勾股定理培优专项练习.docx

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勾股定理培优专项练习

勾股定理练习

一、（根据对称求最小值）基本模型：

如下图1（自己作图）

已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线刃上找一点M,使得AM+BM有最小值。

1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E,AE=1,AD丄BC于D,请在AD上找一点N,使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E,AE=1,请在对角线AC上找一点N,使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

3、如图，已知直线a//b,且力与方之间的距离为4,点A到直线0的距离为2,点B到直

线b的距离为3,AB二2、丽.试在直线d上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN丄2且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB二（）

A.6B.8C.10D.12

4、已知AB=20,DA丄AB于点A,CB丄AB于点B,DA=10,CB=5.

（1）在AB上找一点E,使EC=ED,并求出EA的长；

（2）在AB上找一点F,使FC+FD最小，并求出这个最小值

5、如图，在梯形ABCD中，ZC=45°,ZBAD=ZB=90°,AD=3,CD=2<2,

为BC上一动点，则Z\AMD周长的最小值为.

6、如图，等边AABC的边长为6,AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点,

7、如图ZAOB=45°,卩是ZAOB-点，P0=10,Q、R分别是OA.OB上的动点，求Z\PQR周长的最小值•

8.如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD,在对角

线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2B.2y.16C.3D・v6

点P为对角线AC上一动点，连

9、在边长为2皿的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点,

接PB、PQ,则Z\PBQ周长的最小值为cm

10、在长方形ABCD中,AB=4fBC=8,E为CD边的中点，若卩、Q是BC边上的两动点，且PQ二2,当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.（在AD上截取AF二PQ=2,作A关于BC的对称点G,连GE交BC与点Q,作AP/7AQ,作RtAGHE,可求结果为4）

二、几何体展开求最短路径

1、如图，是一个三级台阶■它的每一级的长、宽.髙分别为20力3力2dm.A和B是这个

台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm2

2、如图：

一圆柱体的底面周长为20皿，高AB为4皿BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

3、如图，一个高18m,周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺族形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？

4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点G处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？

最短路线长为多少？

5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m,底面周长为lm,在容器壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。

三、折叠问题

1、如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB=8⑵，BC=10⑵，

求EF的长。

2、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点

A'处；

（1）求证：

BrE=BF；

（2）设AE=a,AB",BF二c,试猜想爪b、c之问的一种关系，并给予证明

3、如图，有一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将ZkABC折叠，

使点B与点A重合，折痕为DE,则CD=。

4、如图，折叠长方形ABCD的一边AD,点D落在BC边的D'处，AE是折痕，已知CD=6皿，CD'=2⑵，则AD的长为

点C落在BA上的点C',折痕为BE,则EC的长度是（）

6、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上，已知AB二口3,BC二7,求重合部分AEBD的面积。

四、弦图有关问题

1、如图，直线1上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11,则b的面积

B.

7、在直线1上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别

是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S】、S?

、S3、S„则Si+Sz+Sj+Sf.

8、我国汉代数学家爽为了证明勾股定理，创制了一幅''弦图”，后人称其为"爽弦图如

图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S,,S2,S;l.若S^S.+S：

^10,则S2的值是。

9、如图，已知ZXABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线

厶、J厶上，且厶、厶之间的距离为2,厶、厶之间的距离为3,求AC的长。

五、勾股定理的证明

1、将直角边长分别为爪b,斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为c的正方形，请利用该图形证明勾股定理。

2、将直角边长分别为爪方，斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为M方的正方形,请利用该图形证明勾股定理。

3、以$、方为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。

4、已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1,G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.

（1）求证：

①厶BCG9ADCE②HB丄DE

（2）试问当G点运动到什么位置时，BH垂直平分DE?

请说明理由.

