北师大数学五年级下册 长方体.docx
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北师大数学五年级下册长方体
长方体的认识
6个角
长方体
12条棱（长、宽、高）
6个面
正方体
12条棱（棱长）
长方体的表面积
长方体表面积公式：
（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
一、复习导入
说一说，怎样求长方体、正方体的表面积。
二、探究活动
1、一个棱长为50厘米的正方体纸箱放在墙角处，有几个面露在外面？
露在外面的面积是多少？
2、4个棱长喂0厘米的正方体纸箱放在墙角处，有几个面露在外面？
露在外面的面积是多少？
三、找规律
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
露在外面面积
露在外面的面
每增加2个小正方体，露在外面的面数就增加5个。
第二单元《长方体和正方体》知识点
1、两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。
2、
形体
相同点
不同点
关系
面
棱
顶点
面的形状
面的大小
棱长
长方体
6
12
8
一般都是长方形，有时也有两个相对的面是正方形。
相对的面的面积相等
平行的四条棱长度
相等
正方体是特殊的长
方体
正方体
6
12
8
六个面都是正方形
六个面的面积相等
六条棱长都相等
长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。
长方体的12条棱有3组，每组的四条棱长度相等。
长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4
长方体放桌面上，最多只能看到3个面。
3、正方体的展开
1）．“141型”，中间一行4个图：
作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。
2）．“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。
见上图
3）．“222”型，两行只能有1个正方形相连。
4）．“33”型，两行只能有1个正方形相连。
4、长方体的表面积就是长方体六个面的总面积。
由于相对的面完全相同，所以可以先求出前面、后面和下面三个面的面积，再乘以2，就可以求出表面积了。
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
=（长×宽+长×高+宽×高）×2
正方体的六个面完全相同，所以计算时只要算出其中的一个面，再乘6就可以了。
正方体的表面积=棱长×棱长×6
5、在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。
在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。
一个抽屉有5个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。
所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5个面的面积就可以了。
通风管顾名思义是通风用的，没有底面。
所以只要算四个侧面就可以了。
（1）具有六个面的长方体、正方体物品：
油箱、罐头盒、纸箱子等；
（2）具有五个面的长方体、正方体物品：
水池、鱼缸等；
（3）具有四个面的长方体、正方体物品：
水管、烟囱等。
6、体积和容积。
（1）体积：
物体所占空间的大小
（2）容积：
容器所能容纳物体的体积
像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。
一个物体的体积要比一个物体的容积大，因为体积还包括自身材料的体积。
7、体积（容积）单位。
（1）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。
单位名称
意义
相当的实物
1立方厘米
棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米
约为一个手指尖的大小
1立方分米
棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米
约为一个粉笔盒的大小
1立方米
棱长是1米的正方体，体积是1立方米
用3根1米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈定的空间的大小
体积与容积单位之间的关系：
1立方厘米=1毫升1立方分米=1升
升和毫升之间的进率是1000，因为1升是1立方分米，1毫升是1立方厘米。
升和毫升相比，升是高级单位，毫升是低级单位，把高级单位的数量换算成低级单位的数量，都要乘相应的进率。
8、因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的，它的体积=长×宽×高。
正方体是特殊的长方体，长=宽=高，因而它的体积是由棱长决定的，体积=棱长×棱长×棱长。
因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积=长×宽；正方体的底面积=棱长×棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的，它们的体积=底面积×高。
（1）长方体的体积=长×宽×高
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长
（3）长方体的体积=底面积×高
