数学建模章绍辉答案.docx
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数学建模章绍辉答案
数学建模章绍辉答案
【篇一：
第三次数学建模作业】
数科院105刘镜韶20102201092数科院105蔡秋荣20102201166数科院104梁浩坤20102201100
4、不妨令第k年取出奖学金后，继续存在银行的捐款余额为xk，且银行的整存整取的利率为r，奖学金的金额为d万元，则由已知可得：
xk+1=（1+r）xk－d故：
其解为数列：
xk=
（x0-d/r）+d/r,且x0=20万元；
①奖学金金额d0.6万元，让存在银行的捐款余额每年逐步增加；②奖学金金额d=0.6万元，让存在银行的捐款余额每年保持不变；③奖学金金额d0.6万元，让存在银行的捐款余额每年逐步减少；故对于不同的情况，不妨通过编程对比xk的变化趋势；程序：
n=20;r=[0.03,0.03,0.03];x=[20,20,20];d=[0.45,0.6,0.75];fork=1:
n
x（k+1,:
）=x（k,:
）.*（1+r）-d;end
disp（本金为20万时不同的奖学金下余额的变化）
disp（年0.45万元0.6万元0.75万元）disp（[（0:
n）,x]）;
plot（0:
n,x（:
1）,k^,0:
n,x（:
2）,ko,0:
n,x（:
3）,kv）axis（[-1,n+1,14,25]）
legend（d=0.45,d=0.6,d=0.75,2）
title（本金为20万时不同的奖学金下余额的变化）xlabel（第k年）,ylabel（余额）其命令窗口显示结果为：
年0.45万元0.6万元0.75万元020.000020.000020.00001.000020.150020.000019.85002.000020.304520.000019.69553.000020.463620.000019.53644.000020.627520.000019.37255.000020.796420.000019.20366.000020.970320.000019.02977.000021.149420.000018.85068.000021.333920.000018.6661
9.000021.523920.000018.4761
本金为20万时不同的奖学金下余额的变化10.000021.719620.000018.280411.000021.921220.000018.078812.000022.128820.000017.8712
13.000022.342720.000017.6573
14.000022.562920.000017.437115.000022.789820.000017.210216.000023.023520.000016.9765
17.000023.264220.000016.7358
18.000023.512220.000016.487819.000023.767520.000016.2325第k年20.000024.030620.000015.9694
当利率r=3%时，且以整存整取一年定期的形式来存入银行时；由上述图像可知：
①奖学金金额d≤0.6万元时，可以永久持续下去，实现可持续发展，即用20万元本金所得的利息作为奖学金。
②奖学金金额d＞0.6万元时，20万元本金最终会发送完。
而题目中规定以整存整取一年定期的形式来存入银行，故对于其他形式的存款形式不作考虑。
5、不妨令第k个月末，老人的养老金余额为xk万元，且月利率为r，故：
xk+1=（1+r）xk-0.1故：
其解为数列：
余额
xk=（x0-0.1/r）+0.1/r,且x0=10万元；
当x0-0.1/r0时，数列xk为递增数列，当x0-0.1/r0时，数列xk为递减数列，当x0-0.1/r=0时，数列xk不增不减，故其平衡点为x=0.1/r；而老人的养老金什么时候用完，可由编程所得。
程序：
x0=10;r=0.003;
x
（1）=（1+r）.*x0;k=1;whilex（k）0
x（k+1）=（1+r）.*x（k）-0.1;k=k+1;endn=k;
其命令窗口显示结果为：
n=
121
即可知该养老金可以用121个月。
如果该老人想把养老金用到80岁，即需要令x（240）=0；故x（239）=0.1/（1+r）;依次类推可得：
x（0）=0.1/（1+r）+0.1/可由编程所得，
+……+0.1/
程序：
a=0;b=0.1;fori=1:
240
b=b/（1+r）;a=a+b;endn=a
其命令窗口显示结果为：
n=
17.0908
即老人想在80岁时用完养老金，需要在60岁是存入17.0908万元。
10、用前差公式计算美国人口的人口年增长率r（k）与美国人口的数量x（k）成二
次函数关系，即：
r（k）=
=a
（1）x（k）^2+a
（2）x（k）+a（3）
故可以通过实际数值拟合出二项式的系数，程序：
f=@（a,x）a（3）+a
（2）.*x+a
（1）.*x.^2;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4];
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4];r=（x（2:
22）-x（1:
21））./（10.*x（1:
21））;a=polyfit（x（1:
21）,r,2）sse=sum（（r-f（a,y））.^2）其命令窗口显示结果为：
a=
703.9289e-009-270.3042e-00636.8398e-003sse=
198.5288e-006即可知：
a1?
