阶段质量检测一.docx
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阶段质量检测一
阶段质量检测
（一）
（A卷 学业水平达标）
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分）
1．（福建高考）命题“∀x∈[0，＋∞），x3＋x≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈（－∞，0），x3＋x＜0
B．∀x∈（－∞，0），x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞），x
＋x0＜0
D．∃x0∈[0，＋∞），x
＋x0≥0
解析：
选C 全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是∃x0∈[0，＋∞），x
＋x0＜0.
2．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是（ ）
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
解析：
选A 否命题是既否定条件又否定结论．
3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析：
选D “若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“＜”的否定是“≥”．故选D.
4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 要区分向量平行与向量相等、相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．命题“若|a|＞b，则a＞b”
B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”
解析：
选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.
6．（辽宁高考）设a，b，c是非零向量，已知命题p：
若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨q B．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）
解析：
选A 对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题；由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题．故p∨q为真命题．
7．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－
，故a＜0，故选C.
8．已知命题p：
若不等式x2＋x＋m＞0恒成立，则m＞
；命题q：
在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件，则（ ）
A．p假q真B．“p且q”为真
C．“p或q”为假D．綈p假綈q真
解析：
选B 易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以綈p为假，綈q为假．结合各选项知B正确．
9．f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）＝f（x）＋g（x），“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 若f（x），g（x）均为偶函数，则h（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝f（x）＋g（x）＝h（x），所以h（x）为偶函数；
若h（x）为偶函数，则f（x），g（x）不一定均为偶函数．
可举反例说明，如f（x）＝x，g（x）＝x2－x＋2，
则h（x）＝f（x）＋g（x）＝x2＋2为偶函数．
10．有下列命题：
①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2（m＋1）x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④
C．①③④D．①④
解析：
选D ①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”，为真命题，故否命题为真命题．
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题．
③的逆命题为“若mx2－2（m＋1）x＋m＋3＞0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有
即m＞1.∴③是假命题．
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________________________．
解析：
逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：
若b∉B，则a∈A
12．命题p：
若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：
函数y＝
的定义域是[3，＋∞），则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
解析：
p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
答案：
p∨q，綈p
13．已知p：
－4＜x－a＜4，q：
（x－2）（3－x）＞0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：
p：
a－4＜x＜a＋4，q：
2＜x＜3.
由綈p是綈q的充分条件可知，
q是p的充分条件，即q⇒p，
∴
解得－1≤a≤6.
答案：
[－1,6]
14．若“x∈[2,5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：
由x∈[2,5]或x∈{x|x＜1或x＞4}，
得x＜1或x≥2.
∵此命题是假命题，
∴1≤x＜2.
答案：
[1,2）
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分10分）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
（1）能被6整除的数一定是偶数；
（2）当
＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
（3）已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
解：
（1）若一个数能被6整除，则这个数为偶数，真命题．
（2）若
＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
（3）已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
16．（本小题满分12分）判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1）对数函数都是单调函数；
（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（3）∀x∈{x|x＞0}，x＋
≥2；
（4）∃x0∈Z，log2x0＞2.
解：
（1）本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
（3）命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题；
（4）命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．
17．（本小题满分12分）已知：
p：
方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：
方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根．若p且q为假，綈p为假，求m的取值范围.
解：
p：
解得m>2.
q：
Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）<0.
解得1∵p且q为假，綈p为假．
∴p为真，q为假，
即
解得m≥3，
m的取值范围为[3，＋∞）．
18．（本小题满分12分）已知a＞0，a≠1.设命题p：
函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内单调递减；命题q：
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
解：
当0＜a＜1时，函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内单调递减；
当a＞1时，y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内不是单调递减函数，故p真时，0＜a＜1.
q真等价于Δ＝（2a－3）2－4＞0，
即a＜
或a＞
.
又∵a＞0，
∴0＜a＜
或a＞
.
∵p或q为真，p且q为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
（1）若p真，q假时，
则
∴
≤a＜1，即a∈
.
