高中数学人教A版选修23学案211离散型随机变量.docx

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高中数学人教A版选修23学案211离散型随机变量

2．1　离散型随机变量及其分布列

2．1.1　离散型随机变量

1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．（重点）

2．了解随机变量与函数的区别与联系．（易混点）

3．会用离散型随机变量描述随机现象．（难点）

[基础·初探]

教材整理　离散型随机变量

阅读教材P44～P45，完成下列问题．

1．随机变量

（1）定义：

在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

（2）表示：

随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

2．离散型随机变量

所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

　判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（　　）

（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．（　　）

（3）随机变量是用来表示不同试验结果的量．（　　）

（4）试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．（　　）

（5）在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．（　　）

【解析】　

（1）√　因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．

（2）√　因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.

（3）√　因为由随机变量的定义可知，该说法正确．

（4）√　因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．

（5）√　因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）√　（5）√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

随机变量的概念

　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

（1）北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；

（2）2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；

（3）2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；

（4）体积为1000cm3的球的半径长．

【精彩点拨】　利用随机变量的定义判断．

【自主解答】　

（1）旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

（2）所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

（3）动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．

（4）球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．

随机变量的辨析方法

1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

选修2－3|第二章　随机变量及其分布[再练一题]

1．

（1）下列变量中，不是随机变量的是（　　）

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数

（2）10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（　　）

A．取到产品的件数　　　B．取到正品的概率

C．取到次品的件数D．取到次品的概率

【解析】　

（1）B中水沸腾时的温度是一个确定值．

（2）A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．

【答案】　

（1）B　

（2）C

离散型随机变量的判定

　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

（1）某座大桥一天经过的车辆数X；

（2）某超市5月份每天的销售额；

（3）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

（4）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.

【精彩点拨】　

→

→

【自主解答】　

（1）车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．

（2）某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．

（3）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

（4）不是离散型随机变量，水位在（0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．

“三步法”判定离散型随机变量

1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．

2．由条件求解随机变量的值域．

3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．

[再练一题]

2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.

（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．

【解】　

（1）

ξ

0

1

2

3

结果

取得3

个黑球

取得1个白

球，2个黑球

取得2个白

球，1个黑球

取得3

个白球

（2）由题意可得：

η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：

5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．

[探究共研型]

随机变量的可能取值及试验结果

探究1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？

【提示】　可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．

探究2　在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？

【提示】　X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

探究3　抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？

【提示】　“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．

　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．

（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；

（2）从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.【导学号：

97270031】

【精彩点拨】

→

→

【自主解答】　

（1）设所需的取球次数为X，则

X＝1,2,3,4，…，10,11，

X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.

（2）设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.

X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；

X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；

X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；

X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；

X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；

X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；

X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；

X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；

X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．

用随机变量表示随机试验的结果

问题的关键点和注意点

1．关键点：

解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．

2．注意点：

解答过程中不要漏掉某些试验结果．

[再练一题]

3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

（1）在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；

（2）射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．

【解】　

（1）X可能取值0,1,2,3,4,5，

X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.

（2）ξ可能取值为0,1，

当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；

当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．

[构建·体系]

1．给出下列四个命题：

①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；

②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；

③一条河流每年的最大流量是随机变量；

④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．

其中正确的个数是（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

【解析】　由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.

【答案】　D

2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是（　　）

A．第5次击中目标

B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标

D．第4次击中目标

【解析】　{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.

【答案】　C

3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．

【解析】　由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．

【答案】　9

4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为

，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．

【解析】　甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．

【答案】　0,1,2,3

5．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，取出的球的编号为X；

（2）一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；

（3）投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.

【解】　

（1）X的可能取值为1,2,3，…，10.

X＝k（k＝1,2，…，10）表示取出第k号球．

（2）X的可能取值为0,1,2,3,4.

X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.

（3）X的可能取值为2,4,6,8,10,12.

X＝2表示（1,1）；X＝4表示（1,3），（2,2），（3,1）；…；

X＝12表示（6,6）．X的可能取值为2,4,6,8,10,12.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

（1）　

（2）　

学业分层测评

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、选择题

1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　）

A．两次掷得的点数

B．两次掷得的点数之和

C．两次掷得的最大点数

D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差

【解析】　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．

【答案】　A

2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（　　）

A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．2

【解析】　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.

【答案】　B

3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是（　　）【导学号：

97270032】

A．一枚是3点，一枚是1点

B．两枚都是2点

C．两枚都是4点

D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点

【解析】　ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．

【答案】　D

4．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为（　　）

A．0≤X≤5，X∈N

B．－5≤X≤0，X∈Z

C．1≤X≤6，X∈N

D．－5≤X≤5，X∈Z

【解析】　两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5]（X∈Z）．

【答案】　D

5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（　　）

A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤4

【解析】　第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.

【答案】　C

二、填空题

6．（2016·广州高二检测）下列随机变量中不是离散型随机变量的是________（填序号）．

①某宾馆每天入住的旅客数量是X；

②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；

④虎门大桥一天经过的车辆数是X.

【解析】　①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．

【答案】　②

7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：

每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．

【解析】　可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，

－300分．

【答案】　300,100，－100，－300

8．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数（两两不同），设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．

【解析】　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A

＝24（个）．

【答案】　24

三、解答题

9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.

（1）写出ξ的所有可能取值；

（2）写出{ξ＝1}所表示的事件．

【解】　

（1）ξ可能取的值为0,1,2,3.

（2）{ξ＝1}表示的事件为：

第一次取得次品，第二次取得正品．

10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．

（1）写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；

（2）若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．

【解】　

（1）ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．

（2）η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．

[能力提升]

1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字（两两不同），设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（　　）

A．20B．24C．4D．18

【解析】　由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A

＝24种．

【答案】　B

2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（　　）

A．1,2,3，…，6B．1,2,3，…，7

C．0,1,2，…，5D．1,2，…，5

【解析】　由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.

【答案】　B

3．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种.【导学号：

97270033】

【解析】　{ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C

·C

＝20种．

【答案】　20

4．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值，并说明这些值所表示的试验结果．

【解】　ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.

“ξ＝0”表示第1盏信号灯就停下；

“ξ＝1”表示通过了1盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；

“ξ＝2”表示通过了2盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；

“ξ＝3”表示通过了3盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；

“ξ＝4”表示通过了4盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.