届高考数学总复习教学案集合.docx

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届高考数学总复习教学案集合

第一节

集__合

[知识能否忆起]

一、元素与集合

1．集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性．

2．集合中元素与集合的关系：

元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.

3．常见集合的符号表示：

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

表示

N

N*或N＋

Z

Q

R

4．集合的表示法：

列举法、描述法、韦恩图．

二、集合间的基本关系

描述关系

文字语言

符号语言

集合间的基本关系

相等

集合A与集合B中的所有元素都相同

A＝B

子集

A中任意一元素均为B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有

AB或BA

空集

空集是任何集合的子集

∅⊆B

空集是任何非空集合的真子集

∅B（B≠∅）

三、集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

意义

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

[小题能否全取]

1．（·大纲全国卷）已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（　　）

A．A⊆B　　　　　　　　　B．C⊆B

C．D⊆CD．A⊆D

解析：

选B　选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.

2．（·浙江高考）设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．（1,4）B．（3,4）

C．（1,3）D．（1,2）∪（3,4）

解析：

选B　因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩（∁RB）＝{x|3＜x＜4}．

3．（教材习题改编）A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是（　　）

A．2B．2或3

C．1或3D．1或2

解析：

选D　验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．

4.

（·盐城模拟）如图，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．

解析：

阴影部分表示的集合为A∩C∩（∁UB）＝{2,8}．

答案：

{2,8}

5．（教材习题改编）已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝

，则∁UA＝________.

解析：

因为A＝

，

当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；

n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；

n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；

n≤－2时，x∉Z.

故A＝{－2,2,1，－1}，

又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．

答案：

{0}

　　1.正确理解集合的概念

研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f（x）}、{y|y＝f（x）}、{（x，y）|y＝f（x）}三者的不同．

2．注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：

A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．

元素与集合

典题导入

[例1]　

（1）（·新课标全国卷）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3B．6

C．8D．10

（2）已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则（m－n）＝________.

[自主解答]　

（1）∵B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，

∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.

∴B＝{（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）}，

∴B中所含元素的个数为10.

（2）由M＝N知

或

∴

或

故（m－n）2013＝－1或0.

[答案]　

（1）D　

（2）－1或0

由题悟法

1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（组）进行求解，要注意检验是否满足互异性．

以题试法

1．

（1）（·北京东城区模拟）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为（　　）

A．9B．8

C．7D．6

（2）已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.

解析：

（1）∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，

∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．

（2）∵－3∈A，

∴－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.

∴a＝－1或a＝－

.

当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，

与元素互异性矛盾，应舍去．

当a＝－

时，a－2＝－

，2a2＋5a＝－3.

∴a＝－

满足条件．

答案：

（1）B　

（2）－

集合间的基本关系

典题导入

[例2]　

（1）（·湖北高考）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

（2）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.

[自主解答]　

（1）由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

（2）由log2x≤2，得0

即A＝{x|0

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

[答案]　

（1）D　

（2）4

由题悟法

1．判断两集合的关系常有两种方法：

一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．

以题试法

2．（文）（·郑州模拟）已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m的值为（　　）

A．3B．2

C．2或3D．0或2或3

解析：

选D　当m＝0时，B＝∅⊆A；

当m≠0时，由B＝

⊆{2,3}可得

＝2或

＝3，

解得m＝3或m＝2，

综上可得实数m＝0或2或3.

（理）已知集合A＝{y|y＝

}，B＝{x||x－m|<2013}，若A∩B＝A，则m的取值范围是（　　）

A．[－2012,2013]B．（－2012,2013）

C．[－2013,2011]D．（－2013,2011）

解析：

选B　集合A表示函数y＝

的值域，由t＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤1，可得0≤y≤1，故A＝[0,1]．

集合B是不等式|x－m|<2013的解集，解之得m－2013

因为A∩B＝A，所以A⊆B.

如图，由数轴可得

解得－2012

集合的基本运算

典题导入

[例3]　

（1）（2011·江西高考）若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于（　　）

A．M∪N　　　　　　　　B．M∩N

C．（∁UM）∪（∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）

（2）（·安徽合肥质检）设集合A＝{x|x2＋2x－8<0}，B＝{x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x≥1}B．{x|－4

C．{x|－8

[自主解答]　

（1）∵M∪N＝{1,2,3,4}，

∴（∁UM）∩（∁UN）＝∁U（M∪N）＝{5,6}．

（2）∵x2＋2x－8<0，

∴－4

∴A＝{x|－4

又∵B＝{x|x<1}，

∴图中阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}．

[答案]　

（1）D　

（2）D

将例3

（1）中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M的个数．

解：

由M∩N＝N得M⊇N.

含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，

含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，

含有6个元素的集合M有1个．

因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．

由题悟法

1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．

2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．

以题试法

3．（·锦州模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg（x－1）}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A．{x|x>2，或x<0}B．{x|1

C．{x|1

解析：

选C　A＝{x|x（x－2）>0}＝{x|x>2，或x<0}，

B＝{x|y＝lg（x－1）}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，

∁UA＝{x|0≤x≤2}．

∴（∁UA）∩B＝{x|1

1．（·新课标全国卷）已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1

A．A⊂B　　　　　　　　　B．B⊂A

C．A＝BD．A∩B＝∅

解析：

选B　A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1

B＝{x|－1

所以B⊂A.

