高考数学理二轮复习 讲学案考前专题七 概率与统计 第2讲 概 率含答案解析Word下载.docx

高考数学理二轮复习 讲学案考前专题七 概率与统计 第2讲 概 率含答案解析Word下载.docx

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热点二　相互独立事件和独立重复试验

1．条件概率

在A发生的条件下B发生的概率

P（B|A）＝.

2．相互独立事件同时发生的概率

P（AB）＝P（A）P（B）．

3．独立重复试验、二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为

Cpk（1－p）n－k，k＝0,1,2，…，n.

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpkqn－k，其中0<

p<

1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p），且E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．

例2　

（1）（2017届江西赣州二模）如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P（N|M）等于（　　）

解析　由题意得，圆O的半径为2，

所以内接正方形ABCD的边长为AB＝2，

则正方形ABCD的面积为S1＝

（2）2＝8，

因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，

所以EF＝×

2R＝2，

所以正方形EFGH的面积为S2＝22＝4，

所以P（N|M）＝＝，故选C.

如图所示，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）．若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是______________．

答案　A→E→F→B

解析　路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率

P1＝1－×

×

路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率

P2＝1－×

＝.

因为<

，所以应选择路线A→E→F→B.

思维升华　求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点

（1）求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．

（2）注意辨别独立重复试验的基本特征：

①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；

②在每次试验中，事件发生的概率相同．

跟踪演练2　

（1）（2017届河北省石家庄市二模）现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（　　）

解析　因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为P＝＝.故选C.

（2）（2017届上海市宝山区二模）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p＝________.

答案　0.03

解析　“不是废品”这一事件，要保证第一次正品，第二次也是正品，所以概率P＝（1－0.01）（1－p）＝0.9603，解得p＝0.03.

热点三　离散型随机变量的分布列

1．离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）pi≥0（i＝1,2，…，n）；

（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.

2．期望公式

E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

3．期望的性质

（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b；

（2）若X～B（n，p），则E（X）＝np.

4．方差公式

D（X）＝[x1－E（X）]2·

p1＋[x2－E（X）]2·

p2＋…＋[xn－E（X）]2·

pn，标准差为.

5．方差的性质

（1）D（aX＋b）＝a2D（X）；

（2）若X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p）．

例3　（2017·

全国Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；

如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；

如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高

气温

[10,15）

[15,20）

[20,25）

[25,30）

[30,35）

[35,40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：

瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：

瓶）为多少时，Y的期望达到最大值？

解　

（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，

由表格数据知，

P（X＝200）＝＝0.2，

P（X＝300）＝＝0.4，

P（X＝500）＝＝0.4.

则X的分布列为

X

200

300

500

P

0.2

0.4

（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温位于区间[20,25），则Y＝6×

300＋2（n－300）－4n＝1200－2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×

200＋2（n－200）－4n＝800－2n，

因此E（Y）＝2n×

0.4＋（1200－2n）×

0.4＋（800－2n）×

0.2＝640－0.4n.

当200≤n<

300时，

若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；

（0.4＋0.4）＋（800－2n）×

0.2＝160＋1.2n.

所以当n＝300时，Y的期望达到最大值，最大值为520元．

思维升华　求解随机变量分布列问题的两个关键点

（1）求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．

（2）求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．

跟踪演练3　（2017·

江苏省苏锡常镇四市调研）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：

每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n分（n∈N*）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．

（1）求在一局游戏中得3分的概率；

（2）求游戏结束时局数X的分布列和期望E（X）．

解　

（1）设在一局游戏中得3分为事件A，

则P（A）＝＝.

故在一局游戏中得3分的概率为.

（2）X的所有可能取值为1,2,3,4.

在一局游戏中得2分的概率为＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝×

P（X＝3）＝×

P（X＝4）＝×

所以X的分布列为

1

3

所以E（X）＝1×

＋2×

＋3×

＋4×

真题体验

1．（2017·

全国Ⅱ改编）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______．

答案　

解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，

∴所求概率P＝＝.

2．（2017·

浙江改编）已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜，则E（ξ1）________E（ξ2），D（ξ1）________D（ξ2）．（填>

，<

或＝）

答案　<

　<

解析　由题意可知ξi（i＝1,2）服从两点分布，

∴E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，

D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），

又∵0＜p1＜p2＜，∴E（ξ1）＜E（ξ2），

把方差看作函数y＝x（1－x），当0<

x<

时，y′＝1－2x>

0，根据0＜p1＜p2＜知，D（ξ1）＜D（ξ2）．

3．（2017·

全国Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）＝________.

答案　1.96

解析　由题意得X～B（100,0.02），

∴D（X）＝100×

0.02×

（1－0.02）＝1.96.

4．（2017·

江苏）记函数f（x）＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．

解析　设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，

由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，

∴D＝[－2,3]．

如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，

∴P（A）＝.

押题预测

1．某校在2016年的中学数学挑战赛中有1000人参加考试，数学考试成绩ξ～N（90，σ2）（σ>

0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为（　　）

A．200B．400C．600D．800

押题依据　正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注．

解析　依题意得P（70≤ξ≤110）＝0.6，

P（ξ≤110）＝0.3＋0.5＝0.8，P（ξ≥110）＝0.2，

于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有

0.2×

1000＝200（人）．

2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：

质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点（2,3）的概率是________．

押题依据　二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点．

解析　由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点（2,3），所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·

2＝C5＝C5＝.

