是x（n）
圆周左移4位得到的。
所以y（n）=0,0,4,3,2,1
由题意，X（k）=103.5-j4.33012.5-8.66j22.5+j0.866
取实部，则W（k）=103.52.52.523.5
按照IDFT计算式x（n）
-N1X（k）ej^nk（n0,1,...,N1）计算得到
Nn0
w（n）=41.5111.5
由DFT的性质，因为W（k）是实数，所以对应的w（n）也是实数。
3）
由题意，Q（k）=102.5-8.66j2.5+j0.866
q（n）=532
4.5.2编程计算
1）
x=[432100];
X=fft（x,6）;%求DFT
k=0:
5;
ifft（exp（j*4*pi/3*k）.*X）%求IFFT
结果：
arts=
Calumns1Throueh5
D.QOOO呻O.ODOOiChOODQ+OcQOOOi4.C0Q0-0.OOOOi3.（WOO-0.OOQOi2.QD0D-GQQMH
Colunn0
LOOOO+0.00001
y（n）=0,0,4,3,2,1即x（n）圆周左移4位，与理论值相同。
2）
%接第
（1）题的程序
W=real（X）;%取实部
ifft（W）
结果：
ans=
4.0000l-oOOO1.0000L00001,00001-5000
w（n）=41.5111.5与理论计算值相同。
3）%接第
（1）题的程序
Q=[X
（1）X（3）X（5）];%Q是X（2k）,由于matlab的矩阵是从X
（1）开始,ifft（Q）%所以对应的应该是第1、3、5个元素
结果：
305=
□32
q（n）=532，与理论值相同。
4.6第六题
已知信号x（t）
sin（2f1t）sin（2f2t）sin（2f3t），其中f1=4Hz、f2=4.02Hz、f3=5Hz，采
用采样频率为20Hz进行采样，求：
（1）当采样长度N分别为512和2048情况下x（t）的幅度频谱；
（2）当采样长度N为32,且增补N个零点、4N个零点、8N个零点、16N个零点情况下
x（t）的幅度频谱。
461理论分析
1.首先20Hz的采样频率是满足采样定理的。
2.频率分辨率是DFT中谱线间的最小间隔，单位是Hz。
对于长度为N的序列，频率分辨
率为fs/N,为采样频率。
3.因为采样点数N不是周期的整数倍，所以一定会存在频谱泄露情况。
4.fs=20Hz时,N=512,则分辨率20/512疋0.039Hz>0.02Hz所以不能区分开信号中频率为4Hz禾口4.02Hz的两个分量。
5.N=2048,则分辨率20/2048~0.01Hz<0.02Hz可以区分开4Hz和4.02Hz的这两个分量。
4.6.2编程作图
编写一个取N个点并补充t*N个0的函数sample2（取样点数N,补零t）
functionx=sample2（N,t）
n=0:
0.02:
0.02*（N-1）;%N个点
x=sin（2*pi*4*n）+sin（2*pi*4.02*n）+sin（2*pi*5*n）;%取样过程
x（N+1:
N*（t+1））=0;%补零
end
1）输入：
x=sample2（N,0）;%N=512,4096
FFT1（x,N）;
结果：
300
250
200
150
100
50
0
Figure13N=512幅频图
N=512时，可以看到对4Hz和5Hz的分量是明显区分开来的。
对峰值附近放大来看:
300
Figure14N=512幅频图放大
看到k=103和104处有峰值。
4402
理论计算中，512102.4512102.9
2020
由于频谱泄露，在k=103和104处出现峰值，实际上并没有将4Hz和4.02Hz的两个分量区
分开来。
k
Figure15N=2048幅频图
N=2048时，显然区分开了4Hz和5Hz的分量。
峰值附近放大看:
在k=409、410和k=412有峰值。
4402
理论上2048409.62048411.6
2020
由于频谱泄露，在409.6附近的409和410处同时出现峰值，在411.6附近的412出现峰值。
所以采样点数N=2048时一定程度上区分开了4Hz和4.02Hz的分量。
2）输入
x=sample2（32,t）;%t=取1,4,8,16
FFT1（x,N）;%N=32*（t+1）
结果：
Figure16补32个0
Figure17补128个0
Figure18补256个0
Figure19补512个0
可以发现，采样点数相同，都是32。
20/32=0.6<1Hz，频谱图可以区分4Hz和5Hz分量，但
不可以区分4Hz和4.02Hz的分量。
2
补不同个数的0，幅频图的总体形状基本上是不变的。
只是谱线间隔0Ts越来越小，
N
谱线更加接近于N=32时的离散时间傅里叶变换DTFT的结果。
但是有效的数据点数只有32,
所以这些补0以后的幅频图都是不能区别开4Hz和4.02Hz的分量的，因为含有信息的点数
始终是32没有增加。
五、心得体会
1.通过本次虚拟实验，我对DFT、DTFT、FFT的公式更加熟悉了。
也从解题目中对采样定理、频谱泄露、频率分辨率等有了更加深的理解。
2.通过编写、调试程序，学习了一些matlab编程和绘图的方法。
3.matlab中元素下标是从1开始的，而信号描述中一般是从0开始的，编程时要要注意这
一点。
升级会员 