（2）若p假，q真时，
则
∴a＞
，即a∈
.
综上可知，a的取值范围为
∪
.
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－2x＋5.
（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
（2）若存在一个实数x0，使不等式m－f（x0）>0成立，求实数m的取值范围．
解：
（1）不等式m＋f（x）>0可化为
m>－f（x），
即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.
要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m>－4，
使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立．
（2）不等式m－f（x0）>0可化为m>f（x0），若存在一个实数x0，使不等式m>f（x0）成立，
只需m>f（x）min.
又f（x）＝（x－1）2＋4，∴f（x）min＝4，
∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．
20．（本小题满分12分）已知命题：
“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x－3a）（x－a－2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：
（1）命题：
“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m＜0成立”是真命题，得x2－x－m＜0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m＞（x2－x）max，得m＞2，
即B＝{m|m＞2}．
（2）不等式（x－3a）（x－a－2）＜0，
①当3a＞2＋a，即a＞1时，解集A＝{x|2＋a＜x＜3a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，
∴2＋a≥2，此时a∈（1，＋∞）；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立；
③当3a＜2＋a，即a＜1时，解集A＝{x|3a＜x＜2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立，
∴3a≥2，此时a∈
，1.
综上①②③可得a∈
，＋∞.
（B卷 能力素养提升）
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分）
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．若p：
∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则綈p：
∃x0∈R，x
＋x0＋1＝0
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
解析：
选C 若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个是真命题，所以选项C为假命题．
2．已知命题p：
点P在直线y＝2x－3上，命题q：
点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的点P的坐标是（ ）
A．（0，－3） B．（1,2）
C．（1，－1）D．（－1,1）
解析：
选C 由题意知，使命题“p且q”为真命题的点P应该是直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点，由
得
故选C.
3．给出如下四个判断：
①∃x0∈R，ex0≤0；②∀x∈R＋，2x>x2；③设a，b是实数，a>1，b>1是ab>1的充要条件；④命题“若p则q”的逆否命题是若綈q，则綈p.其中正确的判断个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选A 任意x∈R，ex>0，①不正确；x＝2时，2x＝x2，②不正确；ab>1不能得到a>1，b>1，③不正确；④正确．
4．命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是（ ）
A．原函数与反函数的图象关于y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图象关于y＝x对称
C．存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图象关于y＝x对称
解析：
选C 否定为“存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称”．
5．设函数f（x）＝log2x，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 因为f（x）＝log2x在区间（0，＋∞）上是增函数，所以当a>b>0时，f（a）>f（b）；反之，当f（a）>f（b）时，a>b.故选B.
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x0∈R，x
<0
B．∀x∈R，x2C．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分不必要条件
D．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的必要不充分条件
解析：
选C 因为任何实数的平方均大于等于0，所以选项A是假命题；当x＝－1时，x2>x3，所以选项B是假命题；若a>1，b>1，则ab>1成立，令a＝b＝－2，则满足ab>1，显然a>1，b>1不成立，所以选项C是真命题；若|a·b|＝|a||b|，则|cosθ|＝1，即θ＝0或θ＝π（θ是向量a和b的夹角），所以a∥b，当a∥b时，θ＝0或θ＝π（θ是向量a和b的夹角），此时|a·b|＝|a||b|成立，所以“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充要条件，即选项D是假命题．
7．直线l：
y＝kx＋1与圆O：
x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：
选A 若k＝1，则直线l：
y＝x＋1与圆相交于（0,1），（－1，0）两点，所以△OAB的面积S△OAB＝
×1×1＝
，所以“k＝1”⇒“△OAB的面积为
”；若△OAB的面积为
，则k＝±1，所以“△OAB的面积为
”⇒/“k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为
”的充分而不必要条件，故选A.