六、勾股定理中考典型题目练习

1、图①所示的正方体木块棱长为6饱，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得

到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短

距离为

2、我国古代有这样一道数学问题：

“枯木一根直立地上’高二丈周三尺，有藤自根缠绕而上,

五周而达其顶，问藤之长几何？

，题意是：

如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰

好到达点B处.则问题中藤的最短长度是尺.

3、如图，AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则CD

4、如图，已知圆柱底面的周长为4血，圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有

一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

A.4x''2dmB.2Q2dmC.2^5dmD.4y[5dm

5、如图，在等腰AABC中，AB=AC,BC边上的高AD二6⑵，腰AB上的高CE=8m,则Z\ABC的

周长等于cm.

6、如图，RtAABC中，AB=9,BC=6,ZB=90°,将AABC折叠，使A点与BC的中点D重合,

折痕为MN,则线段BN的长为。

7、如图①是一个直角三角形纸片，ZA=30°,BC二4cnb将其折叠，使点C落在斜边上的点

C'处，折痕为BD,如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC'的延长线上的点A'处如图

③，则折痕DE的长o

9.如图，RtAABC中，ZACB二90°,ZABC二60°,BC二2cm,D为BC中点，若动点E以lcm/s

的速度从A点出发，沿着A-B-A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0WtV6）,连接DE,当ABDE是直角三角形时，t的值为（）

A.2B.2.5或3・5C.3.5或4・5D.2或3.5或4.5

10.如图，已知直线a〃方，且2与方之间的距离为4,点A到直线刀的距离为2,点B到直

线b的距离为3,AB=2V30.试在直线d上找一点M,在直线方上找一点N,满足MN丄$且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB二（）A.6B.8C.10D.2

11.如图,AAOB中,ZA0B=90°,AO=3,B0=6,AA0B绕顶点0逆时针旋转到△ArOBf处,

此时线段A'B■与B0的交点E为B0的中点，则线段B'E的长度为

12、如图，四边形ABCD中，ZBAD-ZBCD-900,AB二AD,若四边形ABCD的面积是24血，则

AC长是cm.

13、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，

坡角ZA=30°,ZB=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=米时,

有DC2=AE2+BC2.

14、如上图4所示，四边形ABCD中，DC〃AB,BC=1,AB二AC二AD二2.则BD的长为（）

A.B.V15C.341D.2^3

15、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得

到ZXABC,则ZXABC中BC边上的高是。

16、已知AABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜边AC为直角边，画第二个等

腰RtAACD,再以RtAACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtAADE,…，依此类推，第a个等腰直角三角形的斜边长是.

17、1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股图是指以直角三角形的三边为

边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中，已知ZACB二90°,ZBAC=30°,AB=4.作△卩QR使得ZR=90°,点H在边QR上，点D,E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么APQR的周长等于.

18、如图，长方体的底面边长分别为和3cm、高为6s.如果用一根细线从点A开始经

过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个

侧面缠绕〃圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.

19、如图，将矩形ABCD的四个角向折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12

厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）

A.12厘米B.16厘米C.20厘米D.28厘米

20、如图，正方形纸片ABCD的边长为3,

点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、

AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1,则EF的长为（

359

A.二B・二C.-D・3

224

21、在ZXABC中，已知AB=20,AC=15,BC边上的高AD为12,AABC的面积为。

22、如图，公路跟和公路PQ在点P处交汇，且ZQPN=30°，点A处有一所中学，AP=160仏假设拖拉机行驶时，周围100刃以会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18如必,那么学校受影响的时间为多少秒？

23、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点落在BC边的中点E处，点A落在F处,折痕为MN,求折痕HN的长度。

2、我国古代数学家爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼

成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,那么@+方）2的值为（）

A、13B、19C、25D、169

3、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作,、S2、S3,则,、S2、S3之

间的关系是（）A、S.+S2>S3B、S（+S2

4、如上图2,由4个全等的直角三角形拼合而成，若图小正方形的面积分别为52和4,则

直角三角形的两条直角边的长分别为。

5、已知：

如图，以RtAABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为