数学建模答案.docx
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数学建模答案
基于SPSS因子分析法对城市表层土壤重金属污染的研究
摘要
重金属污染会导致大气污染、地表水污染、地下水污染等生态问题。
本文选取城市表层土壤重金属污染为研究对象，通过内梅罗综合污染指数、统计学原理，借助MATLAB和EXCEL两个软件，建立了三个数学模型，最后分别给出了四个问题的解决方案。
针对问题一，将附录中的数据进行分析处理，运用Matlab软件绘制出所给城区的总体地貌，再将八种重金属污染物的实际测量的浓度值进行处理，运用Matlab软件分别绘制出八种重金属的空间分布。
对于问题一的第二小问，对附表中的数据运用内梅罗综合污染指数建立数学建模，得出单项重金属污染指数及综合污染指数，最后将所得数据进行处理，即得出该城区内不同区域重金属的污染程度：
二区即工业区的重金属的污染程度最大，其中砷、镉、铜、汞、镍、铅、银的浓度均高于其他区域，但是铬元素在生活区的浓度最大；其次，生活区和交通区的污染程度较大，公园绿地区和山区重金属污染程度较小。
针对问题二，对问题一所得出的数据进行分析，运用统计学原理对数据进行统计，运用EXCEL软件做出各地区污染物浓度的柱形图，进而分析得出该城区内不同区域重金属的污染程度，结合实际情况及参考资料可知城区八种重金属污染的主要原因，工业区各个厂的生产排放产生了大量的重金属污染，对该地区的土壤产生了重大污染，尤其是一些金属已经严重超标，需要引起我们的警惕。
问题三的情形较为复杂，首先分析重金属污染物的传播特征，根据以上所得数据进行污染物传播上的特征的分析，然后再对相关变量进行分析，根据每种污染物的浓度用SPSS因子分析模型预测出每种重金属污染物的浓度的最高值，最后对这些数据进行数据的优化处理，得出最优解，即确能定了污染源的位置。
针对问题四，分析所建立的数学模型，即对以上所涉及的内梅罗污染指数的计算模型，多元线性回归预测模型进行评价，得出了所建模型的优点即这些模型的应用能够得出所要的结果，染物浓度的多少来确立污染源的位置，函数的最大值即为污染源的位置；同理，对于另一类，也可以建立重金属污染物在土壤中扩散模型来确立污染源的位置。
关键词：
Matlab作图；Excel数据处理；SPSS因子分析法
目录
一、问题重述3
二、问题分析3
三、模型的假设4
四、符号说明4
五、模型的建立与求解4
5.1Matlab对数据的处理与绘图4
5.1.1数据的分析与处理4
5.1.2内梅罗综合污染指数模型的建立与求解6
5.2用Excel对数据进行处理，建立统计模型与求解8
5.3传播特征及SPSS因子分析法模型的建立与求解12
5.3.1分析重金属污染物的传播特征12
5.3.2SPSS因子分析模型的建立与求解12
5.4优缺点及新模型的探究16
5.4.1模型的优缺点16
5.4.2新模型的探究17
六、模型的评价与改进17
6.1模型的评价17
6.2模型的改进18
一、问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
通过对某城市城区土壤地质环境进行调查。
将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
具体数值见附录1、2、3
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
（1）给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
（2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
（3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
（4）分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？
有了这些信息，怎样建立模型来解决问题？
二、问题分析
1.对于问题一，首先对附录中的数据进行分析处理，运用Matlab软件绘制出所给城区的总体地貌，然后再根据八种重金属污染物的实际测量的浓度值进行处理同样运用Matlab软件分别绘制出八种重金属的空间分布。
