高二数学word版电子稿Word格式.docx
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从甲矿区向企业A，B，C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；
从乙矿区向企业A，B，C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．
列表如下（单位：
万吨）：
企业A
企业B
企业C
甲矿区
100
200
150
乙矿区
300
记M＝，则矩阵M就是上述数据关系的一个表示．
4．两类药片有效成分如下表所示：
成分
药品
阿司匹林（mg）
小苏打（mg）
可待因（mg）
A（1片）
2
5
B（1片）
7
6
试用矩阵表示A、B两种药品每片中三种成分所含的质量．
表示A、B两种药品成分的矩阵为.
矩阵相等
[例3] 已知矩阵A＝，B＝，若A＝B，试求a，b，c，d的值．
[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的，是指两个矩阵的行数和列数相同，并且相应位置的元素也分别相等，本题考查对矩阵相等定义的理解．
因为A＝B，即＝，
由矩阵相等的意义可知
由此解得a＝2，b＝0，c＝1，d＝4.
两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如≠两个不同行（或者不同列）的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：
[0,0]和，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等．这好比，现在有甲、乙两支球队进行足球比赛，前一个零矩阵可表示他们之间进行了一场比赛，比赛结果为0∶0，而后者可表示他们之间进行了两场比赛，两场比赛的结果均为0∶0.
5．已知A＝，B＝，若A＝B，求x与y的值．
∵A＝B，
∴解得
6．已知A＝，B＝，且A＝B，求x，y，m，n的值．
由矩阵相等的充要条件得
解得
1．设A为二阶矩阵，且规定元素aij＝i＋j（i＝1,2，j＝1,2），试求A.
由题意可知a11＝2，a12＝3，a21＝3，a22＝4，
∴A＝.
2．矩阵M＝表示平面中三角形ABC的顶点坐标，问三角形是什么三角形？
由A（1,1），B（1,3），C（3,1），画图可得△ABC是等腰直角三角形．
3．已知二元一次方程组的系数矩阵为，方程组右边的常数项矩阵为，试写出该方程组．
4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡（1千卡＝4187焦耳）、30g、10g；
“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20g、19g；
“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15g、3g，试将上述结果用矩阵表示出来．
每千克各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：
能量（千卡）
脂肪（g）
蛋白质（g）
红烧肉
649
30
10
青椒肉丝
258
20
19
韭菜豆芽
131
15
3
所以可用矩阵M表示为M＝.
5．已知平面上正方形ABCD（顺时针）的四个顶点可以用矩阵表示为，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面积．
由题意知正方形ABCD的四个顶点的坐标依次为A（0,0）、B（a，c）、C（0,4）、D（b，d），从而可求得a＝－2，b＝2，c＝d＝2.∴|AB|＝2，正方形ABCD的面积为8.
6．已知A＝，B＝，若A＝B，试求x，y，m，n的值．
由于A＝B，则和
解得x＝1，y＝2，m＝3，n＝4.
7．已知A＝，B＝，若A＝B，求α、β.
∴
8．设M是一个3×
3的矩阵，且规定其元素aij＝2i＋j，i＝1，2,3，j＝1,2,3，试求M.
由题意可知，a11＝3，a12＝4，a13＝5，a21＝5，a22＝6，a23＝7，a31＝7，a32＝8，a33＝9.故矩阵M＝.
2．1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
1．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则
（1）行矩阵与列矩阵的乘法规则：
＝；
（2）二阶矩阵与列向量的乘法规则：
＝.
一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．
2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义
（1）一个列向量左乘一个2×
2矩阵M后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P（x，y），那么列向量左乘矩阵M后的列向量就对应平面上的一个新的点．
（2）对于平面上的任意一个点（向量）（x，y），若按照对应法则T，总能对应唯一的一个点（向量）（x′，y′），则称T为一个变换，简记为：
T：
（x，y）→（x′，y′）或T：
→.
（3）一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：
→＝，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T：
→＝的矩阵形式，反之亦然（a、b、c、d∈R）．
（4）由矩阵M确定的变换，通常记为TM，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在TM的作用下得到一个新的图形．
二阶矩阵与平面列向量相乘
[例1] 设A＝，Z＝，Y＝，求AZ和AY.
[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解．
[精解详析] AZ＝＝，
AY＝＝.
