利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真.docx
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利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真
利用MATLAB语言进行光学衍射现象的仿真
储林华（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011）
指导教师：
张杰
摘要:
光的衍射是光的波动性的一种重要表现，因此对光的衍射现象的研究，不仅具有重要的理论意
义，而且在光学仪器研制和成像分析等诸多实际应用方面均有重要价值，但是其衍射光强的计算非常复
杂，对实验条件的要求非常高，通常情况下很难得到满意的效果，严重影响了光学的教学。
本文从衍射
的相关理论知识出发，首先介绍了惠更斯--菲涅耳原理及其数学表示形式，然后重点讨论了单色光经各
种对称光学衍射元件（单缝，双缝，光栅，圆孔）的夫琅和费衍射情况，并分别给出了它们在焦平面上的衍射光强计算公式，最后利用科学计算软件MATLAB对光的衍射现象进行了仿真，所得到的图样细
致逼真，使整个物理过程变得直观形象，且与实验所得到的衍射图样进行了比较，两者吻合得很好，从
而为光学的理论分析和实验教学提供了一种新的途径。
关键词：
光的衍射，光栅衍射，圆孔衍射，Matlab，计算机仿真
0引言
光的衍射现象是光具有波动性的重要特征，因此对衍射现象的研究无论在理论上还是在实践中都
有很重要的意义。
对光的衍射现象的研究，始于17世纪，当时著名的荷兰科学家惠更斯提出了光是一
种波的假说，并根据波动理论提出了光的传播理论一一即惠更斯原理⑴，根据这一原理，他解释了光的
反射定律和折射定律，给出了折射率的意义，光在两种介质中的速度比。
到了19世纪，法国年轻的科
学家菲涅耳，根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化，给出了光在传播过程中光强学计算公式，这就
是著名的惠更斯-菲涅耳原理［2］。
但由于在实际应用过程中，障碍物形状的不规则性，导致光强的计算公式几乎无解析解，只能进行一些数值计算。
针对衍射计算中出现的困难，近代的研究人员想到运用科学的计算软件MATLAB，利用其较强的
绘图和图象功能，编写计算程序，使得多种衍射元件（单缝，双缝，光栅，矩孔，圆孔）下的衍射现象
得以在计算机中形象地被模拟仿真。
这种做法，条件限制较少，对于衍射的实验教学是一种的补充，起
到了很不错的效果；但值得指出的是，许多前人撰写的论文，总是在系统化，可视化，条理化方面不够理想，本文将在他们工作的基础上，将此课题进一步做得完美。
1.惠更斯一菲涅耳原理
早在十七世纪后期，荷兰科学家惠更斯就提出了光是一种波动的假说，并阐述了关于波面传播的
一种理论，既惠更斯原理。
该原理认为，传播中的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源，由于
这些次波源发出的次波是球面波，这些次波的公共包络面就是下一时刻的波面，根据这一原理，他解释
了光的反射定律和折射定律，并给出了折射率的意义，光在两种介质中的速度比。
菲涅耳根据叠加原理把惠更斯原理进一步具体化了，他假设各次波是球面波，但这些球面只是等相面而不是等幅面，球面上各点振幅与传播方向有关，这就避免了次波的后向的传
播；同时，他认为，下一时刻空间任一点的振动由各次波到达该点的振动叠加所决定，此定理称为惠更斯一菲涅耳定理。
如右图
（1）所示。
菲涅耳假设：
Q点所发的次波对P点贡献dU（p）正比于Q点附近一个小面元的面积ds,正比于Q点的复振
幅U（Q）,正比于ejkr/r（假定次波是球面波），以及正比于一个与传播方向有关的函数f（Q）是r与小面元
法线即波在Q点的传播方向上的夹角），即：
其中C是一个与r,Q,二无关的比例系数，f（r）叫倾斜因子，它随r增加而缓慢减少于是，按照叠加原理，有：
这就是惠更斯一菲涅耳原理的数学表达式，积分表示整个波面S上各点所发的次波传播到p点的作用
的叠加。
从上面的表述，我们可以看到菲涅耳的思想比惠更斯有了更大的进步，他着眼于下一时刻空间各
点的振动情况，而惠更斯只着眼于下一时刻波面的形状与位置，因此惠更斯只能定性地描述光的传播方
向，而菲涅耳却能定量地描述衍射后的光强分布。
2.夫朗禾费衍射现象研究
光的衍射现象根据光源到衍射屏以及观察屏的距离远近，可以分为近场衍射和远场衍射。
如果光源
