第11讲 二次函数的实际问题尖子班.docx

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第11讲二次函数的实际问题尖子班

第11讲二次函数的实际问题

知识点1二次函数的实际问题之利润问题

1.利润、售价、进价之间的关系：

利润=售价-进价。

2.总利润、单价利润、数量之间的关系：

总利润=单件利润×数量。

【典例】

【题干】某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）

A.y=（x﹣40）（500﹣10x）B.y=（x﹣40）（10x﹣500）

C.y=（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]D.y=（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]

2.某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：

①若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=﹣

x+150，成本为20元/件，月利润为W内（元）；②若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

x2元的附加费，月利润为W外（元）．

（1）若只在国内销售，当x=1000（件）时，y=　　（元/件）；

（2）分别求出W内、W外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．

【方法总结】

解这类题方法是：

（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；

（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式,把二次函数化成顶点式来求题目中的最大值。

【随堂练习】

1．（2018•锦州）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价x（元）

…

30

40

50

…

每天的销售量y（个）

100

80

60

…

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

2．（2018•湖北）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．

（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；

（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？

最大利润为多少？

知识点2：

二次函数的实际问题之轨迹问题

1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中。

2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件。

3.利用待定系数法求二次函数的解析式。

4.运用已求二次函数的解析式解决问题。

【典例】

1.某幢建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面

m，则水流落地点B离墙的距离OB是________

2.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：

在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

【方法总结】

1.一般地，抛物线

的顶点就是抛物线的最低（高）点，当

时，二次函数

有最小（大）值

2.利用函数的观点来认识现实生活中的模型，可以用二次函数的最值来解决实际问题

【随堂练习】

1．（2018•滨州）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：

m）与飞行时间x（单位：

s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？

最大高度是多少？

知识点3二次函数的实际问题之面积问题

1.二次函数的应用中动点产生的图形面积问题；

2.二次函数的最值：

一般地，抛物线

的顶点就是抛物线的最低（高）点，当

时，二次函数

有最小（大）值

；

当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定；

【典例】

1.拟建中的一个温室的平面图如图所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x（cm），种植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为　　，当x=　　时，种植面积最大=　　m2．

2.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y（cm²）是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S（cm²），写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．

4.如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路，这时草坪面积为ym2．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【方法总结】

根据图形的形状列出函数的解析式，再确定自变量的取值范围，根据二次函数的顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）；

【随堂练习】

1．（2018•凉山州模拟）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm．

（1）用含x的代数式表示出口的宽度；

（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？

若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．

（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2．

知识点4二次函数的实际问题之拱桥问题

喷出的水柱，投篮时篮球的运动路线，桥拱等，这些图形有什么共同特点？

1.从题目本身的哪些条件，你能联想到用二次函数解决问题？

（形状）

2.求水面宽度增加多少，就是求解什么数学问题？

（线段长的关系）

在明确上述两个问题后，让学生尝试着建立平面直角坐标系，并求出这条抛物线表示的函数关系式。

【典例】

1.如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_____m.

2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=﹣

x2+4表示．

（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？

（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？

（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？

为什么？

【方法总结】

解题基本步骤：

（1）建立平面直角坐标系，把图象放到平面直角坐标系中函数图象的解析式；

（2）函数图象的解析式；

（3）确定自变量的取值范围；

（4）根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）；

【随堂练习】

1．（2018•安徽模拟）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？

2．（2018•宝山区二模）有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如果水面BC上升3米（即OA=3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长．

综合运用：

二次函数的实际应用

1.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

（1）用x的代数式表示t为：

t=　　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：

y2=　　；当　　＜x＜　　时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？

最大值为多少？

2.在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，

，动点P从点C出发沿C求D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。

（1）求AD的长；

（2）设CP=

，问当

为何值时，

的面积达到最大？

求出最大值。

3.一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出．

（1）用含x的代数式填空：

①x天后每斤海鲜的市场价为　　元；

②x天后死去的海鲜共有　　斤；死去的海鲜的销售总额为　　元；

③x天后活着的海鲜还有　　斤；

（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式；

（3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式．

4.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

5.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：

（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？

（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？

（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．

①用含a的代数式表示k；

②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到点A，求a的值．

6.为进一步缓解城市交通压力，湖州推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：

00点时的存量，x=2时的y值表示9：

00点时的存量…以此类推，他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．

根据所给图表信息，解决下列问题：

（1）m=　　，解释m的实际意义：

　　；

（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；

（3）已知10：

00﹣11：

00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．