华罗庚学校数学课本五年级下.docx
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华罗庚学校数学课本五年级下
华罗庚学校数学课本（五年级·修订版）
下册
第一讲不规则图形面积的计算
（一）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？
我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
解：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，
所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。
例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
解：
因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例4如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.
解：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。
又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。
解：
过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。
例7如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
解：
连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.
∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
∴S△AGD=AH×DG÷2，
∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），
∴DE=3.2（厘米）。
例8如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
解：
∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2
即45=（AD+BC）×6÷2，
45=（AD+10）×6÷2，
∴AD=45×2÷6-10=5米。
习题一
一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：
二、解答题：
1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。
2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.
3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。
4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.
5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。
求三角形DEF的面积.
6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？
7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：
3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.
8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.
第二讲不规则图形面积的计算
（二）
不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：
集合A与集合B之间有：
SA∪B＝SA＋Sb-SA∩B）合并使用才能解决。
例1如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1：
把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：
将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：
将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.
例2如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：
由容斥原理
S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD
例3如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
例4如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.
例6如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.
解：
整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：
例7如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.
例8如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积（π取3.14）。
解：
∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）。
∴S阴影＝（S正方形ABCE+S半圆-S△ADE÷2
＝（100+39.25-75）÷2
＝64.25÷2
＝32.125.
总结：
对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：
一、相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.
二、相减法：
这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.
三、直接求法：
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分
四、重新组合法：
这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了
五、辅助线法：
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
六、割补法：
这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
七、平移法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图
形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图
（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图
（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
九、对称添补法：
这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：
这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。
例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.
习题二
一、填空题（根据图中所给的数据求阴影部分面积）
二、解答题：
1.如右图，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。
2.如右图，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米.求阴影部分的面积。
3.如左图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求B中阴影部分占大圆面积的百分之几？
4.如右图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的面积.
5.如下图（a），求阴影部分的面积。
6.如下图（b），把OA分成6个等分，以O为圆心画出六个扇形，已知最小的扇形面积是10平方厘米，求阴影部分的面积。
7.如下图（a），△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=2厘米，BE、BD分别为以C、A为圆心，BC、AB为半径所作的弧.求阴影部分面积.
8.如下图（b），已知半径OA=OB=OC=9=厘米，∠1=∠2=15°，求阴影部分的面积.
第三讲巧求表面积
我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积.如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么，长方体的表面积=（ab＋ah＋bh）×2.如果正方体的棱长用a表示，则正方体的表面积=6a2.对于由几个长方体或正方体组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体，它们的表面积又如何求呢？
涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图能力和空间想象能力.小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面积的总和.有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。
例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（右图），求这个立体图形的表面积。
分析我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：
小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：
上下方向：
大正方体的两个底面，
解：
上下方向：
5×5×2=50（平方分米）；
侧面：
5×5×4＝100（平方分米），
4×4×4=64（平方分米）。
这个立体图形的表面积为：
50+100+64=214（平方分米）。
答：
这个立体图形的表面积为214平方分米。
分析这道题的难点是洞里的表面积不易求.在小洞里，平行于上下表面的所有面的面积和等于边长为1厘米的正方形的面积，这个边长为1厘米的正方形再与图中阴影部分的面积合在一起正好是边长为2厘米的正方体的上表面的面积.这个立体图形的表面积分成两部分：
上下方向：
2个边长为2厘米的正方形的面积，
解：
平行于上下表面的各面面积之和：
2×2×2＝8（平方厘米）；
侧面：
2×2×4=16（平方厘米），
1×1×4＝4（平方厘米），
例3把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.求这个立体图形的表面积。
分析从上下、左右、前后看时的平面图形分别由下面三图表示。
因此，这个立体图形的表面积为：
2个上面+2个左面+2个前面。
解：
上面的面积为：
9平方厘米，
左面的面积为：
8平方厘米，
前面的面积为：
10平方厘米。
因此，这个立体图形的表面积为：
（9＋8＋10）×2＝54（平方厘米）。
答：
这个立体图形的表面积为54平方厘米。
例4一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如下图.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？
分析原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1×1＝1（平方米），无论后来锯成多少块，这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，现在一共锯了：
2+3+4＝9（刀），一共得到18平方米的表面.因此，总的表面积为：
6＋（2+3＋4）×2＝24（平方米）。
解：
每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，
1×2=2（平方米）
一共锯了：
2+3＋4＝9（刀），
得到：
2×9＝18（平方米）的表面。
因此，这大大小小的60块长方体的表面积的和为：
6＋18＝24（平方米）。
答：
这60块长方体表面积的和为24平方米.