到衍射屏以及观察屏的距离为有限值，则称为近场衍射（菲涅耳衍射）；如果光源到衍射屏以及观察屏
的距离为无穷远，则称远场衍射，由于这种衍射最先由夫朗禾费在探索天体成像时作了系统的研究，故
亦称为夫朗禾费衍射。
一般情况下，利用
（1）式进行光强计算时，菲涅耳衍射情况比较复杂，而夫朗
禾费衍射情况比较简单，本文仅讨论后者。
2.1圆孔的夫朗禾费衍射
在Oxy平面上，有一以0为圆心、R为半径的圆孔，如图2所示。
现用一束平行于Z轴的光线照射，经圆孔衍射后到达焦平面上，于是按照
（1）式，P点的光强为：
cU（Q）f（RejkrQ
u（p）-cedsQ
圆孔rQ
=][cu（Q）f®ejkrQPdPd屮
迪rQ
设从圆心O到P点的距离为ro,则从圆孔中任一点Q到P点的距离rQ为:
I
rQ=r0+00sin日=r0+Pcos申sin日
于是，由于程差尺二3-r。
比ro小得多，而与波长■可以比拟，因此，可以把振幅中的rQ以r。
代替而只
考虑相位因子的变化，即:
R2二
u（p）=cIIejk（rQ』）8"d-
00
其中：
c二cU（Q）f（）ej"0为常数，将rQ代入
（2）式中得:
r°
R2二、..
u（p）=c』皿5九dV
00
（2）
2J1（x）
x
其中：
J1称为一阶贝塞尔函数，x=2二Rsin）•，由此，可知P点的光强可表达为:
根据⑶式可以画出焦平面的光强分布图样，如下图⑶所示:
（a）（b）
图3圆孔衍射图样
其中，图（b）是夫朗禾费衍射图样的照片。
显然，这是一个圆对称图形，中心为主极大，在F处,
R=0,v-0,x=0,l=I0，其他各点的光强可通过R'来表示，由图
（2）可知:
R=0.818f'R时,
x=1.635二，11。
=0.0175,
为第一亮环；
R'=1.116fR时，
x=2.233叮，1「10=0,
为第二暗环；
R'=1.619fR时，
x=3.238二，1「10=0，
为第二暗环。
这就是夫朗禾费圆孔衍射的光强分布，它的中心永远是亮的，并且在中心亮斑处的光能占总光能
的约84%，中心亮斑的半径也是确定的，为0.61，f]R，或角半径为0.61{R。
2.2单缝的夫朗禾费衍射
图4单缝夫朗禾费衍射示意图
设波长为■的平面波射向缝宽AB=b的狭缝，衍射经透镜L会聚在焦平面F上，取XZ坐标如图
（4）所示，根据惠一菲原理，在焦平面上任一点P的复振幅为：
把狭缝细分为垂直于X轴的许多小面元，面积为ds=Ldx，L是缝的长度，由于是平面波入射,
故U（Q）为常数，在角度不大的情况下，f（v）：
1,r=r0-xsin^，由于x「：
：
r0，故在振幅中的r可
视为r°，只有相位因子中的二二r-r°=xsin二不可略去，故:
u（pHcLu（Q）—.ejkxsi^dx
r0-b2
把积分求出，得:
I=u（p）u（p）=c2b2sin2IJ'2=I0sin2I,,I'2
其中，I。
为]=0时的光强，即：
衍射斑中心点的光强，1的物理意义是狭缝的边缘与中心的光
线在P点产生的相位差，以［或sinr作横坐标，以|.，|0作纵坐标，对（4）式作图可得夫朗禾费单缝衍射的光强分布，如下图所示：
（b）单缝衍射图样
图5单缝衍射光强分布及图样
计算表明，在-二：
:
：
-：
：
：
二之间的主极大集中了90%的能量，主极大的半角宽为v：
sin^-,b，
把狭缝改为矩孔，即在x,y两个方向上考虑衍射效应，则光强表达式为：
I=I0sin2「■:
2sin'a/L其中，a是在y方向上与P对应的量，矩孔衍射图样如图⑹所示，
图6矩孔衍射图样
2.3双缝的夫朗禾费衍射
以上考虑的是一个缝的衍射，如果有两个相邻的缝，由于衍射，通过两个缝的光在观察屏上会相
遇。
试验结果告诉我们，在两条缝的衍射光相互交叠的区域，不是简单的呈现光强的叠加，而是出现了
由光强重新分布而产生的明暗相间的条纹，称为光的干涉。
显然，光的干涉与光的衍射一样，都是波的叠加原理所必然导致的结果。
现在，我们仍然用惠一菲原理来分析两条缝所产生的夫朗禾费衍射的结果，如图（7）所示：
图7双缝衍射示意图
如图（7），衍射屏上A，B处各有一条宽为b的缝，缝间距为d,由于透镜的作用，这两条缝的衍
射光在焦平面F上的光强分布是完全一样的，但它们的相位分布不同，把坐标原点分别放在A与B的
b2
中心，由式：
u（p）二C.e'gn^dx可得:
七2
b''2jk（XA屉）sin日'b2jgxB-^sin日
Ua（p）=ce2dxAUb（P）=ce2dxB
-b2-b2
令:
-J
r=kdsinr为单缝中心与双缝中心的光在P点产生的相位差，则：
2