若矩阵A＝，列向量为α＝，则Aα＝＝，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．
1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
（1）＝＝；
（2）＝＝；
（3）＝＝；
（4）＝＝.
2．给定向量α＝，矩阵A＝，B＝，C＝，D＝，计算Aα，Bα，Cα，Dα.
根据矩阵与向量的乘法，得
Aα＝＝，Bα＝＝，
Cα＝＝，Dα＝＝.
坐标变换与矩阵乘法的互化
[例2]
（1）已知变换＝，试将它写成坐标变换的形式；
（2）已知变换＝，试将它写成矩阵的乘法形式．
[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定．
[精解详析]
（1）＝.
故它表示的坐标变换为.
（2）＝.
对于＝，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得＝，再由向量相等，得
3．已知，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式．
因为所以
即＝＝.
故＝.
4．解下列用矩阵表达式表示的方程组．
（1）＝；
（2）＝.
（1）由＝，
得＝，即
（2）由＝，
求变换矩阵
[例3] 已知变换T：
平面上的点P（2，－1），Q（－1,2）分别变换成点P1（3，－4），Q1（0,5），求变换矩阵A.
[思路点拨] 由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶矩阵中的各元素．
[精解详析] 设所求的变换矩阵A＝.
依题意可得＝，
＝，
即解得
所以所求的变换矩阵A＝.
求变换矩阵的常用方法是待定系数法，要正确利用条件，合理准确计算．
5．若点A（1,1）在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B（－1,1），求矩阵M.
由M＝，得＝，
所以即所以M＝.
6．设矩阵M对应的线性变换把点A（1,2）变成点A′（2,3），把点B（－1,3）变成点B′（2,1），那么这个线性变换把点C（－5,10）变成什么？
设变换矩阵M＝，
∴M＝＝＝.
M＝＝＝.
∴M＝.
M＝＝.
∴该线性变换把点C（－5,10）变成了点C′（6,1）．
1．给定向量α＝，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量α分别变成了什么向量．
（1）；
（2）；
（3）.
（1）＝.
（3）＝.
2．求点（x，y）在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标．
＝，所以点（x，y）在矩阵对应的变换作用下对应点的坐标为（x,2y）．
3．
（1）已知→＝，试将它写成坐标变换的形式；
（2）已知→＝，试将它写成矩阵的乘法形式．
（1）→＝＝.
（2）→＝＝.
4．计算，并解释计算结果的几何意义．
几何意义：
表示点（3,1）在矩阵对应的变换作用下变成点（5，－1）．
5．已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，点A（1,2）变成了点A′（7,10），点B（2,0）变成了点B′（2,4），求矩阵M.
设M＝，
则＝，＝，
即解得所以M＝.
6．已知点（x，y）在矩阵对应的变换作用下变为点（－1,1），试求x，y的值．
由＝，
得解得
7．已知矩阵T＝，O为坐标原点，点A（1,0）在矩阵T的变换下得到点P.设b＞0，当△POA的面积为，∠POA＝时，求a，b的值．
由＝，得点P坐标为（a，b）．
又b＞0，所以S△POA＝×
1×
b＝.所以b＝2.
又∠POA＝，所以a＝2.
即a＝2，b＝2.
8.已知图形F表示的四边形ABCD如图所示，若由二阶矩阵M确定的变换T，使F上点的纵坐标变为原来的一半而横坐标不变．求矩阵M.
图形F对应的矩阵为，变换后的图形F′对应的矩阵为，
设M＝，则有
解得∴M＝.
2．2
几种常见的平面变换
2．2.1～2.2.2 恒等变换 伸压变换
1．恒等变换矩阵和恒等变换
对平面上任何一点（向量）或图形施以矩阵对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵（简记为E），所实施的对应的变换称作恒等变换．
2．伸压变换矩阵和伸压变换
像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y或x轴的垂直伸压变换矩阵；
对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．
[说明]
（1）线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例．
（2）将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是（k>
0），沿y轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是（k>
0）．
求点在变换作用下的象
[例1] 在直角坐标系xOy内矩阵对应的坐标变换公式是什么？
叙述这个变换的几何意义，并求出点P（4，－3）在这个变换作用下的象P′.