例5有一些棱长是1厘米的正方体，共1993个，要拼成一个大长方体，问表面积最小是多少？
解：
因为1993是一个质数，所以这1993个正方体只能摆成长1993厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体，因此这个长方体的表面积为：
1993×1×4＋1×1×2＝7974（平方厘米）。
答：
摆成的大长方体表面积最小是7974平方厘米。
例6用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体码放成一个表面积最小的长方体.码放后得到的这个长方体的表面积是多少？
分析用这12个长方体可以码放出许多种不同的长方体，当然得到的表面积就不会相同.我们可以把所有不同情况下的长方体的表面积都计算出来，再选出最小值，但这样做，会浪费很多时间，情况还不一定考虑得周全，因此，要考虑有没有巧妙的方法.先重申一下基本原理：
在体积固定的所有长方体中，只有各棱长相等的立方体，其各棱长之和为最小，其表面积也最小。
因为所给长方体的长、宽、高都已确定，而且已知是12个长方体，所以拼成的这个大长方体的体积就已固定（3×4×5×12＝720立方厘米）.因为这个大长方体的体积不是一个立方数，因而不可能使各棱长都相等，但我们可以使长方体的长、宽、高这三个数尽可能地接近，这样使其各棱长之和为最小，这个大长方体的表面积也最小。
解：
一方面12=22×3，另一方面，长、宽、高应尽量接近，观察到720（立方厘米）＝8（厘米）×9（厘米）×10（厘米），并且有5×2=10（厘米），4×2=8（厘米），3×3＝9（厘米）.
拼成的大长方体的长、宽、高分别为10厘米、8厘米、9厘米，这时长方体的表面积为：
（10×9＋10×8＋9×8）×2=484（平方厘米）。
答：
码放后得到的这个长方体的表面积为484平方厘米。
习题三
1.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
2.将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱体如右图所示组成一个物体，求这个物体的表面积（π取为3.14）。
3.小明小制作时把6个棱长分别为1、2、3、4、5、6（单位：
分米）的正方体按由大到小的顺序码放成一个宝塔，并且把重合部分用胶固定粘牢，再把所有外露的部分涂上油漆，交给老师.所有涂上油漆部分的面积是多少平方分米？
4.有30个棱长为1米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，求这个立体图形的表面积是多少平方米？
5.下面（a）中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？
6.一个正方体的棱长为4厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.如果把本题的条件“4厘米”改换为“3厘米”，那么这个玩具的表面积是多少？
（图（b））。
7.下图（c）中是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿着虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？
8.有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透“十字形”的孔（如左图阴影部分），如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是多少？
第四讲最大公约数和最小公倍数
本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。
定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。
证明：
设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。
假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）
所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。
那么md是a、b的公约数。
又∵m＞1，∵md＞d。
这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。
定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）
定理3两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）
下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。
例1甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.
解法1：
由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得
36×乙数=4×288，
乙数=4×288÷36，
解出乙数=32。
答：
乙数是32。
解法2：
因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。
因为甲、乙两数的最小公倍数是288，
则288＝4×9×b1，
b1＝288÷36，
解出b1＝8。
所以，乙数=4×8=32。
答：
乙数是32。
例2已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
解：
要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。
因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝21b1，且（a1，b1）＝1。
因为这两个数的最小公倍数是126，
所以126=21×a1×b1，
于是a1×b1=6，
因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。
答：
这两个数的和为147或105。
例3已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
解：
设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。
因为a＋b=50，所以有5a1+5b1=50，
a1+b1=10。
满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：
答：
这两个数为5与45或15与35。
例4已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
解：
设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。
因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，
所以240=d×60，
解出d＝4，
所以a=4a1，b=4b1.
因为a与b的最小公倍数为60，
所以4×a1×b1＝60，
于是有a1×b1＝15。
答：
这两个数为4与60或12与20。
例5已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。
解：
设这两个自然数分别为a与b，a＜b，（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。
因为a+b＝54，所以da1+db1=54。
于是有d×（a1＋b1）＝54，因此，d是54的约数。
又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的差为114，
所以da1b1-d=114，
于是有d×（a1b1-1）=114，
因此，d是114的约数。
故d为54与114的公约数。
由于（54，114）＝6，6的约数有：
1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。
如果d＝1，由d×（a1+b1）＝54，有a1＋b1=54；又由d×（a1b1-1）＝114，有a1b1=115。
115=1×115=5×23，但是1＋115=116≠54，5＋23=28≠54，所以d≠1.
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