b2u（p）=uA（p）+uB（P）=C‘『ejkxsin^dx（ejr+e」r）
_b2
=_cbsinB/0（ejr+e」r）
于是，总光强为：
I=u（p）u（p）=10sin2卩2（ejre』）（e』ejr）
=4l0sin2『‘『2co€r（5）
这就是夫朗禾费双缝衍射的光强分布的表达式，设d=5b，即:
r=5一：
，将式⑸作图，可得下图
所示的光强分布图样：
图8双缝衍射光强分布图样
显然，这是由sin2I厂:
2与4cos2r相乘而得的图样，在有双缝时，原来的单缝衍射图形不是平均
地增加到原来的两倍，而是在sinv-kd时，增加到原来的四倍，在sinv-（2k1）'/2d处，降为
零。
2.4多缝夫朗禾费衍射
上面关于双缝衍射的讨论，可以进一步推广到更多的缝，如图（9），有N条等间距的缝，缝宽均为
d，则相邻缝的对应程差为dsinv，相位差为：
：
-2-dsin'/'，由⑷式知：
u（p）=u°（p）（ejr/）=u°（p）ejr（1e引）讥（p）（1/「）
图9多缝夫朗禾费衍射示意图
如果把坐标原点放在第一个缝的中心，则uo（p）ejr就是它的单缝衍射振幅，而uo（p）ej（rv）则是
另一个缝的衍射振幅，根据这个思想，立即可以把上式推广到多缝：
Un（P）7（P）U2（p）川Un（p）
于是，光强分布为:
图10多缝衍射光强分布图进而若N=100，则可得到的衍射图样为：
图11光栅衍射图样
分析：
多缝衍射与双缝衍射都是单缝衍射的结果。
它们的区别在于多缝是干涉的结果，使极大值变细，峰值变高；而在两个极大值之间出现（N—1）个光强为零的B值和（N—2）个次峰。
当N很大时，各主极大变得十分尖锐，可以用来计量和分光，这种N很大的能产生多缝衍射的光学元件称为光栅，d
叫做光栅常数。
3.利用Matlab软件进行衍射现象的仿真
3.1Matlab的简介
这里使用的软件MATLAB6.5,它是一个功能十分强大的应用软件，可以在很多学科中得到应用，
它集数值计算，符号计算，数据可视化，系统动态仿真于一体，与其他计算机语言相比它更加灵活，更加接近科技人员的思维方式，因而编程效率更高。
3.2仿真方法
下面我们应用Matlab强大的图像处理与数值计算功能，仿真模拟光的夫朗禾费衍射（各种衍射屏）
图样和强度分布曲线。
仿真模拟首先是根据光的衍射光强分布的理论公式l（x,y）及实验参数建立光强
数据矩阵B（x,y）,然后运用Matlab的Image命令绘制衍射图像，运用Plot命令绘制光强分布曲线。
3.3圆孔衍射的程序
%圆孔衍射
%functionykys（r,f,lambda）
r=0.03;
f=600;
lambda=600;
x=-20:
0.05:
20;
y=-20:
0.05:
20;
[x1,y1]=meshgrid（x,y）;
theta=atan（sqrt（x1.A2+y1.A2）./f）;
x=1000000*（2*pi*r/lambda）.*sin（theta+（theta==O）*eps）;l=（2*bessel（1,x）./x）42;
subplot（2,1,1）;
mesh（x1,y1,I）;
axis（[-2020-202001]）
subplot（2,1,2）;
subimage（I*255）
axisoff
圆孔衍射图样照片见图3（b）所示。
3.4光栅衍射程序
%光栅衍射
%functiongsys（b，d，f，lambda，N）
b=0.05;
d=0.1;
f=600;
lambda=600;
N=1/2/100;
x=-20:
0.1:
20;
theta=atan（x./f）;
beta=1000000*（pi*b/lambda）.*sin（theta+（theta==0）*eps）;delta=beta.*（d/b）;
l=（（sin（beta）./beta）.A2）.*（（sin（N.*delta）./sin（delta））.A2）;subplot（2,1,1）;
plot（x,l）;
subplot（2,1,2）;
colormap（gray（10））
image（l*255）;
axisoff
运行后得到的图样分别见图5（b），图8,图11所示。
3.5矩孔衍射的程序
%矩孔衍射
%functionjkys（a,b,f,lambda）
a=0.05;
b=0.05;
f=600;
lambda=600;
x=-20:
0.05:
20;
y=-20:
0.05:
20;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
theta1=atan（X./f）;
theta2=atan（Y./f）;