9、求这根长方体木料的体积要用“底面积×高”，从中间截成两段，表面积实质上增加了两个底面，如图。
两个面的面积和是12平方分米，一个面的面积是6平方分米。
本题求体积用的公式是“底面积×高”，也可以说用的是“横截面积×长”。
另外对于把一个长方体截成两段，截了一次，增加了两个面，如果是截成三段，就是截了两次，增加了四个面。
也就是说每截一次，增加两个面。
10、综合运用体积单位、长度单位的知识。
将一个大的形体分成一个小的形体。
将小正方体紧紧地排成一排，能排多少米，实际上就是将这些小正方体的棱长加起来，看有多长。
棱长是1米的正方体，它的体积是1立方米，棱长是1分米的正方体，它的体积是1立方分米，1立方米=1000立方分米，所以能分成1000个。
顺次紧紧地排成一排，那么就能排成1000分米，1000分米=100米。
一、填空
1.长方体和正方体都有（）个面，（）个顶点，（）条棱。
2.相交于一个顶点的（）条棱的长度分别叫做长方体的（）、（）、（）。
3.在一个长方体中，（）的面完全相同，（）的棱长度相等。
4.正方体的6个面都是（）形，所有的棱长度都（）。
5.物体所占（）叫做物体的体积。
6.长方体或者正方体（），叫做它的表面积。
7.箱子、油箱、仓库等（），叫做它的容积。
8.常用的体积单位有（）、（）、（）。
9.长方体体积计算的字母公式是（）。
10.正方体体积计算的字母公式是（）。
11.4.5立方米=（）立方分米2300立方厘米=（）立方分米
8000毫升=（）立方分米=（）升0.56立方分米=（）毫升
6700毫升=（）升（）毫升2.8立方分米=（）升=（）毫升
二、判断：
1.长方体的6个面一定是长方体。
（）
2.棱长为6厘米的正方体，它的表面积和体积相等。
（）
3.有三条棱长相等的长方体叫做正方体。
（）
4.一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍。
（）
5.两个长方体的体积相等，它们的表面积也一定相等。
（）
6.至少有4个小正方体才能拼成一个大正方体。
（）
三、应用题
1. 把12升的水注入一个底面长30厘米、宽25厘米的长方体容器中，容器中的水面高多少厘米？
2. 一根方钢，长10厘米，它的横截面是边长1.5厘米的正方形，每立方厘米钢重7.8克。
这根方钢重多少克？
3. 挖一个游泳池长50米，宽25米，深2米。
挖出的泥沙碎石共多少立方米？
如果每立方米沙石重1.6吨，这些沙石共重多少吨？
用10辆载重4吨的汽车把这些沙石运走，要运多少次才能运完？
4.一根长方体的铁条长5分米，它的横截面是个正方形，边长是0.2分米，这根铁条的表面积是多少平方分米？
如果从中间切开成两根相等的长方体铁条，每根铁条的表面积又是多少？
5.一种长3米的长方体通气管的横截面是长2分米，宽1.5分米的长方形，制作10根这样的通气管至少需要多少平方米？
6.一根长方体方钢，横截面是边长5厘米的正方形，方钢长2.4米，如果每立方分米的钢重7.8千克，这根方钢重多少千克？
7.一块长12厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体铝锭，与另一块棱长3厘米的正方体铝锭，正好熔铸成一个底面是边长10厘米的正方形的长方体铝块。
熔成的铝块的高是多少厘米？
8.一间教室长9米，宽6米，高3米。
现在要用涂料粉刷它的四壁和顶棚。
如果门窗与白板共24平方米，求要粉刷的面积？
9.制作一个长6.5分米，宽4.2分米，高2.6分米的长方体油箱，至少需要铁皮多少平方分米？
如果每升汽油重0.73千克，这个油箱最多能装汽油多少千克？
（铁皮厚度不计，得数保留整千克）
10.永丰制衣厂计划25天制作1575件成衣，实际每天比计划多制作12件。
照这样计算，完成原定生产任务可少用多少天？
11.一块长方体铁皮，长45厘米，宽30厘米。
像右图这样从四个角切掉边长为0.5分米的正方形，然后做成一个无盖盒子。
这个盒子的容积有多少毫升？
应用题：
1.一根铁丝长60厘米，做一个长7厘米，宽3厘米的长方体框架，长多少分米？
2.做一个方体框架，地面周长30厘米，高10厘米，用铁丝多长？
3.学校大门前有5级台阶，每级台阶长6米，宽0.5米，高0.2米，这些台阶占地多少平方米？
给它贴上地砖，至少要多少平方米的地砖？
4.一个长方体的通风管长2米，横截面是边长5分米的正方体，10节这样的通风管要多少铁片？
5一个长方体长20分米，横截面是周长20分米的正方形，求它的表面积和体积？
6，一个地面是正方形的长方体纸盒，它的侧面展开正好是一个边长为6分米的正方形，做这个纸盒至少要多少纸板？
7.一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体，表面积比原来减少56平方厘米，原来长方体的表面积是多少？
体积是多少？
8将一块厚1分米，宽3分米的长方体木料沿水平方向切成上下两个小长方体，如果这两个小长方体的表面积比原来增加180平方分米，求原来木料的表面积？
一、填空
1.长方体或者正方体（）叫做它的表面积。
2.一个正方体的棱长是10厘米，它的表面积是（）平方厘米。
3.一个长方体长4分米，宽3分米，高2分米，它的表面积是（）平方分米。
4.正方体的棱长之和是60分米，它的表面积是（）平方分米。
5.一个正方体棱长扩大5倍，表面积扩大（）倍，棱长和扩大（）倍。
二、选择题。
1.用两个棱长是1分米的正方体小木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（）。
A.增加了B.减少了C.没有变
2.如果把一个棱长是10厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和比原来的正方体表面积（）。
