初中一年级数学竞赛试题.docx

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初中一年级数学竞赛试题

初中一年级数学竞赛试题

一、选择题（每题1分，共10分）

1．若8.0473=521.077119823，则0.80473等于[]

A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.00521077119823．

2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是[]

A．正数．B．负数．C．奇数．D．偶数．

3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是[]

A．-b＞a＞-a＞b．B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a．D．a＞b＞-a＞-b．

4．在1992个自然数：

1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数和一定是[]

A．奇数．B．偶数．C．负整数．D．非负整数．

5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是[]

A．1991.5．B．1991．C．1992．D．1992.5．

6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是[]

A．a+d＜b+c．B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c．D．不确定的．

7.已知p为偶数,q为奇数,方程组

的解是整数,那么[]

A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．

C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．

8．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是[]

A．4．B．19922．C．21992．D．41992．

9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y可以取到[]不同的值．

A．1个．B．2个．C．3个．D．多于3个的．

10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的[]

二、填空题（每题1分，共10分）

1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且

则

=_____.

2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______．

3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则（x3-y3）+（4xy2-2x2y）-2（xy2-y3）=______．

4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,

b,的形式,则a1992+b1993=________.

5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的

又扔掉4个到大海中去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的

那么这堆核桃至少剩下____个.

6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______．

7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整除．则a3+b3+c3=______．

8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是______．

10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种教具各一件共需______元．

三、解答题（每题5分，共10分）

1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．

2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．

（1）请你举例说明：

“希望数”一定存在．

（2）请你证明：

如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

答案与提示

一、选择题

提示：

所以将8.0473=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823，即为0.80473的值，选A．

2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a，

∴a3+a＜0，a（a2+1）＜0，

因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．

3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A．

4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也是正确的．因此，

1，2，3…，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与（-1）+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．

5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992个数之和为m×1991+m,其平均数是1992，

∴m=1992，选C．

6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．

所以a+b＞b+c，成立，选B．

7．由方程组

以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．

由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．

8．由x-y=2①

平方得x2-2xy+y2=4②

又已知x2+y2=4③

所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有

x1992+y1992=01992+（±2）1992=21992，选C．

9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得

由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由（*）式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．

三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C．

二、填空题

提示：

与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于

6662-6622=（666+662）（666-662）=1328×4=5312．

3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把（x3-y3）+（4xy2-2x2y）-2（xy2-y3）分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有

（x3-y3）+（4xy2-2x2y）-2（xy2-y3）=x3+y3+2xy2-2x2y=（x3+y3）-2（x2y-xy2）=1000-2（-496）=1992．

4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，

下，只能是b=1．于是a=-1．

所以，a1992+b1993=（-1）1992+

（1）1993=1+1=2．

5．设这堆核桃共x个．依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即

目标是求m的最小正整数值．

可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……

m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．

由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，

即9≤a＜12．

可被第三个整除，应有b|a+c．

∴b≥2，但b|2，只能是b=2．

于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．

8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以

a2+b2+c2-ab-bc-ca

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y

于是得3p=65+x+y．

要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．

所以3p=65+x+y≤65+21=86．

所以p取最大整数值应为28．

事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．

所以p的最大值是28．

10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元．

则依题意列得关系式如下：

③×2-④式得

x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000．

所以购买每种教具各一件共需1000元．

三、解答题

1．解①（逻辑推理解）

我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．

设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．

则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

由被11整除的判别法知

x-y=0，11，22，33或44．

但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．

于是有

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．

987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。

为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求．

解②（观察计算法）

987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位数．但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是我们由987654316开始，每次减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的九位数为止．其过程是

987654316→987654305→987654294→987654283

→987654272→987654261→987654250→987654239

→987654228→987654217→987654206→987654195

→987654184→……→987652435→987652424

→987652413．

这其间要减去173次11，最后得出一个恰由九个数码组成的九位数987652413，为所求，其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解决本题的一种可行途径，有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考．

2．

（1）答：

由于428571=3×142857，所以428571是一个“希望数”．

说明：

一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。

考察参赛学生阅读理解定义的能力，并能举例说明被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”．而在四位数中很容易找到实例．

如：

3105=3×1035，所以3105是个“希望数”；

或：

7425=3×2475，所以7425是个“希望数”；

或：

857142=3×285714，所以857142是个“希望数”；

以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如：

37124568=3×12374856

43721586=3×14573862

692307=3×230769

461538=3×153846

705213=3×235071

8579142=3×2859714

594712368=3×198237456

37421568=3×12473856

341172=3×113724．

可见37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望数，事实上用3105是希望数，可知31053105也是“希望数”，只要这样排下去，可以排出无穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无穷多个．

（2）由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和．

由a=3p和a为3的倍数．

因此a被9整除．

于是a是27的倍数．

这样就证明了，“希望数”一定能被27整除．

现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数．

即a=27n1，b=27n2（n1，n2为正整数）．

所以ab=（27n1）（27n2）

=（27×27）（n1×n2）

=729n1n2．

所以ab一定是729的倍数．