高考数学练习题平面向量.doc
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2012年高考数学------平面向量
一、选择题
1．（2012辽宁文）已知向量a=（1,—1）,b=（2,x）.若a·b=1,则x= （ ）
A．—1 B．— C． D．1
2．（2012辽宁理）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是 （ ）
A．a∥b B．a⊥b
C．{0,1,3} D．a+b=ab
3．（2012天津文）在中,,,设点满足.若,则
（ ）
A． B． C． D．2
4．（2012重庆文）设,向量且,则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2012重庆理）设R,向量,且,则 （ ）
A． B． C． D．10
6．（2012浙江文）设a,b是两个非零向量. （ ）
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
7．（2012浙江理）设a,b是两个非零向量. （ ）
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
8．（2012天津理）已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2012广东文）（向量、创新）对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则 （ ）
A． B．1 C． D．
10．（2012广东文）（向量）若向量,,则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2012福建文）已知向量,则的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
12．（2012大纲文）中,边的高为,若,,,,,则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2012湖南理）在△ABC中,AB=2,AC=3,=1则. （ ）
A． B． C． D．
14．（2012广东理）对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中,则 （ ）
A． B．1 C． D．
15．（2012广东理）（向量）若向量,,则 （ ）
A． B． C． D．
16．（2012大纲理）中,边上的高为,若,则 （ ）
A． B． C． D．
17．（2012安徽理）在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量则点的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2012浙江文）在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.
11．（2012上海文）在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上
的点,且满足,则的取值范围是_________.
12．（2012课标文）已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||=_______.
13．（2012江西文）设单位向量。
若,则_______________。
14．（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且=_____.
15．（2012湖北文）已知向量,则
（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________;
（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________.
16．（2012北京文）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________.
17．（2012安徽文）设向量,若⊥,则.
18、．（2012新课标理）已知向量夹角为,且;则
19、．（2012浙江理）在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________.
20、．（2012上海理）在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别
是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_________.
21、．（2012江苏）如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是___.
22．（2012北京理）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;
的最大值为________.
23．（2012安徽理）若平面向量满足:
;则的最小值是
参考答案
一、选择题
1.【答案】D
【解析】,故选D
【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题.
2、【答案】B
【解析一】由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0,所以a⊥b,故选B
【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|ab|,所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b,故选B
【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.
3.【解析】如图,设,则,又,,由得,即,选B.
4.【答案】B
【解析】,
【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题,只要计算正确即可得到全分.
5【答案】B
【解析】由,由,故.
【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据、,得到的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.
6.【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系.
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实
数λ,使得a=λb.如选项A:
|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:
若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:
若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
7、【答案】C
【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实
数λ,使得a=λb.如选项A:
|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:
若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:
若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
8、【答案】A
【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.
【解析】∵=,=,
又∵,且,,,∴,,所以,解得.
9.解析:
C.,,两式相乘,可得.因为,所以、都是正整数,于是,即,所以.而,所以,,于是.
10.解析:
A..
11.【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0所以x=0.D正确
【答案】D
【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质.
12.答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用.
【解析】由可得,故,用等面积法求得,所以,故,故选答案D
13、【答案】A
【解析】由下图知.
.又由余弦定理知,解得.
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.
14、【解析】C;因为,且和都在集合中,所以,,所以,且,所以,故有,选C.
【另解】C;,,两式相乘得,因为,均为正整数,于是,所以,所以,而,所以,于是,选C.
15、解析:
A..
16、答案D
【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用.
【解析】由可得,故,用等面积法求得,所以,故,故选答案D
17、【解析】选
【方法一】设
则
【方法二】将向量按逆时针旋转后得
则
二、填空题
10.【答案】-16
【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.
【解析】由余弦定理,
,两式子相加为,
.
11.A
B
D
C
y
x
2
1
（O）
M
N
[解析]如图建系,则A（0,0）,B（2,0）,D（0,1）,C（2,1）.
设Î[0,1],则,,
所以M（2,t）,N（2-2t,1）,
故=4-4t+t=4-3t=f（t）,因为tÎ[0,1],所以f（t）递减,
所以（）max=f（0）=4,（）min=f
（1）=1.
12.【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.
【解析】∵||=,平方得,即,解得||=或（舍）
13.【答案】
【解析】由已知可得,又因为m为单位向量所以,联立解得或代入所求即可.
【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.
14.【答案】18
【解析】设,则,=
.
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.
15.（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由,得.设与同向的单位向量为,则且,解得故.即与同向的单位向量的坐标为.
（Ⅱ）由,得.设向量与向量的夹角为,则.
【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了.来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.
16.【答案】;
【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1
【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
17.【解析】
18、【解析】
19、【答案】
【解析】此题最适合的方法是特例法.
假设ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,
AM=3,BC=10,AB=AC=.
cos∠BAC=.=
20、x
y
A
B
C
D
M
N
[解析]如图建系,则A（0,0）,B（2,0）,D（,）,C（,）.
