（j1+1）;
x（j1+1）（i）;
x（i）;
2;
k<1
j11;
2;
j11;
0;
;
k>1
1;
2;
2"".
1
2^
（1）.
1;
1
1;
2=1;
j1=1（2*n）
（2-1）*2^（）;
（j*（-2）**）"".
（）;
x（）（）*;
x（）（）*;
1;
22+1;
1+2*;
2;
（x）.
（x）（）.
（1,2,1）;
（,'.',’’,18）;
（'k'）（''）;
.
（1,2,2）;
（,'*'）（'k'）（'（）'）;
命令窗口中的运行及其结果：
：
>>[8,7,9,5,1,7,9,5];
>>（8）;
图3.2.1的幅度谱和相位谱（弧度制）
：
>>[8,7,9,5,1,7,9,5];
>>（8）;
图3.2.2算法的幅度谱和相位谱（弧度制）
图3.2.1的幅度谱和相位谱（相位是弧度制的）
【分析】
是离散信号、离散频谱之间的映射。
在这里我们可以看到序列的频谱也被离散化。
事实上，我们可以循着构造的方法验证这个频谱：
首先，将序列做8周期延拓，成为离散周期信号。
然后利用计算得到延拓后的频谱：
，从而取的主值区间得到，与图一致。
因此计算正确。
而对于，我们可以看到它给出和一样的结果，说明了算法就是的一个等价形式。
不过，由于序列不够长，在计算速度上的优越性尚未凸显。
3.3已知连续时间信号x（t）=38πt,X（ω）=
，该信号从0开始以采样周期0.1s进行采样得到序列x（n），试选择合适的采样点数，分别采用和求其离散傅里叶变换X（k）的幅度、相位图，并将结果与X（k）的幅度、相位图，并将结果与X（ω）相比较。
【解答】
思路：
此题与下一题都是一样的操作，可以在编程时统一用变量g（0或1）来控制是否有白噪声。
这里取0（无白噪声）。
另外，分别取12点、20点、28点采样，以考察采样长度的选择与频谱是否泄漏的关系。
M文件源代码：
i）采样函数：
3（）
a3&4.
:
;:
;0:
;1:
.
1;
1i0.Ia.
（i）=3*（8***
（1））*;
1,.Ia.
a
（1）（0）.
;
（1,'.',’’,18）（'n'）（''）;
%
（1）,,1.
）和基2函数的代码，请见第3.2节。
不需再新编一个。
命令窗口中的运行及其结果：
12点采样：
>>3（12,0.1,0）末尾的0表示无噪声。
>>（12）;
>>（12）;
图3.3.1进行12点采样得到的序列
图3.3.2的幅度谱和相位谱（弧度制），出现了泄漏
图3.3.3的幅度谱和相位谱（弧度制）。
出现了频谱泄漏。
20点采样：
>>3（20,0.1,0）末尾的0表示无噪声。
>>（20）;
>>（20）;
图3.3.4进行20点采样得到的序列
图3.3.5的幅度谱和相位谱（弧度制）。
频谱无泄漏。
图3.3.6的幅度谱和相位谱（弧度制）。
频谱无泄漏。
28点采样：
>>3（28,0.1,0）末尾的0表示无噪声。
>>（28）;
>>（28）;
图3.3.7进行28点采样得到的序列
图3.3.8的幅度谱和相位谱（弧度制）。
再次出现频谱泄漏。
图3.3.9的幅度谱和相位谱（弧度制）。
再次出现频谱泄漏。
【分析】
分别取12点、20点、28点采样，以考察采样长度的选择与频谱是否泄漏之间的关系。
现在与原信号频谱
比较后可以得出如下结论：
图3.3.10原信号的频谱（由两个冲激函数组成）
原信号的频谱是
，在±8π上各有一强度为3π的谱线，在其余频率上为0。
可见原信号被0.1s采样周期的采样信号离散化之后，谱线以20π为周期重复，并且只在（20k±8）π（k为整数）处非0。
那么，在20点（采样时间原信号周期的整数倍）中，只有第8根、第12根谱线非0。
