所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，
所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.
规律方法 1.应用弧度制解决问题的方法：
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
【训练2】（一题多解）（2019·青岛质检）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：
弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A.6平方米B.9平方米
C.12平方米D.15平方米
解析 法一 如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，于是矢＝4－2＝2.
由AD＝AO·sin＝4×＝2，得弦AB＝2AD＝4.
所以弧田面积＝（弦×矢＋矢2）＝×（4×2＋22）＝4＋2≈9（平方米）.
法二 由已知，可得扇形的面积S1＝r2θ＝×42×＝，△AOB的面积S2＝×OA×OB×sin∠AOB＝×4×4×sin＝4.
故弧田的面积S＝S1－S2＝－4≈9（平方米）.
答案 B
考点三 三角函数的概念
【例3】
（1）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin（π＋α）＝（ ）
A.－B.－C.D.
（2）若sinαtanα<0，且<0，则角α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析
（1）易知sin＝，cos＝，则P.
由三角函数的定义可得sinα＝＝，
则sin（π＋α）＝－sinα＝－.
（2）由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角；由<0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.
答案
（1）B
（2）C
规律方法 1.三角函数定义的应用
（1）直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
（2）已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.三角函数线的应用问题的求解思路
确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.
【训练3】
（1）（2019·西安一中月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则cos（α＋β）的值为（ ）
A.－B.－C.0D.
（2）满足cosα≤－的角α的集合为________.
解析
（1）由三角函数的定义可得cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝.
所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－.
（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围，
故满足条件的角α的集合为
.
答案
（1）A
（2）
[思维升华]
1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.
2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.
[易错防范]
1.注意易混概念的区别：
象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.
2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
基础巩固题组
（建议用时：
35分钟）
一、选择题
1.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
答案 C
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A.2kπ＋45°（k∈Z）B.k·360°＋π（k∈Z）
C.k·360°－315°（k∈Z）D.kπ＋（k∈Z）
解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.
答案 C
3.（2019·北京朝阳区模拟）已知角α的终边经过点（，），若α＝，则m的值为（ ）
A.27B.C.9D.
解析 ∵tan＝＝m－＝，∴m－1＝33＝27，
∴m＝，故选B.
答案 B
4.已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为（ ）
A.（2cosθ，2sinθ）B.（－2cosθ，2sinθ）
C.（－2cosθ，－2sinθ）D.（2cosθ，－2sinθ）
解析 由题意知，M的坐标为（2cos（π＋θ），2sin（π＋θ）），即（－2cosθ，－2sinθ）.
答案 C
5.设θ是第三象限角，且＝－cos，则是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析 由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，
∵＝－cos，∴cos<0，综上知为第二象限角.
答案 B
6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（ ）
A.－B.－C.D.
解析 由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，
故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案 B
7.（2019·潍坊一模）若角α的终边过点A（2，1），则sin＝（ ）
A.－B.－C.D.
解析 由三角函数定义，cosα＝＝，
则sin＝－cosα＝－.
答案 A
8.已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为（ ）
A.B.C.D.
解析 由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－（k∈Z），所以α的最小正值为.
答案 D
二、填空题
9.（2019·上海徐汇区调研）已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ＝，则m等于________.
解析 由题意知m>0且sinθ＝＝，解得m＝3.
答案 3
10.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.
解析 设扇形半径为r，弧长为l，
则解得
答案
11.（2019·许昌调研）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝________.
解析 因为α是第二象限角，
所以cosα＝x<0，即x<0.
又cosα＝x＝，
解得x＝－3，所以tanα＝＝－.
答案 －
12.已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________.
解析 ∵cosα≤0，sinα>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴∴－2答案 （－2，3]
能力提升题组
（建议用时：
15分钟）
13.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 举反例：
第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.
答案 A
14.（2018·全国Ⅰ卷）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，则|a－b|＝（ ）
A.B.C.D.1
解析 由题意可知tanα＝＝b－a，
又cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，
∴5（b－a）2＝1，得（b－a）2＝，则|b－a|＝.
答案 B
15.函数y＝的定义域为________.
解析 ∵2sinx－1≥0，∴sinx≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影所示）.
∴x∈（k∈Z）.
答案 （k∈Z）
16.已知sinα<0，tanα>0.
（1）求角α的集合；
（2）求的终边所在的象限；
（3）试判断tansincos的符号.
解
（1）由sinα<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tanα>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为.
（2）由
（1）知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
故kπ＋<故的终边在第二、四象限.
（3）当在第二象限时，tan<0，
sin>0，cos<0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时，tan<0，
sin<0，cos>0，
所以tansincos也取正号.
综上，tansincos取正号.
新高考创新预测
17.（多填题）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（单位：
cm）表示成t（单位：
s）的函数，则d＝________（其中t∈[0，60]）；d的最大值为________cm.
解析 根据题意，得∠AOB＝×2π＝，故d＝2×5sin＝10sin（t∈[0，60]）.∵t∈[0，60]，
∴∈[0，π]，当t＝30时，d最大为10cm.
答案 10sin 10
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