设Î[0,1],则,,
所以M（2+,）,N（-2t,）,
故=（2+）（-2t）+×=,
因为tÎ[0,1],所以f（t）递减,（）max=f（0）=5,（）min=f
（1）=2.
[评注]当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:
M在B（N在C）和M在C（N在D）,而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!
出题大虾太给蒙派一族面子了!
21、【答案】.
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.
【解析】由,得,由矩形的性质,得.
∵,∴,∴.∴.
记之间的夹角为,则.
又∵点E为BC的中点,∴.
∴
.
本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.
22、【答案】;
【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1
【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.
23、【解析】的最小值是
2011年高考题
一、选择题
1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF中，=
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】
2.（山东理12）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且,则称，调和分割，,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
3.（全国新课标理10）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中真命题是
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
4.（全国大纲理12）设向量a，b，c满足==1，=，=，则的最大值等于
A．2 B． C． D．1
【答案】A
5.（辽宁理10）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为
（A） （B）1 （C） （D）2
【答案】B
6.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为
A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]
【答案】D
7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D
8.（广东理5）已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。
若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为C
A． B． C．4 D．3
【答案】
9.（福建理8）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是
A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]
【答案】C
二、填空题
10.（重庆理12）已知单位向量，的夹角为60°，则__________
【答案】
11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是。
【答案】
12.（天津理14）已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.
【答案】5
13.（上海理11）在正三角形中，是上的点，，则。
【答案】
14.（江苏10）已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为.
【答案】
15.（安徽理13）已知向量满足，且，，
则a与b的夹角为.
【答案】
16.（北京理10）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。
若a-2b与c共线，则k=__________。
【答案】1
17.（湖南理14）在边长为1的正三角形ABC中,设则__________________．
【答案】
18.（江西理11）已知,·=-2，则与的夹角为
【答案】
2010年高考题
一、选择题
1.（2010湖南文）若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A.300B.600C.1200D.1500
【答案】C
2.（2010全国卷2理）中，点在上，平方．若，，，，则
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.
【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.
3.（2010辽宁文）平面上三点不共线，设,则的面积等于
（A）（B）
（C）（D）
【答案】C
解析：
4.（2010辽宁理）平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于
（A）（B）
（C）（D）
【答案】C
【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
【解析】三角形的面积S=|a||b|sin，而
5.（2010全国卷2文）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=a,=b,=1，=2,则=
（A）a+b（B）a+b（C）a+b（D）a+b
【答案】B
【解析】B：
本题考查了平面向量的基础知识
∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴
6.（2010安徽文）设向量,,则下列结论中正确的是
（A）（B）
（C）（D）与垂直
【答案】D
【解析】，，所以与垂直.
【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.
7.（2010重庆文）若向量，，，则实数的值为
（A）（B）
（C）2（D）6
【答案】D
解析：
，所以=6
8.（2010重庆理）已知向量a，b满足，则
A.0B.C.4D.8
【答案】B
解析：
9.（2010山东文）定义平面向量之间的一种运算“”如下：
对任意的，，令，下面说法错误的是
（A）若a与b共线，则
（B）
（C）对任意的，有
（D）
【答案】B
10.（2010四川理）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
则
（A）8（B）4（C）2（D）1
解析：
由＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故2
【答案】C
11.（2010天津文）如图，在ΔABC中，，，，则=
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
12.（2010广东文）
13.（2010福建文）
14.（2010全国卷1文）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
P
A
B
O
【解析1】如图所示：
设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则，即，由是实数，所以
，，解得或.故.此时.
【解析2】设，
换元：
，
【解析3】建系：
园的方程为，设，
15.（2010四川文）设点是线段的中点，点在直线外，，，则
（A）8（B）4（C）2（D）1
【答案】C
解析：
由＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故2
16.（2010湖北文）已知和点M满足.若存在实使得成立，则=
A.2 B.3 C.4 D.5
17.（2010山东理）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（）
A.若与共线，则B.
C.对任意的，有D.
【答案】B
【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而
，所以有，故选项B错误，故选B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
18.（2010湖南理）在中，=90°AC=4，则等于
A、-16B、-8C、8D、16
19.（2010年安徽理）
20.（2010湖北理）已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
1.（2010上海文）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。
任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是4ab=1。
解析：
因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又
双曲线方程为，=，
，化简得4ab=1
2.（2010浙江理）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________.
解析：
利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。
3.（2010陕西文）已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则
m＝.
【答案】－1
解析：
，所以m=-1
4.（2010江西理）已知向量，满足，，与的夹角为60°，则
【答案】
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：
5.（2010浙江文）在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为。
答案：
6.（2010浙江文）（13）已知平面向量则的值是
答案：
7.（2010天津理）（15）如图，在中，,,
则.
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
8.（2010广东理）若向量=（1,1,x）,=（1,2,1）,=（1,1,1）,满足条件=-2,则=.
【答案】2
，，解得．
三、解答题
1.（2010江苏卷）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（－1,－2）、B（2,3）、C（－2,－1）。
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
设实数t满足（）·=0，求t的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。
满分14分。
（1）（方法一）由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；
（2）由题设知：
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