而在12点、28点中，由于采样时间不是原信号周期的整数倍，谱线将向两边泄漏。
不过，对比12点采样和28点采样，我们还可以发现，28点采样频谱的主谱线高度是次谱线高度的4倍，儿12点采样频谱的主谱线高度是次谱线高度的3倍。
可见，在无法保证采样时间是信号周期整数倍的情况下，增加采样时间有助于减轻频谱泄漏的程度。
3.4对第3步中所述连续时间信号叠加高斯白噪声信号，重复第3步过程。
【解答】
思路：
此题与上一题都是一样的操作，可以在编程时统一用变量g（0或1）来控制是否有白噪声。
这里取1（有白噪声）。
另外，仍然分别取12点、20点、28点采样，以考察采样长度的选择与频谱是否泄漏的关系。
M文件源代码：
不需要再新编程序。
可以直接引用上面的函数：
3（），取1，以体现存在白噪声
（）
（）
命令窗口中的运行及其结果：
12点采样：
>>3（12,0.1,1）末尾的1表示有噪声。
>>（12）;
>>（12）;
图3.4.1进行12点采样得到的含噪声的序列
图3.4.2含噪声序列的幅度谱和相位谱（弧度制）。
图3.4.3含噪声的幅度谱和相位谱（弧度制）。
20点采样：
>>3（20,0.1,1）末尾的1表示有噪声。
>>（20）;
>>（20）;
图3.4.4进行20点采样得到的含噪声序列
图3.4.5含噪声的幅度谱和相位谱（弧度制）。
图3.4.6含噪声的幅度谱和相位谱（弧度制）。
28点采样：
>>3（28,0.1,0）末尾的1表示有噪声。
>>（28）;
>>（28）;
图3.4.7进行28点采样得到的含噪声序列
图3.4.8含噪声的幅度谱和相位谱（弧度制）。
图3.4.9含噪声的幅度谱和相位谱（弧度制）。
【分析】
依然分别取12点、20点、28点采样。
仍然与原信号的频谱
（图3.3.10）比较，可以得到结论：
由于叠加了噪声，所以频谱都受到了一定的干扰。
由于白噪声在各个频率的功率相等，因此频谱上各处的干扰也是均匀随机的。
不过，通过对比我们可以发现，20点采样（无噪声时不发生泄漏的采样方法）在存在噪声时，仍然可以明显区分出原信号的谱线。
第二好的是28点采样，因为采样时间较长，即使存在频谱泄漏也能较好地区分原信号的谱线。
而最差的是12点采样，由于噪声的存在和严重的频谱泄漏，它的次谱线与主谱线的高度相差不大，使原信号不明显。
3.5已知序列
，X（k）是x（n）的6点，设
。
（1）若有限长序列y（n）的6点是
，求y（n）。
（2）若有限长序列w（n）的6点W（k）是
的实部，求w（n）。
（3）若有限长序列q（n）的3点是
，0,1,2，求q（n）。
【解答】
思路：
这是对进行变换后求。
考虑到和定义的对称性，可以在的基础上略加调整既可用于计算。
首先，∵
，
∴它的6点采样是序列是
。
值得指出的是，在中，数组的序号是从1开始的（而在信号分析中习惯从0开始），不过我在上面编程时已考虑到这一情况，具体可见实验报告最后的“附录”。
首先生成x（n）的6点，再按照各小题分别转换，最后求相应的。
M文件源代码：
i）输出x（n）的6点的函数：
X=（）
aX.
（01）;k.
（（k））;X.
01
（1）*（（-1）*j*2*k**i）;.
）算第
（1）小题的Y（k）的函数：
Y=1（X）
a
（1）.
1:
6
Y（k）（（）*2**（-4*
（1））/6）*X（k）;
（1）1.
）算第
（2）小题的W（k）的函数：
W=2（X）
a
（2）.
（X）X.
）算第（3）小题的Q（k）的函数：
Q=3（X）
a（3）.
（3）
1:
3
Q（）（2*）;
v）输出的函数：
x=（）
.
（01）n.
（（n））x.
01
（1）*（j*2*k**n）;
;
（x）（x）,x.
's（）.
