创新设计一轮复习 第五章 第2节.docx

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创新设计一轮复习第五章第2节

第2节　等差数列及其前n项和

考试要求　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.

知识梳理

1.等差数列的概念

（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：

an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）.

（2）若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

（1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d.

（2）前n项和公式：

Sn＝na1＋＝.

3.等差数列的性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）.

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列.

（4）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

（5）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.

[微点提醒]

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性：

当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　　）

（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（　　）

（3）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.（　　）

（4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（　　）

解析　（3）若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.

（4）若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.

答案　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）×

2.（必修5P46A2改编）设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于（　　）

A.31B.32C.33D.34

解析　由已知可得

解得∴S8＝8a1＋d＝32.

答案　B

3.（必修5P68A8改编）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.

答案　180

4.（2018·全国Ⅰ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（　　）

A.－12B.－10C.10D.12

解析　设等差数列{an}的公差为d，则3（3a1＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×（－3）＝－10.

答案　B

5.（2019·上海黄浦区模拟）已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为（　　）

A.－3B.－C.－2D.－4

解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

因为所以

解得d＝－4.

答案　D

6.（2019·苏北四市联考）在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______.

解析　在等差数列{an}中，

∵a3＋a8>0，S9<0，

∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝＝9a5<0，

∴a5<0，a6>0，

∴S1，S2，…，S9中最小的是S5.

答案　S5

考点一　等差数列基本量的运算

【例1】

（1）（一题多解）（2017·全国Ⅰ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）

A.1B.2C.4D.8

（2）（2019·潍坊检测）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝（　　）

A.9B.10C.11D.15

解析　

（1）法一　设等差数列{an}的公差为d，

依题意得所以d＝4.

法二　等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，

又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，则d＝4.

（2）设等差数列{an}的公差为d，依题意得

解得

∴am＝a1＋（m－1）d＝7m－40＝30，∴m＝10.

答案　

（1）C　

（2）B

规律方法　1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

【训练1】

（1）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x＋2），…的第四项等于（　　）

A.3B.4C.log318D.log324

（2）（一题多解）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.

解析　

（1）∵log3（2x），log3（3x），log3（4x＋2）成等差数列，

∴log3（2x）＋log3（4x＋2）＝2log3（3x），

∴log3[2x（4x＋2）]＝log3（3x）2，则2x（4x＋2）＝9x2，

解之得x＝4，x＝0（舍去）.

∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，

∴公差d＝log312－log38＝log3，

∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3.

（2）法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，

由S3＝6，S4＝12，可得解得

所以S6＝6a1＋15d＝30.

法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，

由S3＝6，S4＝12可得

解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.

答案　

（1）A　

（2）30

考点二　等差数列的判定与证明　

典例迁移

【例2】（经典母题）若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0（n≥2），a1＝.

（1）求证：

成等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

（1）证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，

又＝＝2，

故是首项为2，公差为2的等差数列.

（2）解　由

（1）可得＝2n，∴Sn＝.

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.

当n＝1时，a1＝不适合上式.

故an＝

【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.

解　因为an＝Sn－Sn－1（n≥2），an＋2SnSn－1＝0，

所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0（n≥2）.

所以－＝2（n≥2）.

又＝＝2，

所以是以2为首项，2为公差的等差数列.

所以＝2＋（n－1）×2＝2n，故Sn＝.

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，

所以an＋1＝，又an＋1－an＝－＝＝.

所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列.

【迁移探究2】本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），试求数列{an}的通项公式.

解　由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，

∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，

∴＝＋（n－1）·1＝n－，∴an＝n2－n.

规律方法　1.证明数列是等差数列的主要方法：

（1）定义法：

对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.

（2）等差中项法：

验证2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）都成立.

2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：

（1）通项公式：

an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列.

（2）前n项和公式：

Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.

【训练2】（2017·全国Ⅰ卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.

解　

（1）设{an}的公比为q，由题设可得

解得

故{an}的通项公式为an＝（－2）n.

（2）由

（1）可得

Sn＝＝－＋（－1）n.

由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋（－1）n.

＝2＝2Sn，

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.

考点三　等差数列的性质及应用　

多维探究

角度1　等差数列项的性质

【例3－1】（2019·临沂一模）在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为（　　）

A.6B.12C.24D.48

解析　∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，

由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，

∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.

答案　D

角度2　等差数列和的性质

【例3－2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（　　）

A.63B.45C.36D.27

解析　由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，

即2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），

得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，

所以a7＋a8＋a9＝45.

答案　B

规律方法　1.项的性质：

在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.

2.和的性质：

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

（1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；

（2）S2n－1＝（2n－1）an.

【训练3】

（1）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2015，－＝6，则S2019＝________.

（2）（2019·荆州一模）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是（　　）

A.15B.30C.31D.64

（3）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（　　）

A.B.C.D.

解析　

（1）由等差数列的性质可得也为等差数列.

设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.

故＝＋2018d＝－2015＋2018＝3，

∴S2019＝3×2019＝6057.

（2）由a3＋a4＋a5＝3及等差数列的性质，

∴3a4＝3，则a4＝1.

又a4＋a12＝2a8，得1＋a12＝2×8.

∴a12＝16－1＝15.

（3）＝＝＝＝

＝＝.