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．命题“∃x0∈R，x
＋x0－1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x－1＞0”
C．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为假命题
D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
解析：
选D A中否命题应为“若x2≠1，则x≠1”；B中否定应为“∀x∈R，x2＋x－1≥0”；C中原命题为真命题，故逆否命题为真命题；易知D正确．
9．下列结论错误的是（ ）
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析：
选C 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程x2＋x－m＝0有实根，则Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－
.因为m≥－
时，不一定有m>0，所以C错误．
10．已知命题①若a>b，则
<
，②若－2≤x≤0，则（x＋2）（x－3）≤0，则下列说法正确的是（ ）
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
解析：
选D ①的逆命题为
<
则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若（x＋2）（x－3）≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．“λ<0”是“数列{an}（an＝n2－2λn，n∈N*）为递增数列”的________条件．
解析：
∵{an}为递增数列⇔an＋1>an⇔2n＋1－2λ>0⇔2n＋1>2λ⇔3>2λ⇔λ<
，∴“λ<0”是“数列{an}（an＝n2－2λn，n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件．
答案：
充分不必要
12．命题p：
方向相同的两个向量共线，q：
方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．
解析：
方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：
方向相同或相反的两个向量共线
13．已知f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3），g（x）＝2x－2，若∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0，则m的取值范围是________．
解析：
由g（x）<0得2x－2<0，x<1；
由题意可得{x|x≥1}⊆{x|f（x）<0}．
∴m<0,2m<－m－3<1或－m－3≤2m<0.
解得－4答案：
（－4,0）
14．给出下列三个结论：
（1）若命题p为真命题，命题綈q为真命题，则命题“p∧q”为真命题；
（2）命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；
（3）命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”．
则以上结论正确的命题为________（填序号）．
解析：
綈q为真，则q为假，所以p∧q为假命题，所以
（1）错误；“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，所以
（2）错误，（3）正确．
答案：
（3）
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分10分）在下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：
a＞b，q：
a2＞b2；
（2）p：
两直线平行，q：
内错角相等；
（3）p：
直线l与平面α所成角大小为90°，q：
l⊥α；
（4）函数f（x）＝logax（a＞1），p：
f（x1）＞f（x2），q：
x1＞x2＞0.
解：
在
（1）中，p⇒/q，q⇒/p，所以
（1）中的p不是q的充要条件．
在
（2）（3）（4）中，p⇔q，所以
（2）（3）（4）中的p是q的充要条件．
16．（本小题满分12分）证明：
对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.
证明：
将“对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b”视为原命题．要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“对任意非正数c，若a＞b，则有a＞b＋c成立”为真命题．
若a＞b，由c≤0知b≥b＋c，∴a＞b＋c.
∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c≤0，若有a≤b＋c成立，则a≤b.
17．（本小题满分12分）已知命题p：
∃x0∈R，ax
＋x0＋
≤0.若命题p是假命题，求实数a的取值范围．
解：
因为命题p为假命题，所以∀x∈R，ax2＋x＋
＞0.当a＝0时，x＞－
，所以不成立．
当a≠0时，要使不等式恒成立，则有
即
所以
所以a＞
，
即实数a的取值范围是
.
18．（本小题满分12分）已知命题为：
已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.写出其逆否命题，并判断其逆否命题的真假．
解：
原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为空集，判断真假如下：
抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2开口向上，Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.
因为a＜1，所以4a－7＜0，即抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
19．（本小题满分12分）设命题p：
|4x－3|≤1；命题q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：
设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0}，易知A＝
，B＝{x|a≤x≤a＋1}．由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴
故所求实数a的取值范围是
.
20．（本小题满分12分）已知a＞0且a≠1，设命题
p：
函数y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）内单调递减；
q：
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q为真命题，那么a的取值集合是怎样的呢？
并写出求解过程．
解：
由y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）上单调递减知0∵曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于两个不同的点，
∴Δ＝（2a－3）2－4×1×1>0，
解之得a<
或a>
.
∴p真对应集合A＝{a|0q真对应集合B＝
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由于p∨q真，即p、q中至少有一个为真命题．
因此适合题数目要求的a的取值集合是：
A∪B＝
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