最新人教版高中数学必修2第一章《棱柱棱锥和棱台的结构特征》教案.docx

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最新人教版高中数学必修2第一章《棱柱棱锥和棱台的结构特征》教案

示范教案

教学分析　　　　　

本节教材先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受棱柱、棱锥和棱台的结构特征，从整体上认识，再深入细节认识，更符合学生的认知规律．

值得注意的是：

由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点．本节教学尽量使用信息技术等手段，向学生展示更多具有典型棱柱、棱锥和棱台特征的空间物体，增强学生的感受．

三维目标　　　　　

1．掌握棱柱、棱锥和棱台的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力．

2．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．

重点难点　　　　　

教学重点：

理解棱柱、棱锥和棱台的结构特征．

教学难点：

归纳棱柱、棱锥和棱台的结构特征．

课时安排　　　　　

1课时

导入新课　　　　　

设计1.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大厦的旋转酒吧、旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等．它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们集体智慧的结晶．今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？

引出课题．

设计2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？

这些建筑物的几何结构特征如何？

引导学生回忆、举例和相互交流，教师对学生的活动及时给予评价，引出课题．

推进新课　　　　　

（1）观察下图所示的几何体，这些几何体都是多面体．多面体集合具有什么性质？

多面体的结构特征是什么？

（2）阅读教材，给出多面体的面、棱、顶点、对角线的定义．

（3）阅读教材，多面体如何分类？

（4）什么叫几何体的截面？

讨论结果：

（1）多面体的每个面都是多边形（围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分），而圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质．

由此得出多面体的结构特征：

多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．

（2）如下图所示，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD、面BCC′B′；相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AB、棱AA′；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点A、顶点A′；连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线BD′.

（3）把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．如上图中的

（1）

（2）（3）都是凸多面体，而（4）不是．

本书中说到多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体．

多面体至少有4个面．多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面体……

多面体的分类：

多面体

（4）一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面，在上图中画出了多面体的一个截面EAC.

（1）观察如下图所示的多面体，根据小学和初中学过的几何知识，这些多面体是棱柱，棱柱集合具有什么性质，其特征性质是什么？

（1）　　　　　　　

（2）　　　　　　　　（3）

（2）阅读教材，给出棱柱的底面、侧面、侧棱、高的定义．

（3）阅读教材，棱柱如何分类？

（4）阅读教材，说一说特殊的四棱柱．

讨论结果：

（1）如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着同一个方向移动相同的距离所形成的几何体．

观察这个移动过程，我们可以得到棱柱的主要特征性质：

棱柱有两个相互平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行（如上图）．

（2）棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．

棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高．

（3）棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母来表示．例如，上图（3）中的五棱柱可表示为棱柱ABCDEA′B′C′D′E′或棱柱AC′.

棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．

侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱（上图

（1））．

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱（上图

（2）（3））．

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱（上图（3））．

（4）下面研究一些特殊的四棱柱．

底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体（下图）．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体（下图

（2）（3）（4））．底面是矩形的直平行六面体是长方体（下图（3）（4）．棱长都相等的长方体是正方体（下图（4））．

（1）观察如下图所示的多面体，可能会判定是一些棱锥，棱锥集合具有什么性质？

棱锥有什么特征性质？

（2）阅读教材，给出棱锥的侧面、顶点、侧棱、底面、高的定义，如何表示棱锥？

（3）阅读教材，棱锥如何分类？

讨论结果：

（1）棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

（2）棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离，叫做棱锥的高．

（3）棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示．例如，下图中棱锥可表示为棱锥S—ABCDE或者棱锥S—AC.

棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥（下图）．

容易验证：

正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高（下图）．

讨论结果：

如左下图所示，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的高.

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．

棱台可用表示上下底面的字母来命名．如右上图中的棱台，记作棱台ABCD—A′B′C′D′，或记作棱台AC′.棱台的下底面为ABCD、上底面为A′B′C′D′、高为OO′.

思路1

例1设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的正三棱锥．

解：

因为要制作的正三棱锥的侧面与底面都是等边三角形，所以它的棱长都相等（下图）．

于是作一个等边三角形及其三条中位线，如下图所示，沿图中的实线剪下这个三角形，再以虚线（中位线）为折痕就可折成符合题意的几何体．

点评：

本题揭示了平面图形与立体图形的关系，即可以相互转化，因此将空间问题转化为平面问题．

变式训练

1．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如左下图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝__________.

解析：

如右上图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.

答案：

90°

例2已知正四棱锥V—ABCD（下图），底面面积为16，一条侧棱长为2

，计算它的高和斜高．

解：

设VO为正四棱锥V—ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC中点．

连结OM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB.

因为底面正方形ABCD的面积为16，

所以BC＝4，BM＝OM＝2，

OB＝

＝

＝2

.

又因为VB＝2

，

在Rt△VOB中，由勾股定理，得

VO＝

＝

＝6.

