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微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例
微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：
1•利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型
这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件一一入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2•从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线
yy（x）上某点的切线斜率即函数yy（x）在该点的导数；力学中的牛顿第二运
动定律：
Fma，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数
等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
对于高空下落的物体，
我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻力
系数为k，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时
刻t时物体的下落速度为v，初始条件：
V（o）0.由牛顿第二运动定律建立其微
分方程模型：
m-mgkv2
dt
求解模型可得：
、mg（exp[2t㈣1
\m
•k（exp[2t1）
由上式可知，当t时，物体具有极限速度：
limv皿t:
k,
其中，阻力系数ks，为与物体形状有关的常数，为介质密度，s为物
体在地面上的投影面积。
根据极限速度求解式子，在m„一定时，要求落地速度w不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来
3•利用导数的定义建立微分方程模型
导数是微积分中的一个重要概念，其定义为
f（xx）f（x）ryf（x）limlim-，
x0Xx0X
商式一y表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化X
率，因而其极限值就是函数的变化率。
函数在某点的导数，就是函数在该点的变
化率。
由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率
是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。
这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。
例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量
成正比。
我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t的函数，
由裂变规律，我们可以建立微分方程模型
dR।-kRdt
期中k是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。
求解该模型，我们解得：
RCe"，其中c是由初始条件确定的常数。
从这个关系式出发，我们就可以测
定某文物的绝对年龄。
（参考碳定年代法）
另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即
函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。
4•利用微元法建立微分方程模型
一般的，如果某一实际问题中所求的变量P符合下列条件：
P是与一个变量t的变化区间Ea,b］有关的量；p对于区间［a,b］具有可加性；部分量p,的近似值可表示为f（i）ti。
那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：
首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t为自变量，并确定其变化区间［a,b］；在区间［a,b］中随便选取一个任意小的区间并记作［t,tdt］，求出相应于这个区间的部分量p的近似值。
如果p能近似的标示为：
a,b］上的一个连续函数在t处的值f⑴与出的乘积，我们就把f（t）dt称为量P的微元且记作dp.这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：
dpf（t）dt.
对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。
例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体
体积、空间立体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心;这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。
5-熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。
多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。
案例1设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%（mg/ml）.现有一起交通事故，在事故发生3个小时后，测得司机血液中酒精含量是56%（mg/ml）,又过两个小时后，测得其酒精含量降为40%（mg/ml）,试判断：
事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定？
解模型建立
设X（t）为时刻t的血液中酒精的浓度，则在时间间隔[t,tt],酒精浓度的改
x（tt）x（t）kx（t）t
其中k0为比例常数，式前负号表示浓度随时间的推移是递减的，两边除以t,
并令to,则得到
kx,
dxdt
且满足x（3）56,x（5）40以及x（0）x=.
模型求解
容易求得通解为x（t）ce3代入X（O）
X一得到
x（t）
kt
则X。
x（0）为所求,又由x（3）
56,x（5）40,代入x（0）X。
可得
5k
3k*
x°e
e
xoe
5睛6
40
k0.17
40
将k0.17代入得xoe3。
」7
56xo
30.17
56e93.25>80.
故事故发生时，司机血液中的酒精浓度已超出规定.
案例2在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29G当时环境温度是
2/C.一小时后尸体温度下降到27W,若人的正常体温是37吧,估计死者的死亡时间.
解运用牛顿冷却定律T仃outT）,得到它的通解为
TTout仃oTout）eJ
这里T。
是当t0时尸体的温度，也就是所求的死亡时间时尸体的温度，将题目提供的参数代入
21（3721）et29
21（3721）e（t1）27
解得
进一步得
0.2877,t
2.409（h）.
这时求得的t是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间
，因此反推回去可
推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚10:
35.
案例3建立铅球掷远模型,不考虑阻力，设铅球初速度为V,出手高度为h，
出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与v,h,
的关系式，并求v,h一定的
条件下求最佳出手角度.
解在图5-1坐标下铅球运动方程为
x0，ygx（0）0，y（0）h，
x（0）vcos，y（0）vsin
解出x（t）,y⑴后，可以得铅球掷远为
2
R—sin
g
2h）Kcosg
图5-1
这个关系还可表为
222
Rg2vcos（h
由此计算乎
0,得最佳出手角度和最佳成绩分别为:
.1vV;_2
前2，R--2（vgh）g
1.5m,v
10m/s，贝U41.4，R11.4m.