A.增加了B.减少了C.没有变化
3.正方体的棱长扩大2倍，它的表面积就（）。
A.扩大2倍B.扩大4倍C.扩大6倍
4.大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长之和是小正方体的（）
A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍
5.把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（）。
A.等于大正方体的表面积
B.等于大正方体表面积的2倍
C.等于大正方体表面积的3倍
三、一个房间长5米，宽3米，高2.8米，现需油漆四壁和天花板，扣除门窗的面积4.5平方米，求油漆的总面积有多大？
四、要做一种管口周长40厘米的通气管子10根，管子长2米，至少需要铁皮多少平方米？
五、一个正方体的表面积是54平方分米，这个正方体所有棱长之和是多少？
六、有一个长方体木箱，长0.7米，宽0.5米，高0.3米。
怎样放，这个木箱占地面积最小是多少平方米？
数学练习题
1．填空
（l）长方体或正方体（）个面的总面积，叫做它们的表面积。
（2）计算正方体的表面积可以用（）×（）×（）的方法计算。
这是因为正方体有（）个面，每个面都是（）形，而且（）都相等。
（3）一个正方体的表面积是36平方厘米，把它放在桌子上占的面积是（）平方厘米。
（4）一个长方体长5厘米，宽5厘米，高4厘米，这个长方体有2个面是（）形，有（）个面的面积相等，长方体的表面积是（）。
（5）正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大（）倍。
2．判断
（l）一个正方体的表面积是这个正方体一个面的面积的6倍。
（）
（2）把两个表面积为12平方分米的完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积为24平方分米。
（）
（3）把一个正方体锯成两个长方体，它的表面积增加了6平方厘米，那么原正方体的表面积是18平方厘米。
（）
（4）正方体有6个面,每个面都是正方形。
（）
（5）长方体的6个面中,最多只能有4个面是正方形。
（）
（6）1.23=1.2×3（）
（7）棱长是6分米的正方体,它的表面积与体积相等。
（）
（8）把两个棱长是3分米的正方体拼成一个长方体,表面积是90平方分米（）
三、解决问题
1．一个正方体棱长0．8分米，它的表面积是多少平方分米？
2．一个长方体长、宽、高是8厘米、7厘米、5厘米，求它的表面积。
3．有一个长方体的糖盒长和宽都是12厘米，高10厘米，在盒的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是多少？
4．用铁皮焊15个底面是边长25厘米的正方形，高4分米的长方体无盖水桶，至少要用多少铁皮？
5．一个小食堂长10米，宽8米，高5米，要粉刷四壁和顶棚。
扣除门窗面积18．4平方米，平均每平方米用石灰0．2千克，一共用石灰多少千克？
6．用三个棱长为8厘米的正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？
体积是多少？
一、填空题
①②③④⑤
1、下列图形中（）号是长方体，（）号是正方体。
在长方体与正方体中两个面相交的边叫做（），三条棱相交的点叫做（）。
2、长方体有（）个面，（）条棱，（）个顶点。
相对的棱的长度（），相对的面完全（）。
3、一个长方体的长5厘米，宽4厘米，高3厘米，它的棱长总和是（）厘米。
4、一个正方体的棱长是a，棱长之和是（）。
5、一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一条棱长是（）厘米，一个面的面积是（）平方厘米。
6、长方体的上面和（），前面和（），左面和（），都是相对的两个面，相对面的面积（）。
7、一个正方体的底面周长是24，正方体的表面积是（）。
8、一个正方体的棱长总和是36厘米，它的表面积是（）。
9、把棱长8厘米的正方体木块分割成棱长2厘米的小正方体木块，可以分割成（）块。
10、需要（）个棱长为3厘米的正方体，才能组成一个棱长为9厘米的正方体。
二、判断题
1、正方体的每一个面都有4条棱，正方体有6个面，所以正方体有24条棱。
（）
2、如果长方体有两个相对的面是正方形，那么其余的四个面的面积都相等。
（）
3、棱长是1分米的正方体纸盒放在桌子上，纸盒所占桌面的面积是1平方分米。
（）
4、把一个长方体木料锯成两个长方体，一共增加了4个面。
（）
三、看图完成下面各题
1、在下面的8个面中找出6个面，使
它们能围成右面的长方体。
这6个面5222
的编号分别是（）5
3
D
C
B
2
35
53
35
2
3
3
H
G
E
25
F
223
5
52
2、下图中能围成正方体的是（）号图形。
①②③④
3、将4个棱长都是2厘米的正方体如下图摆放，露在外面的面积是多少？
四、计算表面积（单位：
厘米）
2
65
5
五、解决问题
1、用棱长1厘米的正方体木块摆成一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，共需要用多少块木块？
2、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，那么正方体的棱长是多少？
3、一个长方体的棱长之和是60厘米，从一个顶点引出的三条棱长的和是多少？
4、做一个不带盖的长方体水桶，底面是边长为3分米的正方形，高是4分米，问至少需要多少平方分米的铁皮？
