第一章 13 第2课时文档格式.docx

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答案　{x|x≤0或x>

2}

解析　A∩B＝{x|0<

x≤2}，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤0或x>

2}．

一、全集与补集

例1　

（1）已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.

（2）已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<

5}，则∁UA＝________.

答案　

（1）{2,3,5,7}　

（2）{x|x<

－3，或x＝5}

解析　

（1）方法一　A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁UB＝{1,4,6}，

∴B＝{2,3,5,7}．

方法二　借助Venn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

（2）将集合U和集合A分别表示在数轴上，

如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<

－3，或x＝5}．

反思感悟　求集合补集的基本方法及处理技巧

（1）基本方法：

定义法．

（2）两种处理技巧：

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

跟踪训练1　

（1）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于（　　）

A．{x|0<

x<

2}B．{x|0≤x<

C．{x|0<

x≤2}D．{x|0≤x≤2}

答案　C

解析　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，

∴∁UA＝{x|0<

x≤2}，故选C.

（2）设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则（∁UA）∩（∁UB）＝________.

答案　{x|x是直角三角形}

解析　根据三角形的分类可知，∁UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，

所以（∁UA）∩（∁UB）

二、交、并、补的综合运算

例2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<

3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，（∁UA）∪B，A∩（∁UB），∁U（A∪B）．

解　如图所示．

∵A＝{x|－2<

3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，

∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，

∁UB＝{x|x<

－3，或2<

x≤4}，

A∩B＝{x|－2<

x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<

3}．

故（∁UA）∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，

A∩（∁UB）＝{x|2<

3}，

∁U（A∪B）＝{x|x<

－3，或3≤x≤4}．

反思感悟　解决集合交、并、补运算的技巧

（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．

（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

跟踪训练2　已知全集U＝{x|x<

10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U（A∪B），∁U（A∩B），（∁UA）∩（∁UB），（∁UA）∪（∁UB）．

解　方法一　∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，

U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∴∁U（A∪B）＝{6,7,9}．

∵A∩B＝{5,8}，

∴∁U（A∩B）＝{1,2,3,4,6,7,9}．

∵∁UA＝{1,3,6,7,9}，∁UB＝{2,4,6,7,9}，

∴（∁UA）∩（∁UB）＝{6,7,9}，

（∁UA）∪（∁UB）＝{1,2,3,4,6,7,9}．

方法二　作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．

三、与补集有关的参数的范围问题

例3　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<

4}，全集U＝R，且（∁UA）∩B＝∅，求实数m的取值范围．

解　方法一　（直接法）：

由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<

－m}．

因为B＝{x|－2<

4}，（∁UA）∩B＝∅，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是m≥2.

方法二　（集合间的关系）：

由（∁UA）∩B＝∅可知B⊆A，

又B＝{x|－2<

4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，

结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

延伸探究

1．将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UA）∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解　由已知得A＝{x|x≥－m}，

所以∁UA＝{x|x<

－m}，

又（∁UA）∩B＝B，

所以－m≥4，解得m≤－4.

2．将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解　由已知A＝{x|x≥－m}，

∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又（∁UB）∪A＝R，

所以－m≤－2，解得m≥2.

反思感悟　由集合的补集求解参数的方法

（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．

（2）如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析法求解．

跟踪训练3　已知集合A＝{x|x<

a}，B＝{x|x<

－1，或x>

0}．若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．

解　∵B＝{x|x<

0}，

∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，

∴要使A∩（∁RB）＝∅，结合数轴分析（如图），

可得a≤－1.

即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．

1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（　　）

A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}

解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，

∴∁UM＝{3,5,6}．

2．设U＝R，A＝{x|x>

0}，B＝{x|x>

1}，则A∩（∁UB）等于（　　）

A．{x|0≤x<

1}B．{x|0<

x≤1}

C．{x|x<

0}D．{x|x>

1}

答案　B

解析　∁UB＝{x|x≤1}，

所以A∩（∁UB）＝{x|0<

x≤1}．

3.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是（　　）

A．{3,4,5}B．{1,3,4}

C．{1,2,5}D．{3,4}

答案　D

解析　由图可知，阴影部分表示的集合是∁U（M∪N）．

∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，

∴∁U（M∪N）＝{3,4}．

4．已知集合A＝{x|x>

a}，B＝{x|x>

1}，若A∩（∁RB）≠∅，则实数a的取值范围是________．

答案　{a|a<

解析　∁RB＝{x|x≤1}，

∵A∩（∁RB）≠∅，∴a<

1.

5．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是____________．

答案　∁UA∁UB

解析　先求出∁UA＝{x|x<

0}，∁UB＝{y|y<

1}＝{x|x<

1}．∴∁UA∁UB.