（,'.','',18）（'n'）（''）;
命令窗口中的运行及其结果：
>>[4,3,2,1,0,0];
>>（6）;
第
（1）小题
>>1（X）;
>>（6）
y=
14
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i4.0000+0.0000i3.0000+0.0000i
%虚部都是0，说明是实数
56
2.0000+0.0000i1.0000-0.0000i%虚部都是0，说明是实数
%事实上，在中，由于数值计算的截断误差，对原复数做乘法后，答案的虚部可能有一极小的量。
答案：
y（n）={0,0,4,3,2,1}
图3.5.1输出的y（n），这是对x（n）的圆周移位。
第
（2）小题
>>2（X）;
>>（6）
w=
14
4.0000+0.0000i1.5000+0.0000i1.0000+0.0000i1.0000+0.0000i
%虚部都是0，说明是实数
56
1.0000+0.0000i1.5000+0.0000i%虚部都是0，说明是实数；
%事实上，在中，由于数值计算的截断误差，对原复数做乘法后，答案的虚部可能有一极小的量。
答案：
w（n）={0,0,4,3,2,1}
图3.5.2输出的w（n）。
第（3）小题
>>3（X）;
>>（6）
q=
14
1.5000-0.0000i-0.1667-0.2887i0.7500-1.2990i0.8333-0.0000i
56
-0.5000-0.8660i1.0833-1.8764i
这里的答案都是幅值、相位均非0的复数，而教材（实验指导第109页）并未要求作图，这里略去。
答案：
q（n）={1.5，-0.1667-0.2887i，0.7500-1.2990i，0.8333，-0.5000-0.8660i，1.0833-1.8764i}
【分析】
对原序列进行运算后，可以得到X（k）={10，3.5-4.33i，2.5-0.866i，2，2.5+0.866i，3.5+4.330i}。
第
（1）小题，根据的性质可以判断，对原频谱乘上旋转因子
之后进行得到的y（n），就是对原序列做圆周移位：
。
第
（2）小题，由于对原频谱取了实部，那么根据的奇偶虚实性知，得到的w（n）也是实数的。
第（3）小题，对原信号进行了尺度变换（“抽取”），导致丢失了一些谱线，使得无法通过得到原来的序列x（n）。
说明频谱记录了原有信号的信息，若频谱发生变化，则对应的时域信号也随之改变。
3.6已知信号
，其中f1=4、f2=4.02、f3=5，采用采样频率为20进行采样，求
（1）当采样长度N分别为512和2048情况下x（t）的幅度频谱；
（2）当采样长度N为32，且增补N个零点、4N个零点、8N个零点、16N个零点情况下x（t）的幅度频谱。
【解答】
思路：
采样是有限且离散的，用（算法）计算频谱，以便得到离散的频谱，并且具有较高速度。
20对应的采样周期0.05s。
M文件源代码：
i）采样函数（其中表示采样后补零的个数）
6（）
a6
.
1/20;
w1=2**42=2**4.023=2**5;
（1）;
（1）;
（w1**
（1））（w2**
（1））（w3**
（1））;
（1）:
（）
（p）=0.
）由于只要求显示幅度频谱，所以删去函数中绘制相位频谱的命令，使它的最后部分修改如下：
原来的：
（）
a2.
...
（x）.
（x）（）.
（1,2,1）;
（,'.'）（'k'）（''）;
.
（1,2,2）;
（,'*'）（'k'）（'（）'）;
修改后的：
（）
a2.
...
（x）.
（,'.'）（'k'）（''）;
.
命令窗口中的运行及其结果：
第
（1）小题
>>x5126（512,0）;
>>x20486（2048,0）;
>>（512512）;
>>（20482048）;
图3.6.1进行512点采样得到的频谱
图3.6.2进行2048点采样得到的频谱
第
（2）小题
>>x32p16（32,32*1）;%32点采样，补零32个，共64个数据点
>>x32p46（32,32*4）;%32点采样，补零4128个，共160个数据点
>>x32p86（32,32*8）;%32点采样，补零8256个，共288个数据点
>>x32p166（32,32*16）;%32点采样，补零16128个，共544个数据点
>>（32+32*132p1N）;
>>（32+32*432p4N）;
>>（32+32*832p8N）;
>>（32+32*1632p16N）;
图3.6.3采样32点，补零32点，共64点的频谱
图3.6.4采样32点，补零4128点，共160点的频谱
图3.6.5采样32点，补零832点，共288点的频谱
图3.6.6采样32点，补零1632点，共544点的频谱
【分析】请注意，题目只要求绘制幅度频谱。
第
（1）小题：