beta=1000000*（pi*b/lambda）.*sin（theta1+（theta1==0）*eps）;
alpha=1000000*（pi*a/lambda）.*sin（theta2+（theta2==0）*eps）;l=（（sin（beta）./beta）.A2）.*（（sin（alpha）./alpha）.A2）;
subplot（2,1,1）;mesh（X,Y,l）;
axis（[-2020-202001]）subplot（2,1,2）;
subimage（l*255）;
运行后得到矩孔衍射图样见图6所示。
4•结束语：
经过Matlab软件的仿真，得到各种形状孔屏的夫朗禾费衍射图样，这与实验室做实验得到的结果符合得很好；而且通过仿真，也更进一步使夫朗禾费衍射的相关知识形象化，可视化，加深了对这些内容的理解。
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SimulationofLightDiffractionbyMATLAB
LinhuaChu
（SchoolofPhysicsandElectricalEngineeringofAnqingNormalCollegeAnqing246011）
Abstact:
Thelight'sdiffractionisaveryimportantbehaviorofthelightluctuationcharacter.So'thsfetudyofthelight'sdiffractionphenomenonhasnotonlytheimportaebryvaluebutalsotheimportantvalueonmanypracticalusing,suchasopticsinstrument'sdevelopmentandimageryanalysisandsoon.,HdW®ver
calculationofthediffractionlightintensityisverycomplicatedandhasaveryhighstandardontheexperimentcondition.Usually,it'noteasytogetthepleasedresults,whichaffectstheopticsteachingseriously.Thisthesisisbasedontherelatedreasonknowledgeofdiffraction.Firstly,itintroducesHuygens-Fresnelprincipleandthemathexpressionform.ThenitemphaticallydiscussesthesinglefrequencylightofFraunhoferdiffractioncasesthroughmanykindsofthesymmetricelementofthelight'sdiffraction（singlecrack,doublecrack,grating,rectangularhole,roundhole）,furthermore,thethesisgivesobtainthediffractionlightintensitycalculationonthefocalplane.Finally,itusesthescientificcalculationsoftwareMATLABtosimulatethelight'sdiffractionphenomenon.Thepatternwegotisdelicateandrealisticwhichmakesthewholephysicalprocessintuitionalandvisual.Andcompareditwiththediffractionpatternwhichisbegottenfromexperiment,theycoincidewitheachotherwell,whichsupplyanewwayfortheopticstheoryanalysisandexperimentteaching.
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light'sdiffractjoigratingdiffraction,roundholediffraction,Matlab,computersimulation
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