概率论考研复习课件复习.docx

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概率论考研复习课件复习

重修考试复习提纲

一、第一章复习提纲

（1）样本空间的概念：

随机现象随机试验样本空间；

（2）随机事件的概念；

（3）事件的关系与运算；

（4）古典概率、概率的公理化定义和性质，应用它们进行概率计算；

（5）条件概率的概念，乘法公式、全概率公式，应用它们进行概率计算；

（6）事件独立性的概念，应用它进行概率计算；

（7）伯努利概型，应用它进行概率计算。

二、第二章复习提纲

（1）随机变量的概念，随机变量的分布函数的概念与性质；

（2）离散型随机变量的概念，分布律的概念和性质；

（3）连续型随机变量的概念，概率密度的概念和性质，利用概率密度计算有关事件的概率；

（4）常见分布的定义，其分布律或概率密度的形式，有关事件概率的计算。

常见分布包括二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；

（5）随机变量函数的分布：

已知离散型随机变量X的分布律，计算g（X）的分布律；已知连续型随机变量X的概率密度，计算g（X）的分布函数或概率密度。

三、第三章复习提纲

（1）多维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数的概念和性质。

边缘分布函数的概念，它与联合分布函数的概念；

（2）二维离散型随机变量的概念，其联合分布律和性质，利用它们计算有关事件的概率，计算边缘分布律；

（3）二维连续型随机变量的概念，其联合概率密度和性质，利用它们计算有关事件的概率，计算边缘概率密度；

（4）随机变量独立性的概念，判别随机变量独立性的法则，利用随机变量的独立进行概率计算；

（5）随机变量函数的概率分布：

已知二维离散型随机变量的分布律，计算其函数的分布律。

已知二维连续型随机变量的概率密度，计算其函数的概率密度或分布函数。

四、第四章复习提纲

（1）离散型随机变量数学期望和方差的概念，它们的性质与计算；

（2）连续型随机变量数学期望和方差的概念，它们的性质与计算；

（3）一维随机变量函数的数学期望的计算：

已知一维离散型随机变量的分布律，计算其函数的数学期望；已知一维连续型随机变量的概率密度，计算其函数的数学期望；

（4）常见分布：

二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差，它们与分布参数的关系；

（5）协方差、相关系数的概念、性质与计算；

（6）矩的概念。

五、第五章复习提纲

（1）契比雪夫大数定理、伯努利大数定理和辛欣大数定理；

（2）独立同分布的中心极限定理和德莫佛—拉普拉斯中心极限定理。

六、第六章复习提纲

（1）总体、个体、样本和统计量的概念；

（2）样本均值，样本方差和样本矩的概念；

（3）三个重要分布：

2分布、t分布和F分布的定义和性质。

标准正态分布、2分布、t分布和F分布分位数的概念，会查表求分位数；

（4）正态总体样本均值与样本方差的有关定理。

七、第七章复习提纲

（1）参数点估计的概念，求点估计的两种方法：

最大似然估计法和矩估计法。

利用样本的一般形式x1,…,xn求参数的最大似然估计和矩估计，利用样本的具体观测值，如1,1.1,23.5等，求参数的最大似然估计和矩估计；

（2）估计量的优良准则（无偏性、有效性），验证估计量的无偏性和有效性的方法；

（3）区间估计的概念，求一个正态总体的均值与方差的置信区间和两个正态总体的均值差与方差比的置信区间。

八、第八章复习提纲

（1）假设检验的思想——具有概率性质的反证法；

（2）假设检验的基本步骤；

（3）一个正态总体均值与方差的假设检验方法。

九、典型例题

例1、一射手向目标射击3发子弹，Ai表示第i次射击打中目标（i=1,2,3）.试用A1，A2，A3及其运算表示下列事件：

（1）“三发子弹都打中目标”；

（2）“三发子弹都未打中目标”

