中考数学二轮复习二次函数的应用.docx
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中考数学二轮复习二次函数的应用
二次函数的应用
一.课前热身
1．二次函数y=2x2﹣4x+5的对称轴方程是x= ；当x= 时，y有最小值是 ．
2．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 ．
3．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+aB．y=a（x﹣1）2C．y=a（1﹣x）2D．y=a（1+x）2
4．把一段长1.6m的铁丝围成长方形ABCD，设宽为xm，面积为ym2．则当y最大时，x所取的值是（ ）
A．0.5B．0.4C．0.3D．0.6
二、典例精析
8．用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示．
（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
9．某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
三、中考演练
10．二次函数y=x2+10x﹣5的最小值为 ．
11．某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：
s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行 米才能停止．
12．矩形周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函数关系为 ．
13．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=
gt2（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．将一张边长为30cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当x取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ ）
A．7B．6C．5D．4
15．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
16．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
17．如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃．
（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
18．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣
x2+x+2的一部分，根据关系式回答：
（1）该同学的出手时最大高度是多少？
（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
（3）该同学的成绩是多少？
二次函数的应用
参考答案与试题解析
一.课前热身
1．二次函数y=2x2﹣4x+5的对称轴方程是x= 1 ；当x= 1 时，y有最小值是 3 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】将原式化为顶点式即可解答．
【解答】解：
原式=2（x2﹣2x）+5，
=2（x2﹣2x+1﹣1）+5，
=2（x﹣1）2+3
二次函数y=2x2﹣4x+5的对称轴为x=1，当x=1时，y有最小值为3．
故答案为1，1，3．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟悉配方法和顶点式是解题的关键．
2．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 y=﹣
x ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】压轴题．
【分析】由题意抛物线过点（0，0）和（40，0），抛物线的对称轴为x=20，根据待定系数法求出函数的解析式．
【解答】解：
因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴y=ax（x﹣40）①
又∵函数过点（20，16）代入①得
20a（20﹣40）=16，
解得a=﹣
．
∴抛物线的解析式为y=﹣
x；
故答案为y=﹣
x．
【点评】此题主要考查二次函数的基本性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．
3．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+aB．y=a（x﹣1）2C．y=a（1﹣x）2D．y=a（1+x）2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
【解答】解：
依题意，
得y=a（1+x）2．
故选D．
【点评】在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
4．把一段长1.6m的铁丝围成长方形ABCD，设宽为xm，面积为ym2．则当y最大时，x所取的值是（ ）
A．0.5B．0.4C．0.3D．0.6
【考点】二次函数的应用．
【分析】先根据周长表示出长方形的长，由长方形的面积公式可以求出表达式，根据函数的解析式的性质就可以求出结论．
【解答】解：
由题意，得
y=x（0.8﹣x），
y=﹣x2+0.8x，
=﹣（x﹣0.4）2+0.16
∴a=﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，当x=0.4时，y最大值．
故选B．
【点评】本题考查了矩形的周长的运用，面积的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
二、典例精析
8．（2006•长春）用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示．
（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】
（1）由图象知当x=1时，y最大，即透光面积最大；
（2）因为x=1时，面积最大，为1.5，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为1.5米．
【解答】解：
（1）由图象可知，当x=1时，窗户透光面积最大．
（2）因为最大透光面积是1.5平方米，
即矩形的最大面积是1.5平方米，此时x=1米，
根据矩形面积计算公式，另一边为1.5米．
所以窗框另一边长为1.5米．（5分）
【点评】从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法．
9．（2016秋•天门期末）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【考点】二次函数的应用．
【分析】
（1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由A、P两点坐标求解析式；
（2）求水池半径即时求当y=0时x的值．
【解答】解：
（1）设这条抛物线解析式为y=a（x+m）2+k
由题意知：
顶点A为（1，4），P为（0，3）
∴4=k，3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1．