3．（2017届天津市红桥区二模）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；

两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；

两人租车时间都不会超过四小时．

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．

押题依据　利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的均值．

解　

（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，

则P（A）＝×

＋×

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

（2）ξ的可能取值为0,2,4,6,8.

P（ξ＝0）＝×

＝，P（ξ＝2）＝×

P（ξ＝4）＝×

P（ξ＝6）＝×

P（ξ＝8）＝×

故ξ的分布列为

ξ

6

8

E（ξ）＝0×

＋6×

＋8×

A组　专题通关

湖南省长沙市长郡中学模拟）小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色．将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（　　）

解析　设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A，B，C，与之同颜色的笔帽分别为a，b，c，则笔筒与笔帽的搭配方式分别有：

（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ac，Bb，Ca），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Ba，Cb），共6种情形，其中恰有两只笔和笔帽的颜色混搭的可能有（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ac，Bb，Ca）共3种情形，故所求事件的概率P＝＝，故选C.

全国Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　）

解析　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.

3．（2017届广东汕头三模）现有编号为A，B，C，D的四本书，将这4本书平均分给甲、乙两位同学，则A，B两本书不被同一位同学分到的概率为（　　）

解析　将4本书平均分给甲、乙两位同学，共有C＝6（种）不同的分法，A，B两本书不被同一位同学分到，则有AA＝4（种）分法，所以所求概率为＝，故选C.

4．抛掷两枚骰子，记事件A为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B为“朝上的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（　　）

解析　抛掷两枚骰子，总共有6×

6＝36（个）基本事件，事件AB包括：

（2,2），（2,4），（2,6），（4,2），（4,4），（4,6），（6,2），（6,4），（6,6），共9个基本事件．

事件A包括：

（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（2,6），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（4,6），（5,1），（5,3），（5,5），（6,2），（6,4），（6,6），共18个基本事件．

由题意可得P（AB）＝，P（A）＝，

由条件概率公式可得P（B|A）＝＝.

故选D.

5．（2017届吉林省吉林大学附属中学模拟）某游戏中一个珠子从图中的通道（图中实线表示通道）由上至下滑下，从最下面的六个出口（如图所示1,2,3,4,5,6）出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为（　　）

C.D．以上都不对

解析　我们把从A到3的路线图（图略）单独画出来：

分析可得，

从A到3共有C＝10（种）走法，每一种走法的概率都是5，所以珠子从出口3出来的概率是C5＝.

故选A.

6.

（2017·

江西省赣中南五校联考）下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．

解析　矩形面积为10，设阴影部分面积为S，

则＝，解得S＝.

7．（2017·

浙江台州模拟）已知离散型随机变量X的分布列为

a

则变量X的期望E（X）＝______，方差D（X）＝______.

答案　1　

解析　由a＋＋＝1，解得a＝，

所以期望E（X）＝0×

＋1×

＝1，

D（X）＝（0－1）2×

＋（1－1）2×

＋（2－1）2×

8．（2017届山西太原三模）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：

7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．

答案　0.4

解析　由题意可得：

符合题意的模拟数据有

7527　9857　8636　6947　4698　8045　9597　7424

共8组，由古典概型公式可得该运动员射击4次至少击中3次的概率为P＝＝0.4.

9．（2017届黑龙江大庆三模）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是________．

解析　“男生甲被选中”记作事件A，“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记作事件B，

则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，

由条件概率公式可得P（B|A）＝＝.

10．（2017届福建泉州模拟）某工厂的污水处理程序如下：

原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0<

1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；

若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．

某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；

若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．

现有以下四种方案：

方案一：

逐个化验；

方案二：

平均分成两组化验；

方案三：

三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；

方案四：

混在一起化验．

化验次数的期望值越小，则方案越“优”．

（1）若p＝，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；

（2）若p＝，现有4个A级水样本需要化验，请问：

方案一，二，四中哪个最“优”？

（3）若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．

解　

（1）该混合样本达标的概率是2＝，

所以根据对立事件原理，不达标的概率为1－＝.

（2）方案一：

逐个检测，检测次数为4.

由

（1）知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；

若不达标则检测次数为3，概率为.记方案二的检测次数为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列为

ξ2

C×

可求得方案二的期望为

E（ξ2）＝2×

混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取值为1,5.

其分布列为

ξ4

5

1－4

可求得方案四的期望为E（ξ4）＝1×

＋5×

比较可得E（ξ4）<

E（ξ2）<

4，故选择方案四最“优”.

（3）方案三：

设化验次数为η3,η3可取值为2,5.

η3

p3

1－p3

E（η3）＝2·

p3＋5（1－p3）＝5－3p3；

设化验次数为η4，η4可取值为1,5.

η4

p4

1－p4

E（η4）＝1·

p4＋5（1－p4）＝5－4p4；

由题意得E（η3）<

E（η4）⇔5－3p3<

5－4p4⇔p<

.

故当0<

时，方案三比方案四更“优”．

B组　能力提高

11．（2017·

河南六市联考）某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数xi和10个区间[0,1]上的均匀随机数yi（i∈N*,1≤i≤10），其数据如下表的前两行．

x

2.50

1.01

1.90

1.22

2.52

2.17

1.89

1.96

1.36

2.22

y

0.84

0.25

0.98

0.15

0.01

0.60

0.59

0.88

0.10

lnx

0.90

0.64

0.20

0.92

0.77

0.67

0.31

0.80