7.0393?
10?
7,a2?
?
2.703?
10?
4,a3?
0.03684,误差平方和为1.9852?
10?
4模型假设为一阶非线性差分方程：
2
xk?
1?
xk?
10xk（a1xk?
a2xk?
a3）,k?
1,2?
?
且令b1?
10a1,b2?
10a2,b3?
10a3?
1,可得：
32
xk?
1?
b1xk?
b2xk?
b3xk由已知可得：
b1?
7.0393?
10?
6,b2?
?
2.703?
10?
3,b3?
1.3684,且不妨令x1?
3.9
利用matlab统计工具箱的非线性拟合函数nlinfit计算参数，可知其程序如下：
函数m文件fun3_4_1_10.m
%非线性拟合美国人口增长模型函数
%假设人口年增长率是人口数量的二次函数functiony=fun3_10（b,x）y=zeros（size（x））;y
（1）=b（4）;
fork=2:
length（x）
y（k）=b
（1）.*y（k-1）.^3+b
（2）.*y（k-1）.^2+b（3）.*y（k-1）;end脚本：
t=1790:
10:
2000;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4];
[b1,resd1]=nlinfit（t,x,@fun3_10,[7.0393e-6,-2.703e-3,1.3684,3.9]）sse1=sum（resd1.^2）
x1=fun3_10（b1,[t,2010,2020]）
（x1（23:
24）-x1（22:
23））./x1（22:
23）./10.*100subplot（2,1,1）
plot（t,x,k*,t,x1（1:
end-2）,ks,[2010,2020],x1（end-1:
end）,kp）axis（[1780,2030,0,350]）
legend（统计值,模拟值,预测值,2）
xlabel（年份）,ylabel（人口数量x_k（百万））title（非线性拟合美国人口增长效果图）subplot（2,1,2）
plot（t,resd1,k.,[1780,2030],[0,0],k）axis（[1780,2030,-10,10]）
xlabel（年份）,ylabel（模拟误差）
title（非线性拟合美国人口增长模拟误差图）其命令窗口显示结果为：
b1=
5.2616e-006-2.0838e-0031.3239e+0004.9976e+000resd1=
columns1through6
-1.0976e+000-1.2651e+000-1.4034e+000-1.6393e+000-1.7243e+000-1.8324e+000columns7through12
-1.1540e+000316.9711e-003-696.5163e-0031.0727e+0002.2642e+0002.2107e+000columns13through18
3.5400e+0002.0488e+0001.6518e+000-7.8845e+000-7.8103e+000843.6691e-003columns19through22
4.1939e+0003.1886e+0001.0699e+000-1.9799e+000sse1=
203.0297e+000x1=
columns1through6
4.9976e+0006.5651e+0008.6034e+00011.2393e+00014.6243e+00018.9324e+000columns7through12
24.3540e+00031.0830e+00039.2965e+00049.1273e+00060.6358e+00073.7893e+000columns13through18
88.4600e+000104.4512e+000121.5482e+000139.5845e+000158.5103e+000178.4563e+000columns19through24
199.8061e+000223.3114e+000250.3301e+000283.3799e+000327.5779e+000395.0426e+000ans=
1.5597e+0002.0595e+000图像为：
非线性拟合美国人口增长效果图
人口数量xk（百万）
年份
非线性拟合美国人口增长模拟误差图
模拟误差
年份
计算结果为：
b1?
5.2616?
10?
6,b2?
?
2.0838?
10?
3,b3?
1.3239,且：
x1?