所以这条抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．
（2）令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，
解得x1=3，x2=﹣1
所以若不计其它因素，水池的半径至少3米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
三、中考演练
10．二次函数y=x2+10x﹣5的最小值为 ﹣30 ．
【考点】二次函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】直接利用最值公式，把a、b、c的值正代入计算即可．
【解答】解：
∵a=1，
∴函数有最小值=
=
=﹣30，
故答案是﹣30．
【点评】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是熟记求最值公式．
11．某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：
s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行 600 米才能停止．
【考点】二次函数的应用．
【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
【解答】解：
∵﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
当t=﹣
=20时，
s最大值=
=600，
即飞机着陆后滑行600米才能停止．
故答案为：
600．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
12．矩形周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函数关系为 y=﹣x2+8x ．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】矩形周长为16cm，则两邻边之和为8cm，一边长为xcm，另一边长为（8﹣x）cm，根据矩形的，面积公式列函数式．
【解答】解：
因为矩形一边长为xcm，则另一边长为（8﹣x）cm，
依题意得：
矩形的面积y=x（8﹣x），
即y=﹣x2+8x．
故应填：
y=﹣x2+8x．
【点评】本题考查了用矩形边长表示矩形面积，列函数式的方法．
13．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=
gt2（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的应用；二次函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据s与t的函数关系，可判断二次函数，图象是抛物线；再根据s、t的实际意义，判断图象在第一象限．
【解答】解：
∵s=
gt2是二次函数的表达式，
∴二次函数的图象是一条抛物线．
又∵
g＞0，
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
图象是抛物线在第一象限的部分．
故选B．
【点评】应熟练掌握二次函数的图象有关性质：
二次函数的图象是一条抛物线；当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
14．将一张边长为30cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当x取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ ）
A．7B．6C．5D．4
【考点】展开图折叠成几何体．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：
长方体体积=（30﹣2x）2x，
将x=7代入得：
体积为（30﹣14）2×7=1792；
将x=6代入得：
体积为（30﹣12）2×6=1944；
将x=5代入得：
体积为（30﹣10）2×5=2000；
将x=4代入得：
体积为（30﹣8）2×4=1936，
则x=5时，体积最大．
故选C．
【点评】本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．
15．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
【解答】解：
A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、t=
，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C=3a，是正比例函数，错误；
D、S=
πR2，是二次函数，正确．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的定义．
16．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：
由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
【点评】该题考查了用表格的方式求函数的值的范围．
17．如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃．
（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（m2），求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】
（1）篱笆只有两边，且其和为18，设一边为x，则另一边为（18﹣x），根据公式表示面积；据实际意义，0＜x＜18；
（2）根据函数性质求最值，可用公式法或配方法．
【解答】解：
（1）由已知，矩形的另一边长为（18﹣x）m
则y=x（18﹣x）=﹣x2+18x
自变量x的取值范围是0＜x＜18．
（2）∵y=﹣x2+18x=﹣（x﹣9）2+81
∴当x=9时（0＜x＜18），苗圃的面积最大，最大面积是81m2．
又解：
∵a=﹣1＜0，y有最大值，
∴当x=﹣
时（0＜x＜18），
y最大值=
=81（m2）．
【点评】运用函数性质求最值解决实际问题时常需考虑自变量的取值范围；二次函数求最值常用配方法和公式法．
18．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣
x2+x+2的一部分，根据关系式回答：
（1）该同学的出手时最大高度是多少？
（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
（3）该同学的成绩是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】
（1）出手时的最大高度是x=0时y的值；
（2）运行过程中的最大高度是函数的最大值；
（3）成绩是当y=0时x的值．
【解答】解：
（1）在抛物线
中，
∵当x=0时，y=2，
∴该同学的出手最大高度是2米；（2分）
（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是
=5米；
（3）在抛物线
中，当y=0时，x=6±2
，
∴该同学的成绩是6+2
【点评】此题为基础题，重在考查应用性质解决简单实际问题．
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