案例4在一种溶液中，化学物质A分解而形成B，其速度与未转换的A的
浓度成比例•转换A的一半用了20分钟，把B的浓度y表示为时间的函数，并作出图象.
解记B的浓度为时间t的函数y（t），A的浓度为x（t）.
一、假设
1.1molA分解后产生nmolB.
2.容体的体积在反应过程中不变.
、建立模型，求解
有假设知，A的消耗速度与A的浓度成比例，故有下列方程成立dx.
kx,dt
其中k为比例系数.
设反应开始时t0，A的浓度为xo，由题中条件知当t20（分）时，A的
浓度为x（20）二.解初值问题n
dx,kxdtx（0）Xo
得
x（t）xcekt.它应满足
x（20）x°ek20£Xo
解得
1
kIn2,
20
所以得
「On2）
320
x（t）x°e
n[Xo]nxo（1
由于B的浓度为x浓度减少量的n倍，故有
y⑴
三、作图（如图5-2）
图5-2
案例5车间空气清洁问题
某生产车间有一台机器不断排出C02，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风机通入新鲜空气来降低车间空气中的Cd含量，那么，上述做法的清洁效果如何呢？
这一问题是利用平衡原理来建模，即建立其微分方程模型•请注意，平衡原理在建立微分方程模型时常表现为区间Lx,xx］上的微元形式：
某个量在该区间上的增加量等于该区间段进入量与迁出量的差.
解1•问题分析与假设
上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其CO含量尽管也有但较低.新鲜空气与车间空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低CO2含量.
为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同风量排出车间•
此问题中的主要变量及参数设为：
车间体积：
V（单位：
立方米），
时间：
t（单位：
分钟），
机器产生C02速度：
r（单位：
立方米/分钟），
鼓风机风量：
K（单位：
立方米/分钟）
新鲜空气中CO2含量：
m%，
开始时刻车间空气中Cd含量：
x%，
t时刻车间空气中CO2含量：
X（t）%.
2,模型建立
考虑时间区间，并利用质量守恒定律：
车间空气中CO2含量的“增
加”等于时间，通入的新鲜空气中CO2的量加上机器产生的CO2的量减去鼓风机排出的CO2的量，即
CO2增加量=新鲜空气中含有CO2量+机器产生的C02量一排出的CO2量数学上表示出来就是
tt
V[x（tt）%x（t）]Km%tr11Kx（s）%ds.
其中to.于是令to,取极限便得
dx
abx,t0,
dt
X（0）Xo.
Km100r,K其中a,b.
VV
3.模型求解与分析
此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题•解之得
X（t）a（Xoa）exp{bt}
Km100rKm100rK
K（Xok）欲"V。
这就是t时刻车间空气中含CO2的百分比.显然,
g*Xo,否则CO2含量只能K
，则有
Kmiuur广x⑴十・
100rm
K
这说明了，车间空气中C02的含量最多只能降到
¥%.由此可见，鼓风机
风量越大（K越大），新鲜空气中CO2含量越低
（m越小），净化效果越好.
4•模型的优缺点分析及改进方向:
优点：
模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的结果与常识基本一致.
缺点：
建立数学模型时所作出的假设过于简单
改进方向：
（1）考虑新鲜空气和车间的空气的混合扩散过程重新建模；
（2）若要使得车间空气中的C02含量达到一定的指标，确定最优的实施方
案例6某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新
代谢（即自动消耗）。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤？
天）
乘以他的体重（公斤）。
假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量
41868（焦）。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
解模型分析
在问题中并未出现“变化率”、导数”这样的关键词，但要寻找的是体重
（记为W）关于时间t的函数。
如果我们
把体重w看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的型微分方程・dt
模型假设
1.以W（t）表示t时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为Wo.
2.体重的变化是一个渐变的过程。
因此可认为W（t）是关于t连续而且充分光滑的
3.体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新代谢之后的净食量
吸收；输出就是进行健身训练时的消耗•
模型建立问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天”
体重的变化=输入-输出•
由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得
体重的变化/天=输入/天一输出/天.