对于问题一的第二小问，对附表中的数据运用内梅罗综合污染指数进行数学建模，得出单项重金属污染指数及综合污染指数，然后再进行所得数据的处理，及得出我们对于城区的重金属的污染程度。
2.对于问题二，首先对问题一所得出的数据进行分析，运用统计学原理对数据进行统计，求出各污染物浓度的平均值、极值、中位数、方差、标准偏差，用EXCEL做出各地区污染物浓度的柱形图，进而分析得出该城区内不同区域重金属的污染程度。
结合实际情况及参考资料可知城区八种重金属污染的主要原因。
例如工业区由于工业废气、废水等污染物的大量排放，造成土壤的重度污染，山区由于偏远，人为干扰土地的因素比较少，所以山区土壤的重金属污染程度比较小，生活区由于人们的生活活动及大量生活垃圾的排放造成了样品土壤中铅、镍的含量比较大。
3.对于问题三，首先分析重金属污染物的传播特征，根据以上所得数据进行污染物传播上的特征的分析，可知大气浮沉、地下水的流动等均成为重金属污染物的传播的一个特征，然后再对相关变量进行分析，根据每种污染物的浓度用SPSS因子分析模型预测出每种重金属污染物的浓度的最高值，然后对这些数据进行数据的优化处理，得出最优解，即确定了污染源的位置。
4.对于问题四，分析所要建立模型即对以上所涉及的内梅罗污染指数的计算模型，多元线性回归预测模型的评价，其中优点是这些模型的应用能够得出所要的结果，例如不同区域重金属的污染程度，污染的主要原因，确定污染源的确位置。
但是存在很大一部分的不足，例如，模型的选择过于简单，仍然有很大的误差。
为此为了跟好的研究问题，研究该城市的地质环境的演变过程模式，应建立另外一种模型来优化给问题乃至推广。
三、模型的假设
1.假设题中附件所给几种重金属的浓度都准确可靠，真实有效，在不考虑仪器精确度等情况下的影响下，所给数据不影响统计等意义；
2.假设在那些远离人群及工业活动的自然区均未受过污染，即背景值准确有效；
3.假设技术污染物的传播特征与海拔，位置有关；
4.假设不考虑影响污染源未位置的其他因素；
5.假设假设每个样本点都能很好的反映该平方公里的实际情况。
四、符号说明
重金属元素
土壤中i元素的污染指数
土壤中i元素的实际测量值
土壤中i元素的背景值
尼梅罗综合污染指数
.各金属元素污染指数中的最大值
.所采集的样品数
重金属元素的个数
五、模型的建立与求解
5.1Matlab对数据的处理与绘图
给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
5.1.1数据的分析与处理
首先根据对问题的分析，由问题的数据可以得出给城区的地貌图如图1所示。
图1城区的地貌图
然后根据各重金属的污染物的实际浓度值得出了八种污染物的空间分布图。
图2-1As的浓度图图2-2Cd的浓度图
图2-3cr的浓度图图2-4Cu的浓度图
图2-5Hg的浓度图图2-6Ni的浓度图
图2-7
的浓度图图2-8
的浓度图
其中红o代表生活区，绿*代表工业区，蓝*代表山区，红*代表交通道路区，蓝o代表公园区。
5.1.2内梅罗综合污染指数模型的建立与求解
分析五类不同区域重金属的污染程度，对于土壤重金属的污染通常采用的是土壤背景值加二倍或三倍标准偏差的土壤质量评价方法，根据国家土壤环境质量标准（GB15618——1995）和本地区那些远离人群及工业活动的自然区的土壤背景值，采用指数法来评价土壤环境质量和污染状况。
首先计算单项污染指数，然后根据单项污染指数计算，采用尼梅罗（N.L.Nemerow）法分别计算各个重金属的单项污染指数及土壤的综合污染指数，下面是单向污染指数的计算模型
（1）
再根据土壤综合污染指数模型即，
（2）
其次就是评价标准，根据《环境评价》，把土壤环境质量分为三个等级，其中一级标准针对区域土壤诸元素背景值得评价，二级评价标准评价区域是否遭受污染，三级标准则是土壤临界值评价。
因为是分析不同区域重金属的污染程度，所以采用二级标准，即见下表1，
表1环境评价标准
等级划分
综合污染指数
单项污染指数
污染程度
污染水平
Ⅰ
≤0.7
≤0.7
安全
清洁
Ⅱ
0.7<
≤1.0
0.7<
≤1.0
警戒线
尚清洁
Ⅲ
1.0<
≤2.0
1.0<
≤2.0
轻污染
土壤污染物超过背景值、是轻污染,作物开始受污染
Ⅳ
2.0<
≤3.0
2.0<
≤3.0
中污染