2．（·山西四校联考）已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是（　　）

A．2B．3

C．4D．8

解析：

选C　依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．

3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝（　　）

A．{3,0}B．{3,0,1}

C．{3,0,2}D．{3,0,1,2}

解析：

选B　因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P∪Q＝{3,0,1}．

4．（·辽宁高考）已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A．{5,8}B．{7,9}

C．{0,1,3}D．{2,4,6}

解析：

选B　因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{7,9}．

5．（·合肥质检）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足AB的实数a的一个值为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选D　当a＝0时，B＝{0}；

当a＝1时，B＝{－1,0,1}；

当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；

当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，

显然只有a＝3时满足条件．

6．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则∁U（A∩B）＝（　　）

A．（－∞，3）∪（5，＋∞）B．（－∞，3]∪[5，＋∞）

C．（－∞，3）∪[5，＋∞）D．（－∞，3]∪（5，＋∞）

解析：

选C　x2－7x＋10<0⇔（x－2）·（x－5）<0⇒2

故∁U（A∩B）＝（－∞，3）∪[5，＋∞）．

7．（·大纲全国卷）已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（　　）

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3

解析：

选B　法一：

∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝

.

由m＝

得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.

法二：

∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.

又当m＝3时，A＝{1,3，

}，B＝{1,3}，满足A∪B＝{1,3，

}＝A，故选B.

8．设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a

A．（－3，－1）B．[－3，－1]

C．（－∞，－3]∪（－1，＋∞）D．（－∞，－3）∪（－1，＋∞）

解析：

选A　在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，由图可得

解得－3

9．若集合U＝R，A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁UB）＝________.

解析：

由题意得∁UB＝（－∞，1），

又因为A＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，

于是A∩（∁UB）＝（－2,1）．

答案：

（－2,1）

10．（·武汉适应性训练）已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{1}，（∁UA）∩（∁UB）＝{2,4}，则B∩（∁UA）＝________.

解析：

依题意及韦恩图得，B∩（∁UA）＝{5,6}．

答案：

{5,6}

11．已知R是实数集，M＝

，N＝{y|y＝

}，则N∩（∁RM）＝________.

解析：

M＝{x|x<0，或x>2}，所以∁RM＝[0,2]，

又N＝[0，＋∞），所以N∩（∁RM）＝[0,2]．

答案：

[0,2]

12．（·吉林模拟）已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，则m＝________.

解析：

A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－

.

答案：

0,1，－

13．（·苏北四市调研）已知集合A＝{x|x2＋a≤（a＋1）x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a的取值范围是________．

解析：

不等式x2＋a≤（a＋1）x可化为（x－a）（x－1）≤0，由题意知不等式的解集为{x|1≤x≤a}．A中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为

＝28，所以7≤a<8，即实数a的取值范围是[7,8）．

答案：

[7,8）

14．（·安徽名校模拟）设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．

解析：

∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.

答案：

7

1．（·杭州十四中月考）若集合A＝

，B＝{－2，－1,1,2}，全集U＝R，则下列结论正确的是（　　）

A．A∩B＝{－1,1}B．（∁UA）∪B＝[－1,1]

C．A∪B＝（－2,2）D．（∁UA）∩B＝[－2,2]

解析：

选A　∵x∈

，∴y∈[－1,1]，

∴A∩B＝{－1,1}．

2．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且

∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg（36－x2）}，设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（　　）

A．3个B．4个

C．5个D．6个

解析：

选C　由36－x2>0，解得－6

依题意，可知若k是集合M的“酷元”是指k2与

都不属于集合M.显然k＝0,1都不是“酷元”．

若k＝2，则k2＝4；若k＝4，则

＝2.所以2与4不同时在集合M中，才能成为“酷元”．

显然3与5都是集合S中的“酷元”．

综上，若集合M中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：

（1）只选3与5，即M＝{3,5}；

（2）从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．

所以满足条件的集合M共有5个．

3．（·河北质检）已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2（x－1）<1}，若M∩（∁UN）＝{x|x＝1，或x≥3}，那么（　　）

A．a＝－1B．a≤1

C．a＝1D．a≥1

解析：

选A　由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1

4．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的序号是________．

解析：

①中，－4＋（－2）＝－6∉A，所以不正确；

②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；

③令A1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．

答案：

②

5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：

A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）∵A∩B＝[1,3]，∴

得m＝3.

（2）∁RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．

∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1.

∴m＞5或m＜－3.

即m的取值范围为（－∞，－3）∪（5，＋∞）．

6．（·衡水模拟）设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（1）求（∁IM）∩N；

（2）记集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．

解：

（1）∵M＝{x|（x＋3）2≤0}＝{－3}，

N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，

∴（∁IM）∩N＝{2}．

（2）A＝（∁IM）∩N＝{2}，

∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}，

当B＝∅时，a－1>5－a，∴a>3；

当B＝{2}时，

解得a＝3，

综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．

1．现有含三个元素的集合，既可以表示为

，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2013＋b2013＝________.

解析：

由已知得

＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2013＋b2013＝（－1）2013＝－1.

答案：

－1

2．集合S＝{a，b，c，d，e}，包含{a，b}的S的子集共有（　　）

A．2个B．3个

C．5个D．8个

解析：

选D　包含{a，b}的S的子集有：

{a，b}；{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}；{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}；{a，b，c，d，e}共8个．

3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．

解析：

由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x，Venn图如图所示，

∴（20－x）＋6＋5＋4＋（9－x）＋x＝36，解得x＝8.

答案：

8

4．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0}，B＝{x|a≤x≤4a－9}，若A，B中至少有一个不是空集，则a的取值范围是________．

解析：

若A，B全为空集，则实数a满足4－4a<0且a>4a－9，即1

答案：

（－∞，1]∪[3，＋∞）

5．（·重庆高考）设平面点集A＝（x，y）（y－x）·

，B＝{（x，y）|（x－1）2＋（y－1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为（　　）

A.

πB.

π

C.

πD.

解析：

选D　A∩B表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，SC＝SF，SD＝SE.因此A∩B所表示的平面图形的面积是圆面积的一半，即为

.