1．知识清单：

（1）全集和补集的概念及运算．

（2）并、交、补集的混合运算．

（3）与补集有关的参数的求解．

2．方法归纳：

正难则反的补集思想、数形结合．

3．常见误区：

求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．

1．设U＝R，A＝{x|－1<

x≤0}，则∁UA等于（　　）

A．{x|x≤－1，或x>

0}B．{x|－1≤x<

0}

－1，或x≥0}D．{x|x≤－1，或x≥0}

答案　A

2．（2019·

全国Ⅰ）已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于（　　）

A．{1,6}B．{1,7}

C．{6,7}D．{1,6,7}

解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，

∴∁UA＝{1,6,7}．

又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}．

3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<

1}，则A∩（∁RB）等于（　　）

A．{x|x>

1}B．{x|x≥1}

C．{x|1<

x≤2}D．{x|1≤x≤2}

解析　由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<

1}可知∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤2}．

4．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则（　　）

A．（∁UM）⊇（∁UN）B．M⊆（∁UN）

C．（∁UM）⊆（∁UN）D．M⊇（∁UN）

解析　∵M∩N＝N，∴N⊆M，

∴（∁UM）⊆（∁UN）．

5．已知集合A＝{x|x<

a}，B＝{x|1<

2}，且A∪（∁RB）＝R，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|a≤1}B．{a|a<

1}C．{a|a≥2}D．{a|a>

解析　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．

∵A∪（∁RB）＝R，∴a≥2.

6．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则（∁UA）∩B＝________.

答案　{6,8}

解析　∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}．

∴（∁UA）∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．

7．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么（∁IM）∩（∁IN）＝________.

答案　∅

解析　（∁IM）∩（∁IN）＝∁I（M∪N）＝∁II＝∅.

8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<

b}，∁UA＝{x|x<

1，或x≥2}，则实数b＝________.

答案　2

解析　因为∁UA＝{x|x<

1，或x≥2}，

所以A＝{x|1≤x<

所以b＝2.

9．已知集合A＝{x|3≤x<

6}，B＝{x|2<

9}．

（1）求A∩B，（∁RB）∪A；

（2）已知C＝{x|a<

a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．

解　

（1）显然A∩B＝{x|3≤x<

6}．

∵B＝{x|2<

9}，∴∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，

∴（∁RB）∪A＝{x|x≤2或3≤x<

6或x≥9}．

（2）∵C⊆B，如图所示，则有

解得2≤a≤8，∴a的取值范围为{a|2≤a≤8}．

10．已知A＝{x|－1<

x≤3}，B＝{x|m≤x<

1＋3m}．

（1）当m＝1时，求A∪B；

（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．

解　

（1）m＝1，B＝{x|1≤x<

4}，A∪B＝{x|－1<

4}，

（2）∁RA＝{x|x≤－1或x>

3}，当B＝∅时，即m≥1＋3m得，m≤－

，满足B⊆∁RA，

当B≠∅时，使B⊆∁RA，

即

或

解得m>

3，

综上所述，m的取值范围是

.

11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）可表示下列图中阴影部分的为（　　）

解析　如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－（A－B）所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.

12．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析　A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，

则∁U（A∪B）＝{3,5}，共有2个元素．

13．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x2}，则∁R（A∩B）＝________.

答案　{x|x<

0，或x>

4}

解析　∵A＝{x|0≤x≤4}，

B＝{y|y≥0}，

∴A∩B＝{x|0≤x≤4}，

∴∁R（A∩B）＝{x|x<

4}．

14．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．

答案　m－n

解析　∵（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．

15．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”：

X*Y＝∁U（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（X*Y）*Z等于（　　）

A．（X∪Y）∩∁UZB．（X∩Y）∪∁UZ

C．（∁UX∪∁UY）∩ZD．（∁UX∩∁UY）∪Z

解析　依题意得（X*Y）＝∁U（X∩Y），

（X*Y）*Z＝∁U[（X*Y）∩Z]＝∁U[∁U（X∩Y）∩Z]

＝{∁U[∁U（X∩Y）]}∪（∁UZ）＝（X∩Y）∪（∁UZ）．

16．对于集合A，B，我们把集合{（a，b）|a∈A，b∈B}记作A×

B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有

A×

B＝{（1,3），（1,4），（2,3），（2,4）}，

B×

A＝{（3,1），（3,2），（4,1），（4,2）}，

A＝{（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）}，

B＝{（3,3），（3,4），（4,3），（4,4）}，

据此，试回答下列问题．

（1）已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×

D；

（2）已知A×

B＝{（1,2），（2,2）}，求集合A，B；

（3）A有3个元素，B有4个元素，试确定A×

B有几个元素．

解　

（1）C×

D＝{（a,1），（a,2），（a,3）}．

（2）∵A×

B＝{（1,2），（2,2）}，

∴A＝{1,2}，B＝{2}．

（3）从以上解题过程中可以看出，A×

B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×

B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×

B中的元素应为（m×

n）个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×

B中有3×

4＝12（个）元素．