沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料.docx
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沪科版轴对称与等腰三角形总复习资料
一对一辅导教案
教学目标
教学过程
知识点一：
轴对称
（一）轴对称图形和轴对称
1、轴对称图形
（1）定义：
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相巫合，这个图形就叫做轴对称图形，这条点线就是它的对称轴。
。
这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
例如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴.其它如等边三角形、矩
形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形.如图1.
轴对称图形的性质：
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、轴对称
（1）定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形觅合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也町以说这两个图形关于这条直线成轴对称。
如上右图。
（2）成轴对称的两个图形的性质：
1关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
2如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴足任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
3两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
3、轴对称图形与轴对称的区别和联系
（1）区别：
轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指只有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。
（2）联系：
如果把•个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.
（二）线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这*线段两个端点的距离相等。
反过來，勺-•条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线ho
2.
线段的垂直平分线的作法：
1分别以点A、B为圆心，以大于㊁的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点:
2作直线CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。
知识点二：
作轴对称图形
1.作轴对称图形：
（1）几何图形都町以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形：
（2）对于一些由立线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形•
2.用坐标表示轴对称：
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）:
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（・x,y）-
知识点三：
等腰三角形
（一）等腰三角形
1、定义：
有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。
2、等腰三角形性质
（1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”：
注意；常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。
特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°°
3、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。
（二）等边三角形
1、定义：
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
2、等边三角形性质：
等边三角形的三个角相等，并II每个角都等于60°。
3、等边二角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形：
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形：
（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
4、直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
规律方法指导：
1、要注意轴对称图形与轴对称概念的区别与联系。
2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。
3、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）:
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）。
程度较好的学生可以考虑再拓展：
点关于直线尸a,x=b,尸x等的对称。
4、等腰三角形“三线合一”的性质町以这么理解：
①等腰三角形；②顶角的平分线：
③底边上的中线：
④底边上的高，以其中任意两个作为条件，就能推出其他两个结论。
5、推理证明是本章的难点，要克服这个难点，町以结合所要求证的结论一起考虔，即“两头凑”，帮助我们克服这一困难。
重点考点：
1.垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用：
练一练：
（1）用直尺和圆规作己知线段的中垂线。
（2）用直尺和圆规作已知角的角平分线。
经典练习选讲：
1.如图，AP、CP分别是ZXABC外角ZNIAC与ZNCA的平分线，它们相交于点P,PD丄BM于点D,PF丄BN于点F.求证：
BP为ZMBN的平分线.
BCP
2•如右图所示•己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D.E两点•若AB=12cm.BC=10cm・ZA=
49°,求ZDBC度数。
2、轴对称变换：
定义：
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换；
利用坐标表示轴对称：
利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。
（由点到线，到面）
*点（x,y）关于x轴对称的点是（x,—y）,关于y轴对称的点是（一x,y）,
关于原点对称的点是（一x,—y）,关于y=x对称的点是（y,x）□
例题：
1、如图：
（1）求点A关于y轴对称的点的坐标;
（2）求点B关于x轴对称的点的坐标:
4
3
2
1
iiii
/A（3,1）
-4-3-2-10
1234
-1
■
-3
-4
-
轴对称作图，找点，使得距离之和最短问题
相应经典练习选讲:
处，若ZB=50°,则ZBDF=
（2）•把一张长方形纸片按如图所示的方式折廉，EM.FM为折痕，折亮后的C点落在B'M或B^M的延长线上，那么ZEMF的度数为o
（3）•如图所示，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1,ZB
=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那
么PC+PD的最小值为o
（4）在正方形ABCD中.M,N为AD和BC中点，将点C沿直线BE对折，
使C落在MN上为F,求ZEBC。
5、已知直线1为x+y=8,点P（x,y）在1上，且x>0.y>0,点A的坐标为（6,0）・
（1）设AOPA的面枳为S,求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范闱；
（2）当S=9时，求点P的坐标：
（3）在直线1上有一点M,使OM+\IA的和最小，求点M的坐标.
6、如图：
在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△ABV；
<2）△ABC的面枳为:
（3）在U线1上找一点P,使PB+PC的长最短，则这个最短长度为个单位长度.（在图形中标出
点P）
4、等腰三角形：
（1）等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角：
（2）等腰三角形的性质：
a：
两腰相等；b：
两底角相等；c：
顶角平分线，底边上的中线，高三线重合（三线合一），d：
对称性：
（3）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（“等角对等边”）；
（4）等边三角形的定义：
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
★等边三角形是一种特殊的等腰三角形
等边三角形的性质：
a：
等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60度：
b：
等边三角形每—条边上都是三线合一；
（5）等边三角形的判定：
a：
三个角都相等的三角形是等边三角形；b：
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
A
经典练习选讲：
/\
题型一：
等腰三角形的性质/〉■
（1）如图：
在AABC中，AB=AC,D为AC边上一点，/\
且BD=BC=AD,则ZA等于。
圧'
（2）等腰三角形两边长为5cm和9cni,周长为;等腰三角形两边长为4cm和9cni
时，周长为;若等腰三角形周长为40cm,—边长为14cm,其他两边长为
（3）等腰三角形中一个角为40。
则另外两个角为，如果一个角为100°,那另
外两个角为.