代入具体的数值，得
输入/天=10467（焦/天）5038（焦/天）=5429（焦/天），
输出/天=69（焦/公斤？
天）W（公斤）=69W（焦/天）
体重的变化/天二
dW
（公斤/天）to1
考虑单位的匹配，利用
“公斤/天二小aua隹/八二,可建立如下微分方程模型
41868焦/公斤
dW542969W129616W
dt41868
10000
WtoWo
模型求解
用变量分离法求解，模型方程等价于
dWdt
129616W10000，
WtoWo
积分得
16t
129616W（129616Wo）e
从而求得模型解
1RW16t
W空129616Wo,iooooe
16
就描述了此人的体重随时间变化的规律
模型讨论
现在我们再来考虑一下：
此人的体重会达到平衡吗？
显然由W的表达式，当t时，体重有稳定值
W81.
我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下，W是不发生变化
的，所以列。
.这就非常直接地给出了dt
平衡81.
至此，问题已基本上得以解决.
案例7、人口预测模型
由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长，为了得
到人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多如人
口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多
因素，如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此，先把问题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型•
模型1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766-1834）在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料，发现人口出生率是一个常数，于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型，他的基本假设是：
在人口自然增长过程中，净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间人口的增长量与人口成正比，比例系数设为L在此假设下，推导并求解人口随时间变化的数学模型•
解设时刻t的人口为N（t）,把N⑴当作连续、可微函数处理（因人口总数很大，可近似地这样处理，此乃离散变量连续化处理），据马尔萨斯的假设，在t到tt时间段，人口的增长量为
N（tt）N（t）rN（t）t,
并设tt。
时刻的人口为N。
于是
dt
N（t。
）
这就是马尔萨斯人口模型，用分离变量法易求出其解为
N（t）Noer（tto\
此式表明人口以指数规律随时间无限增长•
模型检验：
据估计1961年地球上的人口总数为3.06109，而在以后7年中，
人口总数以每年2%的速度增长，这样to1961,No3.06109,r0.02,于是
N（t）3.06109e002（t1961\
这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为，这期间地球上的人口大约每35年翻一番，而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）.
但是，后来人们以美国人口为例，用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较，却发现有很大的差异，尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时，发现更令人不可思议的问题，如按此模型计算，到2670年，地球上将有36000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上，地球表面还有80%被水覆盖），我们也只得互相踩着肩膀站成两层了，这是非常荒谬的，因此,这一模型应该修改.
模型2（逻辑Logistic模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？
这主要
是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活，随着人口的增加，自然资源
环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著，如果当人口较少时，人口的自
然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随人口的增加而减小.因此，应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.
1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特（Verhulst）弓I入常数Nm,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来，一个国家工业化程度越高，它的生活空间就越大，食物就越多，从而Nm就越大），并假设将增长率等于r1的，即净
Nm
增长率随着N（t）的增加而减小，当N（t）Nm时，净增长率趋于零，按此假定建立人口预测模型.
解由韦尔侯斯特假定，马尔萨斯模型应改为
dNdtN（t）No
上式就是逻辑模型，该方程可分离变量，其解为，
N（t）
Nm1eWto）
F面，我们对模型作一简要分析•
（1）,N（t）Nm,即无论人口的初值如何，人口总数趋向于极限值
Nm；
Nm时罟dt
增函数；
d2N由于部
N
Nm
存。
这说明N⑴是时间t的单调递
皿时啤。
，曾单
2'dtdt
由增变减'在宁处最大，
，过这一点后，生长的速
所以当N
增；当N2dt时’嗖°罟单减，即人口增长率罟
也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期率
逐渐变小，并且迟早会达到零，这是减速生长期;
（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口，发现模型计算的结果
与实际人口在1930年以前都非常吻合，自从1930年以后，误差愈来愈大，一个明
显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是心不易确定，事实上,随着一个国家经济的腾飞，它所拥有的食物就越丰富，Nm的值也就越大；
（5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数•某生物学家估计J0.029,又当人口总数为
3.06109时，人口每年以2%的速率增长，由逻辑模型得
3.061090.020.0291
Nm
1dN人N
r1_
参考文献
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