土壤、作物均受到中度污染
Ⅴ
>3.0
>3.0
重污染
土壤、作物受到污染已相当严重
注：
<2.0或
<2.0的区域为土壤环境安全区，适宜人类生活和农业生产；
>2.0或
>2.0的区域为土壤环境污染区，已受到污染。
根据以上建立的模型用Excel软件进行数据处理得出下表
表2综合污染指数
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
功能区
1.7
2.2
2.2
3.7
2.7
1.5
2.2
3.4
1
2.2
3.0
1.7
4.7
18.4
1.6
3.0
4.0
2
1.1
1.2
1.4
1.3
1.6
1.3
1.2
1.0
3
1.6
2.8
1.9
4.7
3.0
1.4
2.0
3.5
4
1.7
2.2
2.2
2.3
4.0
1.2
2.0
2.2
5
根据内梅罗综合污染指数的计算得出表2，由此可以得出不同区域重金属的污染程度：
对于生活区而言，砷、镉、铬、汞和铅为中度污染，土壤、作物均受到中度污染；镍属于轻度污染，土壤污染物超过背景值、是轻污染,作物开始受污染；铜和银为重度污染物，土壤、作物受到污染已相当严重。
由此可见，该地区铜和银的污染程度最大，镍、铬、镉、汞和铅的污染程度较大，砷相对安全。
对于工业区而言，各重金属污染程度均较大。
其中，砷、铬和镍为轻度污染，土壤污染物超过背景值、是轻污染,作物开始受污染；镉和铅为中度污染，土壤、作物均受到中度污染；铜、汞和银已达到重度污染，土壤、作物受到污染已相当严重；其中汞的污染指数达到18.4，污染最为严重。
对于山区而言，各重金属污染程度均较轻，污染指数都处于1.1~1.3之间，都处于轻度污染中，土壤污染物超过背景值、是轻污染,作物开始受污染。
对于交通区而言，砷、铬和镍为轻度污染，土壤污染物超过背景值、是轻污染,作物开始受污染；镉为中度污染，土壤、作物均受到中度污染；铜、汞和银均已达到重度污染水平，土壤、作物受到污染已相当严重，其中汞的污染程度最为严重。
对于公园绿地区而言，各项污染指数相对较好，砷、铬、镍和铅为轻度污染，土壤污染物超过背景值、视轻污染,作物开始受污染；镉和铜为中度污染，土壤、作物均受到中度污染；汞的含量较高，达到重度污染，土壤、作物受到污染已相当严重。
综合以上的单向污染指数的分析，可以得出，二区即工业区的重金属的污染程度最大，其中砷、镉、铜、汞、镍、铅、银的浓度均高于其他区域，但是铬元素在生活区的浓度最大；其次，生活区和交通区的污染程度较大，公园绿地区和山区重金属污染程度较小。
5.2用Excel对数据进行处理，建立统计模型与求解
根据公式
（1）和
（2）建立的模型得出表2中的数据，运用统计学原理对数据进行统计，求出各污染物浓度的平均值、极值、中位数、众数、方差、标准偏差，见下表，用Excel做出各地区污染物浓度的柱形图（图3），进而分析得出该城区内不同区域重金属的污染程度。
表3-1各区域As的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
4.04
10.99
1.77
9.22
3.54
3.12
1.80
2
7.25
21.87
1.61
20.26
6.52
17.51
4.24
3
4.04
10.99
1.77
9.22
3.54
3.12
1.80
4
5.71
30.13
1.61
28.52
5.36
10.41
3.24
5
6.26
11.68
2.77
8.91
6.26
3.98
2.02
表3-2各区域Cd的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
152.32
407.60
40.00
367.60
130.25
6050.30
78.38
2
393.11
1092.90
114.50
978.40
351.65
54874.72
237.58
3
152.32
407.60
40.00
367.60
130.25
6050.29
78.38
4
360.01
1619.80
50.10
1569.70
304.65
5881.40
243.39
5
280.54
1024.90
97.20
927.70
197.00
54032.70
235.84