5、有一房间，长5米，宽4米，高3.5米，要粉刷房子的顶面和四周墙壁，除去门窗的面积是18平方米，要粉刷的面积是多少平方米？
6、把一个棱长为8厘米的正方体切成两个长方体，切成的这两个长方体的表面积的总和是多少？
7、两个棱长是5厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？
例题1一个零件形状大小如下图：
算一算，它的体积是多少立方厘米？
表面积是多少平方厘米？
（单位：
厘米）
分析
（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：
你还能用别的方法来计算它的体积吗？
练习一
1，一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
2，把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3，有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
例题2有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？
（单位：
厘米）
分析
（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
练习二
1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。
（单位：
厘米）。
2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？
例题3一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米？
分析一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。
正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
练习三
1，把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
2，一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
3，把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？
例题4把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。
分析要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。
练习四
1，一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
2，一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。
3，有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？
用图画出来。
例题5一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少？
分析长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。
知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习五
1，有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
2，一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。
3，一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，求正方体体积。
一、填空题
1、在电冰箱、微波炉和文具盒三种物体中，（）占的空间最大，（）占的空间最小，（）的体积最大。
2、棱长1厘米的正方体的体积是（）。
3、一块橡皮的体积约是3（），运货集装箱的体积约是40（）。
4、在括号里填上适当的单位名称
旗杆高15（）教室面积80（）
油箱容积16（）一瓶墨水60（）
5、一个正方体的棱长总和是48厘米，它的体积是（）。
6、一个长方体的长5米，宽3米，高4米，它的体积是（）立方米。
7、把棱2厘米的正方体切成棱长1厘米的小正方体，可以切成（）块。
8、3.5立方米=（）立方分米470立方厘米=（）立方分米
0.8立方米=（）立方厘米60立方分米=（）立方米
4300毫升=（）升35立方分米=（）升
1200平方厘米=（）平方分米=（）平方米
8.25立方米=（）立方分米=（）立方厘米
4.8升=（）立方分米=（）立方厘米
二、判断题
1、3立方米比2平方米大。
（）
2、5立方米40立方分米=540立方分米。
（）
3、棱长是6厘米的正方体的表面积和它的体积是相等的。
4、两个小正方体拼成一个长方体，长方体的体积等于两个小正方体的体积之和。
（）
5、相邻的两个体积单位间的进率是1000。
（）
三、选择题
1、一个冰箱的容积是210（）。
A.平方分米B.立方分米C.立方米
2、长方体（不含正方体）的6个面中，最多有（）个正方形。
A.2B.4C.6
3、至少要用（）个同样的正方体才能拼成一个新的正方体。
A.8B.16C.4
4、把正方体的棱长扩大4倍，它的体积就扩大（）。
A.4倍B.16倍C.64倍
5、有一个底面积是4平方米的长方体，它的体
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