平面向量的线性运算以及坐标运算Word文档格式.docx

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．

⑷运算性质：

①交换律：

；

②结合律：

③．

3、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

①；

②当时，的方向与的方向相同；

当时，的方向与的方向相反；

当时，．

⑵运算律：

②；

二、同步例题分析

例1、判断下列命题的真假。

（1）零向量是没有方向的；

（2）零向量与任一向量共线；

（3）零向量的方向是任意的；

（4）单位向量都是相等的向量；

（5）向量与向量的长度相等；

（6）不相等的向量一定不平行；

（7）若两个单位向量共线，则必相等；

（8）向量就是有向线段；

（9）非零向量的单位向量是；

（10）若，则；

（11）若，则；

（12）若，则；

（13）若，则。

例2、给出下列几个命题：

（1）若，则；

（2）若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

（3）在平行四边形ABCD中，一定有；

（4）若，则。

其中不正确命题的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

例3、如图，在中，，M为BC的中点，则=________。

（用表示）

变式：

1、化简下列各式：

（1）；

（2）；

（3）。

2、已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有（）

A．B．C．D．

3、已知，则在以下各命题中，正确的命题共有（）

（1）时，与的方向一定相反；

（2）时，与的方向一定相同；

（3）时，与是共线向量；

（4）时，与的方向一定相同；

（5）时，与的方向一定相反。

A.2个B.3个C.4个D.5个

4、已知任意平面四边形ABCD中，EF分别为AD、BC的中点。

求证：

5、如图，在五边形ABCDE中，若ACDE是平行四边形，且，，，试用表示向量及。

例8、设两个非零向量不共线，

（1）若，求证：

A、B、D三点共线。

（2）试确定实数k使得与共线。

如图，平行四边形ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：

M是BD的一个三等分点。

三、课后作业

1、若有以下命题：

①两个相等向量的模相等；

②若和都是单位向量，则；

③相等的两个向量一定是共线向量；

④，，则；

⑤零向量是唯一没有方向的向量；

⑥两个非零向量的和可以是零。

其中正确的命题序号是。

2、已知下列各式：

②③④

其中结果为零向量的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

3、在ABCD中，设，则下列等式中不正确的是（）

A． B．C． D．

4、若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向；

此时．

5、若则的取值范围是

图1

6、（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量（）

A.B.C.D.

7、在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状____

8、设为两个不共线的向量，若与共线，则=__________________

9、设是两不共线的向量，若，试证三点共线．

10、如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：

思考题：

设点O在△ABC内部，且有，求三角形ABC与三角形OBC的面积之比。

平面向量的基本定理及坐标表示

一、知识点梳理

1、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。

称不共线的向量e1、e2叫做一组基底。

2、已知两个非零向量a和b，做，则叫做向量a与b的夹角。

如果a与b的夹角是90°

，则称a与b，记作。

3、向量的正交分解：

4、平面向量的坐标运算

（1）平面向量的坐标：

设是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a，有且只有一对实数，使得，记作。

（2）平面向量的坐标运算

①，则有

，，，

②设，则有；

③向量共线的坐标表示：

设，则有a与b共线，；

④中点公式

设，P为的中点，则对任一点O，有

，所以点P的坐标是。

二、专题经典讲练

例1、设是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）

A.B.

C.D.

例2、已知，向量，若，求向量。

1、已知，求。

2、若，则=___________。

3、设向量a=（1,－3）,b=（－2,4）,若表示向量4a、3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（）

（A）（1，－1）（B）（－1，1）（C）（－4，6）（D）（4，－6）

4、已知过点A（－2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y－1=0平行，则m的值为（）

A．0B．－8C．2D．10

例2、已知点，设的平分线AE与BC相交于E，且，则等于（）

A.2B.C.-3D.

1、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

2、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为（）

例3、已知点A（1,－2）,若向量与={2,3}同向,=2,则点B的坐标为.

1、已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是 （）

A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6]

2、已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（）

A． B． C．16，0 D．4，0

3、若平面向量与向量的夹角是，且，则

A. B. C.D.

4、若向量，满足，则与所成角的大小为________．

例4、若向量，且，求的值。

1、已知向量且∥，则=

（A）（B）（C）（D）

2、向量，当为何值时，A、B、C三点共线。

3、的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为（）

（A）（B）（C）（D）

例5、已知三点，点P满足

（1）为何值时，点P在正比例函数的图像上？

（2）设点P在第三象限，求的取值范围。

课后作业

1、下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A．，

B．，

C．，

D．，

2、已知点（　　）

A． B． C． D．

3、已知，，，若，则等于（）

A．

B．

C．

D．

4、若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量,则向量的坐标为

6、在直角坐标系xOy中，已知点A（0,1）和点B（-3,4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=

7、已知ABCD为平行四边形，A（-1,2），B（0,0），Ｃ（1,7），则Ｄ点坐标为　　　　　　　

8、若平面向量满足，平行于轴，，则．

9、已知点,,.若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为__________.