表3-3各区域Cr的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
38.96
173.34
16.20
157.14
30.93
595.73
24.59
2
53.41
285.58
15.40
270.18
41.36
1882.409
44.00
3
38.96
173.34
16.20
157.14
30.93
595.73
24.59
4
58.05
920.84
15.32
905.52
44.02
6611.21
81.61
5
43.64
96.28
16.31
79.97
41.00
213.94
14.84
表3-4各区域Cu的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
17.32
69.06
2.29
66.77
14.69
113.44
10.73
2
127.54
2529.48
12.70
2515.78
41.02
167393.63
414.94
3
17.32
69.06
2.29
66.77
14.69
113.44
10.73
4
62.21
1364.85
12.34
1352.51
41.06
14348.64
120.22
5
30.19
143.31
9.04
134.27
26.08
499.77
22.68
表3-5各区域Hg的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
40.96
206.79
9.64
197.15
35.36
764.11
27.85
2
642.36
13500.00
11.79
13488.21
96.00
4895987.2
2244.07
3
40.96
206.79
9.64
197.15
35.36
764.10
27.85
4
446.82
1600.00
8.57
15991.43
54.00
4719129.73
2180.27
5
114.99
1339.99
10.00
1329.29
54.00
48864.23
224.28
表3-6各区域Ni的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
15.45
74.03
5.51
68.52
12.40
107.09
10.43
2
19.81
41.70
4.27
37.43
18.10
68.11
8.37
3
15.45
74.03
5.51
68.52
12.40
107.09
10.43
4
17.62
142..50
6.19
136.31
16.63
137.93
11.79
5
15.29
29.10
7.60
21.50
14.50
24.04
4.94
表3-7各区域Pb的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
36.56
113.84
19.68
94.16
29.97
309.70
17.73
2
93.04
434.80
31.24
403.56
69.05
7085.14
85.37
3
36.56
113.84
19.68
94.16
29.97
309.70
17.73
4
63.53
181.48
22.01
159.47
58.42
1050.256
32.53
5
60.71
227.40
29.89
200.51
40.18
2041.53
45.84
表3-8各区域Zn的浓度比较（单位ug/g）
区域
平均数
最大值
最小值
极差
中位数
方差
标准偏差
1
73.29
229.80
32.86
196.94
65.66
942.93
90.94
2
277.93
1626.02
56.33
1569.69
176.79
119663.39
350.83
3
73.29
229.80
32.86
196.91
65.66
942.93
30.94
4
242.85
3760.82
40.92
3719.90
156.61
146985.42
384.78
5
154.24
1389.39
37.14
1352.25
95.92
51800.46
230.92
图3各地区污染物平均浓度柱形图
由此可知
1、五个区域中工业区的砷的污染指数最高，生活区和公园绿地区次之，山区最低。