答案　

（1）6057　

（2）A　（3）A

考点四　等差数列的前n项和及其最值

【例4】（2019·衡水中学质检）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

解　

（1）令n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1（λa1－2）＝0，

因为a1≠0，所以a1＝，

当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，

两式相减得2an－2an－1＝an（n≥2）.

所以an＝2an－1（n≥2），

从而数列{an}为等比数列，an＝a1·2n－1＝.

（2）当a1>0，λ＝100时，由

（1）知，an＝，

则bn＝lg＝lg＝lg100－lg2n＝2－nlg2，

所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg2，

所以b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0，

当n≥7时，bn≤b7＝lg

所以数列的前6项和最大.

规律方法　求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：

（1）函数法：

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn（a≠0），通过配方或借助图象求二次函数的最值.

（2）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.

①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm（当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值）；

②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm（当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值）.

【训练4】

（1）等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为（　　）

A.3B.3或4

C.4或5D.5

（2）已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________.

解析　

（1）由题意知

由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，

∴＝＝－3＋n－1＝n－4，

则n－4≥0，得n≥4，

∴数列的前n项和取最小值时的n为3或4.

（2）因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，

Sn＝na1＋d＝20n－×2

＝－n2＋21n＝－＋，

又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.

答案　

（1）B　

（2）110

[思维升华]

1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列.

2.等差数列基本量思想

（1）在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.

（2）若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.

若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

（3）灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.

[易错防范]

1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d（n≥2）时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.

2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）

A.100B.99C.98D.97

解析　设等差数列{an}的公差为d，由已知，

得所以

所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.

答案　C

2.（2019·淄博调研）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（　　）

A.1B.－1C.2D.

解析　由于＝＝×＝1.

答案　A

3.（2019·中原名校联考）若数列{an}满足－＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝（　　）

A.10B.20C.30D.40

解析　依题意，－＝xn＋1－xn＝d，

∴{xn}是等差数列.

又x1＋x2＋…＋x20＝＝200.

∴x1＋x20＝20，从而x5＋x16＝x1＋x20＝20.

答案　B

4.（2019·北京海淀区质检）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：

“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：

把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（　　）

A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤

解析　用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，

由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，

∴8a1＋×17＝996，解之得a1＝65.

∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.

答案　B

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n为（　　）

A.4B.5C.6D.4或5

解析　由{an}为等差数列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，

即d＝－2，

由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，

所以Sn取最大值时的n为5.

答案　B

二、填空题

6.已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.

解析　设项数为2n，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数列的项数为10.

答案　10

7.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________.

解析　将an－an＋1＝2anan＋1两边同时除以anan＋1，－＝2.

所以是以＝1为首项，2为公差的等差数列，

所以＝1＋5×2＝11，即a6＝.

答案　

8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.

解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋（10－1）d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.

答案　200

三、解答题

9.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解　

（1）设数列{an}首项为a1，公差为d，

由题意得解得

所以{an}的通项公式为an＝.

（2）由

（1）知，bn＝.

当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；

当n＝4，5时，2≤<3，bn＝2；

当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；

当n＝9，10时，4≤<5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

（1）求a及k的值；

（2）设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：

数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

（1）解　设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，

由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11（舍去），故a＝2，k＝10.

（2）证明　由

（1）得Sn＝＝n（n＋1），

则bn＝＝n＋1，

故bn＋1－bn＝（n＋2）－（n＋1）＝1，

即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以Tn＝＝.

能力提升题组

（建议用时：

20分钟）

11.（2019·济宁模拟）设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1（n≥2且n∈N*），则a18＝（　　）

A.B.C.3D.

解析　令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1（n≥2），

所以{bn}为等差数列，

因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，

所以b18＝52，

则18a18＝52，所以a18＝.

答案　B

12.（2019·青岛诊断）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn（n∈N*），若＝，则＝（　　）

A.B.C.D.3

解析　由题意不妨设Sn＝n（2n－1），Tn＝n（n＋1），

所以a12＝S12－S11＝12×23－11×21＝45，

b6＝T6－T5＝6×（6＋1）－5×（5＋1）＝42－30＝12，

所以＝＝.

答案　A

13.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.

解析　由an＝2n－10（n∈N*）知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，

∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋…＋a15）＝20＋110＝130.

答案　130

14.（2019·长沙雅礼中学模拟）设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a13＝26，S9＝81.

（1）求{an}的通项公式；

（2）令bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，若30Tn－m≤0对一切n∈N*成立，求实数m的最小值.

解　

（1）∵等差数列{an}中，a1＋a13＝26，S9＝81，

∴解得

∴d＝＝＝2，

∴an＝a5＋（n－5）d＝9＋2（n－5）＝2n－1.

（2）∵bn＝＝

＝，

∴Tn＝

＝，

∵随着n的增大而增大，知{Tn}单调递增.

又>0，∴Tn<，∴m≥5，

∴实数m的最小值为5.

新高考创新预测

15.（多填题）设Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S2＝S6，－＝2，则a1＝________，公差d＝________.

解析　由{an}为等差数列，得数列是首项为a1，公差为的等差数列，∵－＝2，∴＝2⇒d＝4，又S2＝S6⇒2a1＋4＝6a1＋×4⇒a1＝－14.

答案　－14　4