[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P在此变换下的象．
[精解详析] 由＝得
对应的坐标变换公式为，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍；
当x＝4，y＝－3时，x′＝2，y′＝－6，故点P在这个变换下的象为P′（2，－6）．
把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数（即二阶矩阵与列向量的乘法）研究形（即变换作用下的象）．
1．已知矩阵M＝，求出点A（3，）在矩阵M对应变换作用下的象A′.
＝
∴A′（9，）．
2．研究直角坐标平面内正方形OBCD在矩阵M＝对应的变换作用下得到的几何图形，其中O（0,0），B（2,0），C（2,2），D（0,2）．
矩阵M为恒等变换矩阵，O、B、C、D在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O′（0,0），B′（2,0），C′（2,2），D′（0,2），仍然是正方形OBCD.
求曲线在变换作用下的象
[例2] 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
[思路点拨] 求曲线F的方程即求F上的任意一点的坐标（x，y）满足的关系式．
[精解详析] 设P（x0，y0）是椭圆上的任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下得到的点为P′（x，y），则有＝＝，
即所以
又因为点P（x0，y0）在椭圆上，所以4x＋y＝1，
从而有x＋y＝1，
所以曲线F的方程是x2＋y2＝1.
先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P（x0、y0）与P′（x，y）的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程．
3．求圆C：
x2＋y2＝4在矩阵A＝对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．
设P（x，y）是圆C：
x2＋y2＝4上的任意一点，而P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵A＝对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则＝＝，即所以代入x2＋y2＝4得＋y′2＝4，所以方程＋＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．
4．已知圆C：
x2＋y2＝1在矩阵A＝（a>
0，b>
0）对应的变换下变为椭圆x2＋＝1，求a，b的值．
设P（x0，y0）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P′（x，y），
则＝，
所以
又因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝1上，
所以x＋y＝1，所以＋＝1，
即圆C在矩阵A对应的变换下的象为＋＝1.
由已知条件可知，变换后的椭圆方程为x2＋＝1，
所以a2＝1，b2＝4，
又因为a>
0，所以a＝1，b＝2.
5．已知矩阵M1＝，M2＝，研究圆x2＋y2＝1先在矩阵M1对应的变换作用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．
设P0（x0，y0）为圆上的任意一点，在M1的作用下变为P1（x1，y1），P1在M2的作用下变为P2（x2，y2），
即＝，＝.
∴即
∵P0在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1.
∴x＋4y＝1，
故所求曲线的方程为＋4y2＝1.
1．求圆x2＋y2＝9在矩阵M＝对应的变换作用后所得图形的面积．
矩阵M＝所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x2＋y2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.
2．已知点（x，y）在矩阵对应的变换作用下变为点（－1,3），试求x，y的值．
3．在平面直角坐标系中，已知线性变换对应的二阶矩阵为.求：
（1）点A（，3）在该变换作用下的象；
（2）圆x2＋y2＝1上任意一点P（x0，y0）在该变换作用下的象．
（1）由
＝，
得点A（，3）在该变换作用下的象为（，）；
得点P（x0，y0）在变换作用下的象为（x0，）．
4．求出如图所示的图形在矩阵M＝对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A（1,0），B（2,0），C（2,1），D（3,1），E（3,2），F（0,2），G（0,1），H（1,1）．
M＝对应的是沿y轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍．在此变换下，A→A′（1,0），B→B′（2,0），C→C′（2,1.5），D→D′（3，1.5），E→E′（3,3），F→F′（0,3），G→G′（0,1.5），H→H′（1,1.5）．变换后的图形如图所示．
5．求椭圆C：
＋＝1先在矩阵M＝对应的变换，再在矩阵N＝对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
因为矩阵M＝对应的变换是恒等变换，所以曲线C′是椭圆C：
＋＝1在矩阵N＝对应变换下得到的曲线，设椭圆C上任意一点P（x，y）在矩阵N对应的变换下得到曲线C′上的点P（x′，y′），则有＝，即所以
因为＋＝1，所以＋＝1，即＋y′2＝1.故曲线C′的方程为＋y2＝1.
6.如图，一个含有60°
角的菱形ABCD，试求变换矩阵M，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形．试问该变换矩阵唯一吗？
若不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵．
由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一．
由题设知，AC∶BD＝∶1，
若只变换A，C两点，则必须将A，C的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M＝.