4.9976
误差平方和为203.3，预测2010年美国人口为327.58百万，2020年美国人口为395.04百万。
经过计算得知，2000至2010和2010至2020年的年增长率分别为1.5597%和2.0595%.模型评价：
（1）模拟效果令人满意。
本模型能够很好地模拟1790年至2000年美国人口的演变过程，误差平方和不大。
（2）预测值有一定的合理性，但偏高的可能性很大。
按照美国近几十年的人口统计数据，一般推断未来20年美国人口的年增长率大约是1%甚至更低，而这个
【篇二：
数学建模课后作业第三章】
>3.2.基本实验
1.生产计划安排
解：
（1）设a、b、c三种产品的生产量为x、y、z,则可以得出生产利润：
f=3*x+y+4*z;
约束条件为：
6*x+3*y+5*z≤45;
3*x+4*y+5*z≤30；
x、y、z均大于0；
只要f取得最大值即为最大利润
则可以得出以下lingo程序；
model:
max=3*x+y+4*z;
6*x+3*y+5*z=45;
3*x+4*y+5*z=30;
end
运行程序后可得；
globaloptimalsolutionfound.
objectivevalue:
27.00000
infeasibilities:
0.000000
totalsolveriterations:
2
modelclass:
lp
totalvariables:
3
nonlinearvariables:
0
integervariables:
0
totalconstraints:
3
nonlinearconstraints:
0
totalnonzeros:
9
nonlinearnonzeros:
0
variablevaluereducedcostx5.0000000.000000y0.0000002.000000z3.0000000.000000
rowslackorsurplusdualprice127.000001.00000020.0000000.200000030.0000000.6000000则可得当x=5、y=0、z=3时fmax=27为获利最大的生产方案；
（2）由
（1）中的程序
objectivecoefficientranges:
currentallowableallowablevariablecoefficientincreasedecreasex3.0000001.8000000.6000000y1.0000002.000000infinityz4.0000001.0000001.500000
righthandsideranges:
currentallowableallowablerowrhsincreasedecrease245.0000015.0000015.00000330.0000015.000007.500000
可以得出a的利润范围[4,4.8],b的利润范围[1,3],c的利润范围为
[2.5,5]
（3）假设购买材料的数量为d，
生产利润：
f=3*x+y+4*z-0.4d;
约束条件为：
6*x+3*y+5*z≤45;
3*x+4*y+5*z-d≤30；
x、y、z、d均大于0；
则可以得到下面新的lingo程序；
model:
max=3*x+y+4*z-0.4*d;
6*x+3*y+5*z=45;
3*x+4*y+5*z-d=30;
end
运行程序后可以得出：
globaloptimalsolutionfound.
objectivevalue:
30.00000
infeasibilities:
0.000000
totalsolveriterations:
2
modelclass:
lp
totalvariables:
4
nonlinearvariables:
0
integervariables:
0
totalconstraints:
3
nonlinearconstraints:
0
totalnonzeros:
11
variablevaluereducedcostx0.0000000.6000000y0.0000001.800000z9.0000000.000000
d15.000000.000000
rowslackorsurplusdualprice130.000001.00000020.0000000.400000030.0000000.4000000由以上程序可以得出当z=9,d=15时，利润可以达到30，
（4）假设新产品的数量为d，可以得出如下的
生产利润：
f=3*x+y+4*z+3d;
约束条件为：
6*x+3*y+5*z+8*d≤45;
3*x+4*y+5*z+2*d≤30；
x、y、z、d均大于0；
则可以得到下面新的lingo程序；
model:
max=3*x+y+4*z+3*d;
6*x+3*y+5*z+8*d=45;
3*x+4*y+5*z+2*d=30;
end
运行程序可以得出：
globaloptimalsolutionfound.
objectivevalue:
27.50000
infeasibilities:
0.000000
totalsolveriterations:
2
modelclass:
lp
totalvariables:
4
nonlinearvariables:
0
totalconstraints:
3
nonlinearconstraints:
0
totalnonzeros:
12
nonlinearnonzeros:
0
variablevaluereducedcostx0.0000000.1000000y0.0000001.966667z5.0000000.000000
d2.5000000.000000
rowslackorsurplusdualprice127.500001.00000020.0000000.233333330.0000000.5666667利润为27.527但是z=5,d=2.5,由于d只能取整数，故当d=3时则不满足约束条件，当d=2是，利润为2627,所以如果其他条件不变化的话，这种产品不值得生产。
2，工程进度问题
【篇三：
数学建模第二次作业】
4.
