高考数学二轮复习 专题5 平面向量 教案 文.docx

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高考数学二轮复习专题5平面向量教案文

2019-2020年高考数学二轮复习专题5平面向量教案文

【重点知识回顾】

向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。

能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：

共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。

这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力

因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：

曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性

平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一组基底。

向量的坐标表示

表示。

.平面向量的数量积

数量积的几何意义：

（2）数量积的运算法则

【典型例题】

1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理

例1.（xx湖北文、理）设a=（1,-2）,b=（-3,4）,c=（3,2）,则（a+2b）·c=（　）

A.（－15,12）　　　B.0C.－3D.－11

解：

（a+2b），（a+2b）·c，选C

点评：

本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字

例2、（xx广东文）已知平面向量，且∥，则=（　）

A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）

解：

由∥，得m＝－4，所以，

＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。

点评：

两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆

例3．

（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，表示出来。

（1）解析：

根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可

因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

所以

，=＋，==+，

由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，

同样在平行四边形BCDO中，＝＝＝＋（＋）＝＋2，＝＝－

点评：

其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。

例4．已知中，A（2,－1），B（3,2），C（－3,1）,BC边上的高为AD，求。

解析：

设D（x,y），则

∵

得

所以。

2.向量与三角函数的综合问题

例5、（xx深圳福田等）已知向量

函数

（1）求的最小正周期;

（2）当时,若求的值．

解：

（1）

.

所以，T＝.

（2）由得，

∵，∴　∴∴

点评：

向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.

例6、（xx山东文）在中，角的对边分别为．

（1）求；

（2）若，且，求．

解：

（1）

又解得．

，是锐角．．

（2）由，，．

又．．

．．

　　点评：

本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。

3.平面向量与函数问题的交汇

例7．已知平面向量a＝（，－1），b＝（,）.

（1）若存在实数k和t，便得x＝a＋（t2－3）b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；

（2）根据

（1）的结论，确定k＝f（t）的单调区间

解：

（1）法一：

由题意知x＝（,）,

y＝（t－k，t＋k），又x⊥y

故x·y＝×（t－k）＋×（t＋k）＝0

整理得：

t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.

法二：

∵a＝（，－1），b＝（,）,∴.＝2，＝1且a⊥b

∵x⊥y，∴x·y＝0，即－k2＋t（t2－3）2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t

（2）由

（1）知：

k＝f（t）＝t3－t∴kˊ＝fˊ（t）＝t3－,

令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f（t）的单调递减区间是（－1,1），单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.

[归纳]第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：

一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。

第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用

[变式]已知平面向量＝（，－1），＝（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋（sinα－3）,＝－k＋（sinα）,且⊥，试求实数k的取值范围。

[点拨]将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。

解：

仿例3

（1）解法

（二）可得

k＝（sinα－）2－,而－1≤sinα≤1,

∴当sinα＝－1时，k取最大值1；sinα＝1时，k取最小值－.

又∵k≠0∴k的取值范围为.

4.平面向量在平面几何中的应用

例8、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？

并求出这个最大值

解：

以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。

设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），

∴cx-by=a2cos.∴=-a2+a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.

点评：

本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。

考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。

例9、已知A、B为抛物线（p>0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，

（1）若，求抛物线的方程。

（2）CD是否恒存在一点K，使得

Y

A

FP

B

X

O

DKC

解：

（1）提示：

记A（）、B（）设直线AB方程为代入抛物线方程得

（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，

则

＝－＝－＝0

故存在点K即点T，使得

[实质：

以AB为直径的圆与准线相切]

[变式]（xx全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）（m>0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:

；

解：

依题意，可设直线AB的方程为代入抛物线方程得

①

设A、B两点的坐标分别是、、x2是方程①的两根.

所以

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

得

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0，－m），从而.

所以

【模拟演练】

一、选择题

1．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：

2，则的值为（）

A．B．C．D．4

2．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（）

A．B．C．D．

3．已知向量=（2，0）,向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为（）

A．［0，］B．［，］C．［，］D．［，］

4．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·=（）

A．B．C．3D．－3

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（），，则点P的轨迹一定通过△ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

6．已知平面上直线l的方向向量e=（,），点O（0，0）和A（1,－2）在上的射影分别是O/和A/，则，其中λ=（）

A．B．C．2D．－2

7、

（）

A．B.C.D.1

8、已知，，则向量与（）

A.互相平行B.夹角为C.夹角为D.互相垂直

9、已知向量

的夹角是（）

A．B．C．D．

10、若向量，，则等于（）

A.B.C.D.

11、已知非零向量若且又知则实数的值为（）

A.B.C.3D.6

12.把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为

A．y＝B．y＝

C．y＝D．y＝

二、填空题

13．已知向量a、b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是.

14.已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且＝,＝,设＝，＝，则＝.

15.△ABC中，,其中A、B、C是△ABC的三内角，则△ABC是三角形。

16.已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为.

三、解答题

17.已知向量，.

（1）若，试判断与能否平行

（2）若，求函数的最小值.

18.设函数，其中向量

，.

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.

19.如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：

当P、Q取什么位置时，·有最大值?

20.已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且

（1）求动点N的轨迹方程；

（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4≤≤，求直线l的斜率的取值范围

21.已知点是圆上的一个动点，过点作轴于点，设.

（1）求点的轨迹方程；

（2）求向量和夹角的最大值，并求此时点的坐标

22.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+（其中sin=，）且与点A相距10海里的位置C.

（1）求该船的行驶速度（单位：

海里/小时）;

（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断

它是否会进入警戒水域，并说明理由.

专题训练答案

一、选择题

1.D2.B3.D4.B5.B6.D7．A8．A9．D10．B

11．D12．A

二、填空题

13．14.；15.直角16.

三、解答题

17.解：

（1）若与平行，则有，因为，，所以得，这与相矛盾，故与不能平行.

（2）由于

，又因为，所以，于是

，当，即时取等号.故函数的最小值等于.

18．解：

（1）由题意得，f（x）＝a·（b+c）=（sinx,－cosx）·（sinx－cosx,sinx－3cosx）

＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin（2x+）.

所以，f（x）的最大值为2+，最小正周期是＝.

（2）由sin（2x+）＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.

19.解：

·＝（）·（）

＝（）·（－）

＝－r2＋··

设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则

·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ

∵a、b、c、α、r均为定值，

∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，·有最大值.

20.略解

（1）y2＝4x（x＞0）

（2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为

y＝kx＋b（k≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）.联立直线与抛物线方程，得

ky2－4y＋4b＝0,由，得.

又故而

解得直线l的斜率的取值范围是

21.解析：

（1）设，，则，，

.

（2）设向量与的夹角为，则

，

令，则

，

当且仅当时，即点坐标为时，等号成立.

22.解:

（I）如图，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为

（海里/小时）.

（2）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,

BC与x轴的交点为D.

由题设有，x1=y1=AB=40,

x2=ACcos

y2=ACsin

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

又点E（0，-55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.

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