首先，由于采样时间都不是原有信号周期的整数倍，两个采样方式对应的频谱均发生了泄漏。
不过由于2048点采样对应的采样时间较长，它频谱泄漏的程度比512点采样轻。
其次，由于20的2048点采样的频率分辨率为20/2048=0.0098<0.2，因此放大频谱图之后我们可以看到4、4.02和5对应的谱线，而512点采样的频率分辨率为20/512=0.039>0.2，因此4和4.02对应的谱线无法区分。
第
（2）小题：
首先，由于采样时间都不是原有信号周期的整数倍，频谱均发生了泄漏。
而且由于采样时间较短，频谱泄漏比第
（1）小题的两个频谱更加严重。
其次，由于都是32点采样，因此实际的频率分辨率较低，无法区分4和4.02对应的谱线。
最后，虽然都是32点采样，但由于补0个数的不同，各频谱谱线间距各不相同。
例如，补零最多的序列一共有544个数据点，因此谱线间距小。
由此还可以得出结论：
数据点个数越多，则频谱越倾向于连续。
可见，当采样时间不是原信号周期整数倍而且采样时间较短时，频谱泄漏相当严重的，所有的频率上都有了幅值即能量，可见当取样信号的样点数取得不够时，原信号所携带的信息就不能被完全取得。
而若将取样信号补零，由图可见信号的能量相应的泄漏到了几乎所有频率上了，这样所得的信号仍然严重失真，因此不能靠将信号补零这样的方法来取得更精确的采样信号。
要想获得不泄漏的频谱，在采样频率不变的前提下，必须使采样时间等于原信号周期的整数倍，或者尽量延长采样时间以减少泄漏。
四、实验体会
4.1关于各个实验的分析，请见第3部分每道题的末尾。
4.2在中，数组的序号是从1开始的，这与信号处理时通常的序号起点（0）不一致。
我在编程充分注意到了这个问题。
4.3由于进行数值计算的过程中存在截断误差，所以最后算得的值并不是准确值。
例如，对一个复数z，即使f（z）的虚部为零，但由于截断误差的存在（特别是z的虚部为无穷小数时），最终f（z）值的虚部可能是一个极小的非零值，从而在显示时出现“零虚部”（例如，2+0.0000i）。
4.4通过利用软件对离散信号的各种变换、以及其快速算法进行计算，使得在实验中比较难以实现的信号分析过程（离散信号的采集和显示都是比较困难的）在计算机计算中实现，证明了理论的正确性，说明仿真计算是一种十分有效的辅助手段。
4.5通过这次实验和上次实验《信号的采集与恢复》我知道了，要想尽量不失真地取得一个信号的频谱（低混叠、低泄漏），应该尽量满足以下条件：
（1）使用的开关函数要尽量接近理想冲激串；
（2）采样频率要高于原始信号的奈奎斯特频率。
对于频谱不受限的信号，为了避免频谱混叠，应该使用低通滤波器进行滤波；
（3）对于频带不受限的信号，抗混叠滤波器要尽量接近理想滤波器。
（4）采样的持续时间最好能够是原信号周期的整数倍，一避免频谱泄漏。
而当不知道原信号的周期（或者周期不稳定）时，就要通过延长采样时间来尽量减少泄漏，从而突出原信号的谱线。
（5）当信号混有白噪声时，就更应注意减少频谱的泄漏和混叠，否则信号分析更加困难，甚至可能会使原信号被误差“淹没”。
（6）若原信号有多个频率成分，应该尽量提高采样的频率分辨率，以区分出更细微的频率差异。
4.6在实验中，在计算2048点采样时，初步体会到了算法的优越性。
在我的计算机上，算法的确比原始的更快。
不过由于采样点数较少，这一差别仅限于几秒钟。
在采样点更多时，在速度上的优越性应该能进一步突出。
4.7实验中遇到的问题及其解决：
实验中有些M文件代码总是出错。
解决方法：
重新检查，在稿纸上演算，体会运算过程。
例如，数组序号起始位置（为1，而非C语言的0）的问题，就是这样发现的。
编程时对代码不熟悉，使得思路比较混乱。
解决方法：
画流程图，理清思路。
对比较复杂的程序尤其如此。
感到大一时C语言教学并未强调流程图，这是一个教学中值得改进的地方。
C语言中，比起掌握运算符优先级，对流程图思想的培养显得更为重要。
附录：
附录A值得指出的是，在中，数组的序号是从1开始的（而在信号分析中习惯从0开始），我在上面编程时已考虑到这一情况。
例如，下面可以验证函数的正确性（顺便也可以验证函数）。
>>1:
8;
>>6*（*
（1）/4）;
>>（8）;
图附1验证函数
教材112页给出了这一序列的幅度谱。
根据和之间的关系，将上面的幅度谱的幅值缩小8倍并取主周期后，就是上图左侧的幅度谱。
可见我编写的函数正确。
附录B出于兴趣，我们还可以看看和的运行时间。
为了不计绘图，删去和的绘图命令。
通过命令窗口查看运行时间。
（1）16（24）点采样：
>>（0:
15）（0.1*2**n）（（n））（16）;
0.007936.
>>（0:
15）（0.1*2**n）（（n））（16）;
0.017714.
（2）2048（211）点采样：
>>（0:
2047）（0.1*2**n）（（n））（20
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