若只变换B，D两点，则应把B，D的纵坐标伸长到原来的倍，于是变换矩阵M＝，
所以满足条件的所有变换矩阵为或.
7．求出梯形OABC先在矩阵M＝对应的变换作用下，再在矩阵N＝对应的变换作用下的图形，其中O（0,0），A（2,0），B（1,1），C（0,1）．
矩阵M＝对应的是沿x轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍．而矩阵N＝对应的是沿x轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的倍，也就是说梯形OABC先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变．
8．设M＝，N＝，试求曲线C：
y＝sinx在矩阵M、N对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程．
设P0（x0，y0）为曲线C上的任意一点，在TM的作用下变为P1（x1，y1），P1在TN的作用下变为P2（x2，y2），
∴∴
∵P0在曲线C上，
∴y0＝sinx0.
∴y2＝sin2x2，
即y2＝2sin2x2.
∴所求曲线的方程为y＝2sin2x.
2．2.3 反射变换
1．反射变换矩阵和反射变换
像，，这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．
2．线性变换
二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点（0,0），此时为线性变换的退化情况．
点在反射变换作用下的象
[例1]
（1）矩阵将点A（2,5）变成了什么图形？
画图并指出该变换是什么变换．
（2）矩阵将点A（2,7）变成了怎样的图形？
[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换．
（1）因为＝，
即点A（2,5）经过变换后变为点A′（－2,5），它们关于y轴对称，
所以该变换为关于y轴对称的反射变换（如图1）．
（2）因为＝，即点A（2,7）经过变换后变为点A′（7,2），它们关于y＝x对称，
所以该变换为关于直线y＝x对称的反射变换（如图2）．
（1）点在反射变换作用下对应的象还是点．
（2）常见的反射变换矩阵：
表示关于原点对称的反射变换矩阵，表示关于x轴对称的反射变换矩阵，表示关于y轴对称的反射变换矩阵，表示关于直线y＝x对称的反射变换矩阵，表示关于直线y＝－x对称的反射变换矩阵．
1．计算下列各式，并说明其几何意义．
（3）.
（2）＝；
三个矩阵对应的变换分别是将点（5,3）作关于x轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y＝x的轴反射变换，得到的点分别是（5，－3），（－5，－3）和（3,5）．
2．求出△ABC分别在M1＝，M2＝，M3＝对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，其中A（0,0），B（2,0），C（1,2）．
在M1下，A→A′（0,0），B→B′（－2,0），C→C′（－1,2）；
在M2下，A→A″（0,0），B→B″（2,0），C→C″（1，－2）；
在M3下，A→A（0,0），B→B（－2,0），C→C（－1，－2）．
图形分别为
曲线在反射变换作用下的象
[例2] 椭圆＋y2＝1在经过矩阵对应的变换后所得的曲线是什么图形？
[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状．
[精解详析] 任取椭圆＋y2＝1上的一点P（x0，y0），它在矩阵对应的变换作用下变为P′（x，y）．则有＝，故.
因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以＋y＝1，
∴＋x′＝1；
因此x′＋＝1.
从而所求曲线方程为x2＋＝1，是椭圆．
矩阵把一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形，反射变换对应的矩阵要区分类型：
点对称、轴对称．
3．求曲线y＝（x>
0）在矩阵对应的变换作用下得到的曲线．
矩阵对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y＝（x<
4．求直线y＝4x在矩阵作用下变换所得的图形．
任取直线y＝4x在矩阵作用下变换所得的图形上的一点P（x，y），一定存在变换前的点P′（x′，y′）与它对应，使得
＝，即（*）
又点P′（x′，y′）在直线y＝4x上，所以y′＝4x′，从而有y＝
x，从而直线y＝4x在矩阵作用下变换成直线y＝x.根据（*），它们关于直线y＝－x对称．如图所示．
1．计算，并说明其几何意义．
＝，其几何意义是：
由矩阵M＝确定的变换是关于直线y＝－x的轴反射变换，将点（x，y）变换为点（－y，－x）．
2．在矩阵变换下，图
（1），
（2）中的△ABO变成了△A′B′O，其中点A的象为点A′，点B的象为点B′，试判断相应的几何变换是什么？
（1）对应的是关于原点的中心反射变换，矩阵形式为.
（2）对应的是关于y轴的轴反射变换，矩阵形式为.
3．求△
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