高考数学 考点单元复习教案18Word文档下载推荐.docx
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；
准线方程：
（4）离心率：
（与的比），，越接近1，椭圆越；
越接近0，椭圆越接近于．
（5）焦半径公式：
设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则，=。
4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：
（1）定义：
r1＋r2＝2a
（2）余弦定理：
＋－2r1r2cos＝（2c）2
（3）面积：
＝r1r2sin＝·
2c|y0|（其中P（）为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝）
典型例题
变式训练2：
已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：
以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.
∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r
∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知
|OA|=
故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.
评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。
例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（3）求的最大值和最小值．
解：
（1）由抛物线方程，得焦点．
设椭圆的方程：
．
解方程组得C（-1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，，∴．…………2分
∴又，
因此，，解得并推得．
故椭圆的方程为．…………4分
（2），
圆过点O、，
圆心M在直线上．
设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，
∴
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
（3）由
①若垂直于轴，则，
，
…………………………………………9分
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由得
，方程有两个不等的实数根．
设，.
………………………………11分
=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
变式训练3：
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1,0）、B（1,0）,动点C满足条件：
△ABC的周长为2＋2
.记动点C的轨迹为曲线W.
（1）求W的方程；
（2）经过点（0,
）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，
求k的取值范围；
（3）已知点M（
，0），N（0,1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？
如果存在，求出k的值；
如果不存在，请说明理由.
（Ⅰ）设C（x,y）,
∵,,
∴,
∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2
的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴.∴.
∴W:
.…
（2）设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
整理，得.①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或.
∴满足条件的k的取值范围为
（3）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则＝（x1+x2，y1+y2）,
由①得.②
又③
因为，，所以.………
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线.
例4.已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.
（1）求椭圆W的方程；
（2）求证：
（）；
（3）求面积的最大值.
（1）设椭圆W的方程为，由题意可知
解得，，，
所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分
（2）解法1：
因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为．
得
.
由直线与椭圆W交于、两点，可知
，解得．
设点，的坐标分别为，,
则，，，．
因为，，
所以，.
又因为
所以．……………………………………………………………10分
解法2：
因为左准线方程为，所以点坐标为.
于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,
则点的坐标为，，．
由椭圆的第二定义可得
所以，，三点共线，即．…………………………………10分
（3）由题意知
当且仅当时“=”成立，
所以面积的最大值为
．
变式训练4：
设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？
若存在，求直线l的方程；
若不存在，请说明理由.
（1）易知
设P（x，y），则
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时，设交点C，CD的中点为R，
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
小结归纳
1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．
2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：
定型——确定曲线形状；
定位——确定焦点位置；
定量——由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．
3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；
椭圆的焦半径的取值范围是．
4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．
5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．
第2课时双曲线
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×
2（m），=25×
2（m）.设双曲线的方程为（a>
0,b>
0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以
解方程组
由方程
（2）得（负值舍去）.代入方程
（1）得化简得19b2+275b－18150=0（3）
解方程（3）得b≈25（m）.所以所求双曲线方程为：
例3.中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．
取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以B（），．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点（1，0）除外，即轨迹方程为（）．
已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·
kPN的值.
（1）解：
依题意有：
可得双曲线方程为
（2）解：
设
所以
例4.设双曲线C：
的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若
（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
（1）由题，得，设
由
…………①
又在双曲线上，则…………②
联立①、②，解得
由题意，
∴点T的坐标为（2，0）…………3分
（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）
由A1、P、M三点共线，得
…………③…………1分
由A2、Q、M三点共线，得
…………④…………1分
联立③、④，解得…………1分
∵在双曲线上，
∴轨迹E的方程为
…………1分
（3）容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为
中，得
设
则由根与系数的关系，得……⑤
……⑥…………2分
∵∴有
将⑤式平方除以⑥式，得
∵
又
故
令∴，即
而，∴
）已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.
（1）求双曲线C的标准方程
（2）当直线l的斜率为何值时，。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。
解
（1）设双曲线C的方程为
①
②②
又P（6,6）在双曲线C上，
由①、②解得
所以双曲线C的方程为。
（2）由双曲线C的方程可得
所以△A1PA2的重点G（2,2）
设直线l的方程为代入C的方程，整理得
③③②
整理得
④②
解得
由③，可得
⑤③②
由④、⑤，得
5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．
第3课时抛物线
1．抛物线定义：
平面内到和距离的点的轨迹叫抛物线，叫抛物线的焦点，叫做抛物线的准线（注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线）．
2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程
①，焦点为，准线为．
②，焦点为，准线为．
③，焦点为，准线为．
④，焦点为，准线为．
3．抛物线的几何性质：
对进行讨论．
①点的范围：
、．
②对称性：
抛物线关于轴对称．
③离心率．
④焦半径公式：
设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则．
⑤焦点弦长公式：
设AB是过抛物线焦点的一条弦（焦点弦）
i）若，，则＝，．
ii）若AB所在直线的倾斜角为（则＝
特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝．
iii）S△AOB＝（表示成P与θ的关系式）．
iv）为定值，且等于．
例1.已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值．
设抛物线方程为，则焦点是F
∵点A（－3，n）在抛物线上，且|AF|＝5
故解得P＝4，
故所求抛物线方程为
变式训练1：
求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．
因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或∵，∴p＝12
故抛物线方程为或
例2.已知抛物线C：
的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
（1）若，求直线l的方程．
（2）求的最小值．
（1）解法一：
设直线的方程为：
代入整理得，
则是上述关于的方程的两个不同实根，所以
根据抛物线的定义知：
|AB|＝
＝
若，则
即直线有两条，其方程分别为：
解法二：
由抛物线的焦点弦长公式
|AB|＝（θ为AB的倾斜角）易知sinθ＝±
即直线AB的斜率k＝tanθ＝±
故所求直线方程为：
或.