工业区集中了众多矿区以及玻璃、纸张、煤、金属等制造厂，经查阅资料分析可知，砷和含砷金属的开采冶炼以及用砷或砷化合物做原料的玻璃、原料、纸张等的生产以及煤的燃烧等过程都可产生含砷的废气、废水、废渣，对环境造成污染。
岩石风化、火山爆发等自然原因也可引起大气含砷污染，进而污染土壤。
在生活中，玻璃、木材、制革、陶器、燃料以及含砷农药和化肥的使用会造成砷的污染。
因此，土壤砷污染的主要来源有：
（1）砷化合物的开采和冶炼。
特别是在我国流传广泛的土法炼砷，常造成砷对环境环境的持续污染。
（2）在某些有色金属的开发和冶炼中。
常常有或多或少的砷化物排出，污染周围的环境。
（3）砷化物的广泛利用，如含砷农药的生产和使用，又如作为玻璃、木材、制革、纺织、化工、陶器、燃料、化肥等工业的原材料，均增加了环境中的砷污染量；
（4）煤的燃烧可导致不同程度的砷污染。
2、五个区域镉的污染指数顺序为工业区大于交通区大于生活区大于公园绿地区大于山区。
由此可见，镉的污染主要来源于工业区。
镉的污染主要有气型和水型两种。
气型污染主要由含镉工业废气扩散并自然沉降，蓄集于工厂周围的土壤中,可使土壤中的镉浓度达到40ppm。
污染范围有的可达数公里。
水型污染主要是铅锌矿的选矿废水和有关工业（电镀、碱性电池等）废水排入地面水或渗入地下水引起的。
水体中镉的污染主要来自地表径流和工业废水。
硫铁矿石制取硫酸和由磷矿石制取磷肥时排出的废水中含镉较高，每升废水含镉可达数十至数百微克，大气中的铅锌矿以及有色金属冶炼、燃烧、塑料制品的焚烧形成的镉颗粒都可能进入水中；用锅作原料的触媒、颜料、塑料稳定剂、合成橡胶硫化剂、杀虫剂排放的镉也会对水体造成污染，在城市用水过程中，往往由于容器和管道的污染也可使饮用水中镉含量增加。
所以镉的主要污染原因是铅锌矿，以及有色金属冶炼、电镀和用铬化合物作燃料或触媒的工厂。
3、分析表2中的数据可得出五个区域中铬的污染程度最高的是生活区，属于中度污染，其它四区均为轻度污染。
经查阅资料可知，铬广泛存在于自然界，其自然来源主要是岩石风化。
铬主要用于金属加工、电镀、制革等行业。
为了防止工业生产过程中循环水对设备的腐蚀，常常需要加入铬酸盐。
工业部门排放的废水和废气，是环境中铬的人为来源。
冶金、水泥等工业以及煤和石油燃烧的废气中，含有颗粒态的铬。
这与数据计算生活区铬的污染程度最高发生冲突，可能是生活区受工业区影响较大所致。
4、对于重金属铜的污染程度，根据表2可知，工业区、交通区和生活区的污染指数最高，已经达到重度污染，公园绿地区为中度污染，山区相对较好为轻度污染。
工业区集中了大量的金属冶炼、加工以及机械制造、钢铁生产，冶炼以及金属加工会排放大量含铜的烟尘，对环境造成了极大的污染。
因此，铜金属的污染主要来源是铜锌矿的开采和冶炼、金属加工、机械制造、钢铁生产等，冶炼排放的烟尘是大气铜染的主要来源。
5、在该城区内汞的污染程度最大是工业区和交通区，为重度污染；公园绿地区和生活区次之，山区良好。
汞是电池、电子等产业必须的原料，这些产业均集中在工业区，由于工厂排污处理能力差，在产品生产过程中会产生大量的含汞的废气、废水、废渣，这些废物中的汞会进入土壤中，会在微生物的作用下转化为甲基汞或二甲基汞，进而对土壤造成污染。
根据查阅的资料可知，节能灯的发光原理就是汞蒸气受激发而发光，所以每支节能灯都含汞。
即便按欧洲最新环保标准，一支节能灯的汞含量也约为3--5毫克。
一旦破碎，仅3毫克就会污染约1000吨水、300立方米的空气！
由此可见，汞的污染主要来自氯碱、塑料、电子工业产生的废水及生活中节能灯的使用。
6、在城区镍的污染指数排序为，工业区大于生活区大于交通区大于山区大于公园绿地区。
大部分冶炼镍矿石的工厂集中在工业区，而在冶炼镍矿石及冶炼钢铁时，，部分矿粉会随气流进入大气。
在焙烧过程中也有镍及其化合物排出，主要为不溶于水的硫化镍（NiS），氧化镍（NiO）、金属镍粉尘等，成为大气中的颗粒物。
燃烧生成的镍粉尘遇到热的一氧化碳，会生成易挥发的、剧毒的致癌物羰基镍［Ni（CO）4］，进而对环境和人造成巨大危害。
因此，镍的污染来源主要是工业区含镍废物排放。
7、铅污染指数最大是工业区，为重
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