（4）如图所示：
在厶小。
中，Z1=Z2=Z3,AABC为等边三角形，求ZBEC的度数
（5）如图,ZXABC中,AD平分ZCAB交BC于D,且CD=2,ZAC=90°,ZDEF=90°,
ZB=Z
FDB=22.50AE=6,DF=4,求AB的长.
第（4）题图
（6）
第5题图
如图,AABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,ZAEF=ZAFE,求证:
EF丄EC。
第6题图
（7）如图所示：
在AABC中，BD=DE=EC=AD=AE,求ZBAC的度数。
（8）如图，AD是等腰厶小。
的顶角平分线，P是AD上一点，连接CP,BP,井分别将它们延长,交AB于点F,交AC于点E
（1）说出点E关于AD的对称点，并说明理由；
（2）找出图中与ACPE全等的三角形，并说明理由：
⑶若AD=6,BC=4,求图中阴影部分的而积。
题型二：
等腰三角形的三线合一
（1）如图，在等腰RtAABC中，ZACB=90°,D为BC的中点,垂足为
E,过点B作BF〃AC交DE的延长线于点F,连接CF・
（1）求证：
AD丄CF；
（2）连接AF,试判断AACF的形状，并说明理由.
第
（1）题
DE丄AB,
（2）如图,AC=BC,AC丄BC,AE丄BE,BD二2AE,求证：
BE平分ZABC
（3）如图，ZABC=90°,D、E分别在BC、AC±,AD丄DE,且AD二DE,点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.
（1）求证：
ZFMC=ZFCM：
（2）AD与MC垂直吗？
并说明理由.
第3题
等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定
（1）如图，在等边/XABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.
求证：
（1）AD二CE;
（2）求ZDFC的度数。
（2）如图，在RtAABC中，ZB二90°,ZACB二60°,D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:
CD二
（3）已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是
ZA的平分线，求证：
AC+CD二AB
（4）两个全等的含30°,60°的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD,
取BD的中点M.连接ME.MC,试判断ZkEMC的形状•并说明理由。
等腰三角形巩固提高
1.如图，在Z\ABC中，AB=AD=DC,ZBAD=26°,求ZE和ZC的度数.
2、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若API二P1P2二P2P3二…二P13P1仁P14A,则ZA的度数是.
2、如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证BD=CE
3.如图.AABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点0•给出下列三个条件:
①ZEBO二ZDCO;②ZBEO二ZCDO;③BE二CD・
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定AABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）
（2）选择第
（1）小题中的一种惜形.证明AABC是等腰三角形
3、如图，ZXABC中，ZABC与ZACB的平分线交于点0,过点0作EF〃BC,交AB于点E,交AC于点F求证：
EF二EB+FC.
4.如图，ZA=ZB,CE〃DA,CE交AE于E,求证ACEB是等腰三角
5、如图，己知点B、C、D在同一条百线匕，AABC和
△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于
①求证：
abce^aacd；
C
A
2求证：
CF=CH：
3判断ACFH的形状并说明理由.
6v如图.在四边形ABCD中，ZB+ZADC=180%AB=AD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF=1ZBAD.求证：
EF=BE・FD・
2
7、已知：
如图，平面直角坐标系xOy中，点A.B的坐标分别为A（4,0）,B（0,4）,P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0）,以AP为边作等腰直角三角形APM,其•）«PM=PA,点M落在第四象限.
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由.
&如图，在等边△ABC中，点D.E分别在边BC、AC上，且AE=CD・BE与AD相交于点P,EQ丄AD于点
Q.
（1）求证：
Z\ABE竺Z\CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？
并说明理由.（备注：
在直角三角形中，30。
所对直角边是是斜边的一半）
观察探丸：
1、已知如图
（1）:
AABC中，AB=AC,ZB、ZC的平分线相交于点O,过点O作EF〃BC分别交AB、AC于E、F・
（1）写出线段EF与BE、CF间的数量关系？
（不证明）
（2）若ABmAC,其他条件不变，如图
（2），图中线段EF与BE、CF间是否存在
（1）中数量关系？
请说明理由.
（3）若厶ABC中，ABHAC,ZB的平分线与三角形外角ZACD的平分线CO交于O,过O点作OE//BC交AB于E,交AC于F,如图（3）,这时图中线段EF与BE,CF间存在什么数最关系？
请说明理由.
2、己知ZMON=40。
，OE平分ZMON，点A、B在射线OM、OE上，点C是射线ON上的一个动点，连接AC交射线OE于点D,设ZOAC=x.
（1）填空：
若AB〃ON,
1当ZBAD=ZABD时，（如图①），则x的度数为:
2当ZBAD=ZBDA时，（如图②），则x的度数为；
（2）若AB丄OM于点A（如图③），且厶ADB是等腰三角形，求x的度数.
3、
（1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展平纸片（如图
（1））:
再次折叠该三角形纸片，使点A和点D觅合，折痕为EF,展平纸片后得到AAEF（如图
（2））,小明认为AAEF是等腰三角形，你同意吗？
请说明理由。
实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图（3））:
再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图（4））:
再展平纸片（如图（5））,求图（5）中Za的大小。
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