在Rt△VOM（或Rt△VBM中，由勾股定理，得

VM＝

＝2

（或VM＝

＝2

）．

即正四棱锥的高为6，斜高为2

.

点评：

解决本题的关键是构造直角三角形．正棱锥中，高、斜高和底面正多边形的边心距构成直角三角形；高、侧棱和底面正多边形的半径构成直角三角形．

变式训练

如下图，在正四棱锥S—ABCD中，SO是这个四棱锥的高，SM是斜高，且SO＝8，SM＝11；

（1）求侧棱长；

（2）求一个侧面的面积；

（3）求底面的面积．

答案：

略

思路2

例3下列几何体是棱柱的有（　　）

A．5个　　　　　　B．4个　　　　　　C．3个　　　　　　D．2个

解析：

判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意．

棱柱的结构特征有三方面：

有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．

答案：

D

点评：

本题主要考查棱柱的结构特征．本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述．

变式训练

1．下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．其中正确的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．0

解析：

①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①是错误的；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．

答案：

A

2．下列命题中正确的是（　　）

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D．棱台各侧棱的延长线交于一点

答案：

D

例4长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（　　）

A．1＋

B．2＋

C．3

D．2

活动：

解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两点间线段长，这体现了数学中的转化思想．

解析：

如左下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.

如右上图所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，

则有AC1＝

＝

，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是

；

如左下图所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，

则有AC1＝

＝3

，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3

；

如右上图所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，

则有AC1＝

＝2

，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2

.

由于3

<2

，3

<

，所以由A到C1在正方体表面上的最短距离为3

.

答案：

C

点评：

本题主要考查空间几何体的简单运算及转化思想．求表面上最短距离可把立体图形展成平面图形．

变式训练

1．左下图是边长为1m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．

分析：

制作实物模型（略）．通过正方体的展开右上图可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长

＝

.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．具体爬行路线如下图中的粗线所示，我们要注意的是爬行路线并不唯一．

解：

爬行路线如下图

（1）～（6）所示：

2．如下图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为__________．

解析：

将正三棱柱ABC—A1B1C1沿侧棱AA1展开，其侧面展开图如左下图所示，则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长就是左下图中AD＋DA1.延长A1F至M，使得A1F＝FM，连结DM，则A1D＝DM，如右下图所示．

则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长就是如右上图中线段AM的长．在右上图中，△AA1M是直角三角形，则AM＝

＝

＝10.

答案：

10

1．如下图，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）

A．

（1）是棱台B．

（2）是棱台

C．（3）是棱锥D．（4）不是棱柱

解析：

图

（1）不是由棱锥截来的，所以

（1）不是棱台；图

（2）上下两个面不平行，所以

（2）不是棱台；图（4）前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱；很明显（3）是棱锥．

答案：

C

2．正方体的截平面不可能是：

①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是（　　）

A．①②⑤B．①②④

C．②③④D．③④⑤

解析：

正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）．

答案：

B

1．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？

剖析：

如下图所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱．

由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：

①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这3个特征缺一不可，下图所示的几何体不具备特征③.

2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？

剖析：

如左下图所示，将正方体ABCD—A1B1C1D1截去两个三棱锥A—A1B1D1和C—B1C1D1，得如右下图所示的几何体．

右上图所示的几何体有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．

由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：

①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一个公共顶点．这3个特征缺一不可，右上图所示的几何体不具备特征③.

本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的结构特征．

1．如下图，甲所示为一几何体的展开图．

（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？

试用文字描述并画出示意图．

（2）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体？

请在图乙棱长为6cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．

答案：

（1）有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如下图甲所示．

（2）需要3个这样的几何体，如上图乙所示．分别为四棱锥：

A1—CDD1C1，A1—ABCD，A1—BCC1B1.

2．如下图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为

，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置．

分析：

把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离，即确定了P点的位置．

解：

如下图所示，把正三棱锥展开后，设CP＝x，

根据已知可得方程22＋（3＋x）2＝29.

解得x＝2（x>0）．

所以P点的位置在离C点距离为2的地方．

3．正四棱锥的侧棱长为2

，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（　　）

A．3B．6

C．9D．18

解析：

作下图，依题可知SO＝2

sin60°＝2

·

＝3，

CO＝2

·cos60°＝2

·

＝

.

∴底面边长为

.

从而VS—ABCD＝

S

ABCD·SO＝

×（

）2×3＝6.

答案：

B

本节教学设计，充分体现了新课标的精神，按课程标准的要求：

降低逻辑推理，通过直观感受和操作确认来设计．在使用时，建议使用信息技术来处理图片和例题，否则会造成课时不足的矛盾．

备选习题

1．下列说法错误的是（　　）

A．多面体至少有四个面

B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C．长方体、正方体都是棱柱

D．三棱柱的侧面为三角形

解析：

多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误．

答案：

D

2．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为__________cm.

解析：

n棱柱有2n个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.

答案：

12

3．在本节我们学过的常见几何体中，用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是__________．

解析：

棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全．

答案：

棱锥、棱柱、棱台、圆锥