（2）由
（1）知，
当且仅当时，|AB|有最小值4．
由
（1）知|AB|＝＝
∴|AB|min＝4（此时sinθ＝1，θ＝90°
）
过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）
A．有且仅有一条B．有且仅有两条
C．有无数条D．不存在
B
例3.若A（3，2），F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标．
抛物线的准线方程为
过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝|PF|，∴|PF|＋|PA|＝|PA|＋|PQ|
要使|PA|＋|PQ|最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点
从而|PA|＋|PF|的最小值为
此时P的坐标为（2，2）
1.（xx·
辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.
答案
一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是。
例4.设A（x1，y1），B（x2，y2），两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
（1）当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？
证明你的结论？
（2）当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围．
（1）F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于
y1＝y2（x1＋x2）（x1－x2）＝0
∵x1≠x2∴x1＋x2＝0
即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．
（2）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m
所以x1、x2满足方程：
2x2＋x－m＝0
且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－
设AB之中点为N（x0，y0），则x0＝
y0＝－x0＋m＝＋m
由N∈l得：
＋m＝－＋b
于是b＝＋m＞－＝
即l在y轴上截距的取值范围是（，＋）
正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积．
设C、D的坐标分别为（y12，y1），（y22，y2）（y1>
y2），则直线CD的斜率为1．
∴＝＝1，即y1＋y2＝1①
又|CD|＝＝
＝（y1－y2）
|BC|＝（y12－y1＋4恒正）
由|CD|＝|BC|，有（y1－y2）＝②
解①、②得y1＝2或y1＝3
当y1＝2时，有|BC|＝3，此时SABCD＝18
当y1＝3时，有|BC|＝5，此时SABCD＝50
∴正方形的面积为18或50．
1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．
2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．
3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．
4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．
第4课时直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>
0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<
0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）
2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）,直线AB的斜率为k，则：
｜AB｜=————————或：
—————————．
利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．
当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．
3．中点弦问题：
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M（x0，y0）为AB的中点，则
两式相减可得
即．
对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．
例1.直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．
（1）当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？
当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？
消去y
（1）联立（3－a2）x2－2ax－2＝0①
显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．
若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：
a∈（－，－）∪（，）
若A、B分别在双曲线的两支上，则有：
a∈（－，）
（2）若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2）由于x1＋x2＝，x1x2＝．
∴y1y2＝（ax1＋1）（ax2＋1）＝a（x1＋x2）＋a2x1x2＋1
＝a2·
＋a·
＋1＝1
∵OA⊥OB∴x1x2＋y1y2＝0∴＋1a＝±
1
此时△＞0，符合要求．
已知直线y＝（a＋1）x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值.
联立方程为
（1）当a＝0时，此时方程组恰有一组解
（2）当a≠0时，消去x得
①若＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解
②若≠0，即a≠－1，令△＝0
得1＋，解得a＝－
此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．
例2.已知双曲线方程2x2－y2＝2.
（1）求以A（2,1）为中点的双曲线的弦所在直线方程；
（2）过点B（1,1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？
这样的直线l如果存在，求出它的方程；
如果不存在，说明理由．
（1）即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是：
∴∴
所求中点弦所在直线为，即．
（2）可假定直线存在，而求出的方程为，即
方法同
（1），联立方程，消去y,得
然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在．
若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）
A．2B．－2
C．D．－
D
例3.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
解法一：
设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则
∵点在直线上，∴
∴，代入，得，即
设，关于对称，中点，则
相减得：
∴，则
∵在抛物线内部，∴
化简而得，即，解得．
设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则.
8
例4.已知椭圆＝1（a为常数，且a>
1），向量＝（1,t）（t>
0），过点A（－a,0）且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）．
（1）求t表示△ABC的面积S（t）；
（2）若a＝2，t∈[,1]，求S（t）的最大值．
（1）直线AB的方程为：
y＝t（x＋a），
由得
∴y＝0或y＝
∴点B的纵坐标为
∴S（t）＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·
yB
（2）当a＝2时，S（t）＝＝
∵t∈[，1]，∴4t＋≥2＝4
当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立.
∴S（t）＝≤＝2
即S（t）的最大值S（t）max＝2
设椭圆C：
的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：
相切，求椭圆C的方程.
⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）
A（0，b）知
…2分
设，得……
因为点P在椭圆上，所以
……
整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故椭圆的离心率e＝
⑵由⑴知
于是F（－
a，0），Q
△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=
|FQ|=a………
所以，解得a=2，∴c=1，b=，
所求椭圆方程为
1．判断直线与圆锥
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