数学中考二次函数中的各类问题Word格式文档下载.docx

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如图所示，抛物线y=ax2-8ax+12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC。

（1）、求线段OC的长。

（2）、在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

变式2：

如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）探究：

若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

:

2、相似三角形存在问题

例4：

.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？

若存在，请求出M点的坐标；

否则，请说明理由．

变式3：

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？

若存在，求出N点的坐标；

若不存在，说明理由．

例5：

如图，已知抛物线y＝

x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝

x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：

点C的坐标是___________，b＝_______，c＝_______；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？

若存在，求出所有t的值；

变式4：

当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．

（1）求该抛物线的关系式；

（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；

（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：

是否存在△DEF与△AOC相似？

若存在，求出点E的坐标；

若不存在，则说明理由．

3、平行四边形存在问题

例6：

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1,0），直线

与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3,4），B点在轴

上.

（1）求

的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作

轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为

，点P的横坐标为

，求

与

之间的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？

若存在，请求出此时P点的坐标；

若不存在，请说明理由.

例7：

如图，抛物线

与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线

与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；

如果不存在，请说明理由。

变式5：

如图，已知抛物线y＝ax2－2ax－b（a＞0）与x轴的一个交点为B（－1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．

（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；

（2）以AD为直径的圆经过点C．

①求抛物线的解析式；

②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．

3、图形面积及周长的最值问题

例8：

如图，已知抛物线

的顶点坐标为E（1,0），与

轴的交点坐标为（0,1）.

（1）求该抛物线的函数关系式.

（2）A、B是

轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥

轴交抛物线于D，过B作BC⊥

轴交抛物线于C.设A点的坐标为（

0），四边形ABCD的面积为S.

①求S与

之间的函数关系式.

②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？

③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；

若不存在，说明理由.

变式6：

已知：

抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝－1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（－3，0）、C（0，－2）．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；

例9、如图，抛物线

轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上

滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；

（3）设

（1）中抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上

是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标；

变式7、如图、已知抛物线y=x2+（2n-1）x+n2-1（n为常数）.

（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，

求出它所对应的函数关系式；

（2）设A是

（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左

侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，

再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.

①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？

如果存在，请求出这

个最大值，并指出此时A点的坐标；

如果不存在，请说明理由.

例10．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜

＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．

（3）在

（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？

若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．

变式8.已知：

Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上．

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？

若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；

若没有，请说明理由．

4、以已知边问直角边的存在问题

例11：

如图一次函数y＝

x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；

二次函数y＝

x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝

x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

变式9：

．如图，正方形ABCO的边长为

，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O（α＜45º

），B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A1、B1、C1．

（1）求tanα的值；

（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；

（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？

若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；

变式10：

如图，已知抛物线y＝ax2－5ax＋4a（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）试写出A、B两点的坐标：

A（____，0），B（____，0）；

（2）记经过A、B、C三点的圆为⊙M，若⊙M恰好与y轴相切于点C，试求抛物线的解析式；

在

（2）中的抛物线的对称轴右侧图形上是否存在点P，使△PAC是以AC为一条直角边的直角三角形．若存在，试求出点P的坐标；

类型二：

二次函数的对称问题

例12、如图，已知二次函数

的图像经过点A和点B．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离

变式11．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

类型三：

抛物线与圆

例13．如图，在平面直角坐标系中，以点A（－3，0）为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于D、M两点（点D在点M的下方）．

（1）求以直线x＝－3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式；

（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围；

（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点F的坐标；

变式12：

如图，在平面直角坐标系中，直线l：

y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．

（1）连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

变式13：

在平面直角坐标系中，已知A（－4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．

（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：

是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？

若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

二次函数中的运动问题

例14、如图，已知抛物线

经过O（0,0），A（4,0）,B（3,

）三点，连结AB，过点B作BC∥

轴交该抛物线于点C.

（1）求这条抛物线的函数关系式.

（2）两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为

（秒）（0＜

＜4），△PQA的面积记为S.

①求S与

的函数关系式；

②当

为何值时，S有最大值，最大值是多少？

并指出此时△PQA的形状；

③是否存在这样的

值，使得△PQA是直角三角形?

若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；

变式14：