（1）程序：
formatlongg;
t=1790:
10:
2000;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,...
123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4];
f=@（b,t）3.9.*exp（b
（1）.*（t-1790））;
rf=nlinfit（t,x,f,0.03）
sf=sum（（x-f（rf,t））.^2）
g=@（b,t）b
（2）.*exp（b
（1）.*（t-1790））;
rg=nlinfit（t,x,g,[0.03,3.9]）
sg=sum（（x-g（rg,t））.^2）
h=@（b,t）b
（2）.*exp（b
（1）.*（t-b（3）））;
rh=nlinfit（t,x,h,[0.03,3.9,1790]）
sh=sum（（x-h（rh,t））.^2）
[rg
（1）-rh
（1）,sg-sh,g（rg,1790）-h（rh,1790）]
输出：
.021*********
sf=17418.4839873892
rg=0.01422308261268914.9939394619051
sg=2263.91749032559
warning:
thejacobianatthesolutionisill-conditioned,andsomemodelparameters
maynotbeestimatedwell（theyarenotidentifiable）.usecautioninmaking
predictions.
innlinfitat283
rh=
0.0142230604943097.948636825473621745.37882849757sh=2263.91749056977
ans=
2.21183799123392e-08-2.44176590058487e-07-5.97283448975361e-05
解释：
（i）取定x0=3.9，t0=1790，拟合r得.021*********，误差平方和为17418.4839873892
（ii）取定t0=1790，拟合x0和r，得x0=14.9939394619051，r=0.014223082612689，误差平方和为2263.91749032559
（iii）拟合x0，t0，和r，得t0=1745.37882849757，x0=7.94863682547362，
r=0.014223060494309，误差平方和为2263.91749056977。
其中还出现警告信
息，说明参数未必拟合得好。
认为（ii）拟合最好，绘图如下
plot（t,x,k+,t,g（rg,t）,ko）
axis（[1780,2010,0,300]）
xlabel（t）
ylabel（x）
title（指数增长模型拟合的美国人口1790到2000年的变化）
legend（实际值,理论值,2）
（2）过程：
对x（t）?
x0er（t?
t0）两边取对数，则有lnx（t）?
r（t?
t0）?
lnx0，
故可得新数据（xi,yi）,其中xi=ti-1790,yi=lnxi（i=1,2…，22）。
再使用最小二乘法即可。
程序：
formatlongg;
t=1790:
10:
2000;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,...
123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4];
x=t-1790;
y=log（x）;
a=polyfit（x,y,1）
r=a
（1）
x_0=exp（a
（2））
g=@（b,t）b
（2）.*exp（a
（1）.*（t-1790））;
xyc=g（[r,x_0],t）;
s=sum（（x-xyc）.^2）
结果
.020*********
.020*********
x_0=6.04497106657084
s=34891.7671365812
因此x0=6.04497106657084，.020*********，误差平方和为34891.7671365812效果图
plot（t,x,k+,t,xyc,ko）
xlabel（t）,ylabel（x）,axis（[1750,2010,0,400]）
title（指数增长模型线性化拟合效果图）
legend（实际值,理论值
2）
（3）
区别：
指数增长模型线性化拟合的误差平方和大很多；由误差比较图可见，，线性拟合的拟合误差比较均匀，非线性拟合的误差却越来越大
plot（x,x-g（rg,t）,ko,x,x-xyc,k+,[0,300],[0,0],k）
xlabel（x）,ylabel（误差）,title（线性与非线性拟合误差比较图）,legend（非线性,线性
3）
原因：
y=lnx（t）求对数带来的损失会随着x（t）数值的增大而增大
（4）
（i）
程序：
t=1790:
10:
2
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