（3）“三发子弹至少有一发打中标”；

（4）“三发子弹恰好有一发打中标”；

（5）“三发子弹至多有一发打中标”。

例2、在一袋中有10个相同的球，分别标有号码1,2,…,10。

每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。

这种取法叫做“有放回抽取”.今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。

例3、在一袋中有10个相同的球，分别标有号码1,2,…,10。

每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取下一个。

这种取法叫做“不放回抽取”。

今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。

例4、在盒中有6个球，编号为1，2，3，4，5，6。

现在随机地，有放回地抽取二次，求取出的两个球中最小号码为2的概率。

例5、设P（A）=1/3,P（B）=1/2

（1）若事件A与B互不相容,求

；

（2）若AB,求

；

（3）若P（AB）=1/8,求

。

例6、一个罐子中包含b个白球和r个红球。

现随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球。

这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。

例7、有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。

例8甲袋中装有n只白球，m只红球。

乙袋中装有N只白球，M只红球。

今先从甲袋中任取两球放入乙袋中搅匀，再从乙袋中任取两球，求两球全是红球的概率。

例9甲袋中装有n只白球，m只红球。

乙袋中装有N只白球，M只红球。

今先从甲袋中任取一球放入乙袋中搅匀，再从乙袋中任取一球放入甲袋中。

在这种情形下，求从甲袋中任取两球为一红球和一白球的概率。

例10、甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。

求

（1）至少有一人射中目标的概率；

（2）恰有一人射中目标的概率。

例11、某射手的命中率为0.9，他独立重复向目标射击5次，求

（1）他恰好命中4次的概率；

（2）他恰好不命中3次的概率。

例12、设随机变量X的概率分布为

求常数b。

例13、设随机变量X的分布律为

X

-1

2

3

P

a

1/2

1/4

（1）求a；

（2）求P（X1/2）,P（3/2

例14、假设随机变量X具有密度函数

求

（1）常数c；

（2）计算概率P（|X|<1）。

例15、已知随机变量X服从正态分布N（,22），若已知P（

例16、设随机变量X有密度函数

求常数a。

例17、设随机变量X具有以下分布律,试求Y=X2的分布律

X

-1

0

1

2

P

0.2

0.3

0.1

0.4

例18、设随机变量X服从均匀分布U[-2,2]，随机变量

求Y的分布。

例19、设随机变量X具有概率密度,

求Y=min（X,2）的分布函数。

例20、假设随机变量X服从参数为2的指数分布，求Y=1-e2X的分布。

例21、设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一个整数值。

试求

（1）（X，Y）的分布律；

（2）P（X2,Y3）；

（3）P（X2,Y>2）；

（4）（X,Y）的边缘分布律。

例22、设（X,Y）的联合分布函数为

设X,Y的边缘分布函数。

例23、设（X,Y）的联合密度为

求

（1）（X,Y）的联合分布函数F（x,y）；

（2）P（X>1）；

（3）P{（X,Y）D},其中D={（x,y）:

x0,y0,x+y1}。

例24设随机变量X和Y具有联合分布

求

（1）常数c；

（2）X,Y的边缘密度；

（3）求

；

（4）问X,Y是否独立；

（5）求X+Y的概率密度。

例25、设随机变量X服从正态分布N（0,1）,随机变量

（k=1,2），求

（1）（Y1，Y2）的联合分布；

（2）求Y1，Y2的边缘分布，并讨论它们的独立性；

（3）求D（Y1+Y2）；

例26、已知X

（1）,Y

（2）,且X,Y相互独立,求P（min（X,Y）<2）。

例27、若X和Y独立,具有共同的概率密度

求X+Y的概率密度。

例28、系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成。

已知L1,L2的使用寿命X,Y分别服从参数为，（>0，>0,>）的指数分布。

求P（min（X,Y）<4）。

例29、设随机变量X的分布律为

X

2

0

2

3

P

a

b

1/3

1/6

且E（X）=1/2，求a，b；写出Y=|X|X的分布律。

例30、设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

试求E（X+Y）,E（X）,E（Y）。

例31.设（X，Y）有联合分布律

Y

X

0

1

1

0.3

0.2

2

0.1

0.4

求E（X2Y2），E（XY）。

例32、设随机变量X服从正态分布N（0,1），随机变量

（k=1,2），求

（1）E（Y1+Y2）；

（2）D（Y1+Y2）；

（3）

。

例33、随机变量X服从指数分布，E（X）=1。

随机变量Y服从[2，5]上均匀分布。

随机变量Z服从参数为3的泊松分布。

求E（X-2Y+Z）。

例34、设（X，Y）有联合分布律

Y

X

0

1

1

0.3

0.2

2

0.1

0.4

求Cov（X2,Y2）。

例35、已知总体XN（,2）,求样本X1,…,Xn的联合密度。

例36、已知总体X服从参数为p的两点分布,求样本X1,…,Xn的联合分布律。

例37、设总体X的密度函数为

样本X1,…,Xn的联合密度。

例38、设X1,…,X10为来自正态总体N（0,22）的一个样本，求统计量

的分布。

例39、设X1,…,X19为来自正态总体N（0,22）的一个样本，分别求统计量

的分布。

例40、设总体X的密度函数为

其中>0为未知参数。

（1）设x1,x2,x3为来自总体的样本，求参数的矩估计；

（2）设1/2,1,1.5是总体X的三个样本的观测值，求参数的矩估计值。

例41、设总体X的概率密度为

其中>0为未知参数。

（1）x1,x2,…,xn是来自总体的一个样本，求的最大似然估计；

（2）设1/2,1/3,2/3是总体X的三个样本观测值，求的最大似然估计值。

例42、设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，且E（X）=,D（X）=2。

是否为的无偏估计？

哪个估计最有效？

例43、设X1，…，Xn为来自正态总体XN（，2）的样本，其中2已知，未知,试求出的置信水平为1-的置信区间。

例44、为确定某种溶液中的甲醛浓度，取得4个样本，算得样本均值为

，样本标准差为S=0.03%。

设被测总体服从正态分布，=0.05，分别求出，2的置信区间。

例45、研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机器A生产的管子18只，算得样本均值

，样本方差

；抽取机器B生产的管子13只，算得样本均值

，样本方差

。

设两样本相互独立，且这两台机器生产的管子内径分别服从正态分布N（1，12），N（2，22），取=0.1，求

（1）12/22的置信区间；

（2）若12=22求1-2的置信区间。

例46、某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布N（，2），2未知。

现从该厂生产的一批产品中抽取6件,得尺寸数据如下

32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03

问这批产品是否合格?

例47、用某仪器间接测量温度,重复五次,测得结果为

.

设测量值X服从正态分布N（,2），水平=0.05。

问是否有理由认为该仪器测量值大于12770?

例48.用某种仪器对锰的熔点（单位：

）作了4次试验，已知4次测定值的标准差为S=16.5。

假定用该种仪器所测得的锰的熔点服从正态分布，在显著水平=0.05下，问可否认为锰的熔点的标准差等于10。

例49、在进行工艺改革时，如果方差显著增大，则改革需朝相反方向进行以减少方差；若方差变化不显著，需试行别的改革方案。

现在新工艺下加工25个活塞，其直径的样本方差S2=0.00066。

已知在工艺改革前活塞直径的方差为0.00040，问进一步改革的方向如何?

（假定在新工艺下加工的活塞的直径服从正态分布。

=0.05）

例50、教科书上的例题。