秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案332 简单的线性规划问题 1学生版+教师版.docx
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秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案332简单的线性规划问题1学生版+教师版
3.3.2简单的线性规划问题
1．新课引入
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由己知条件可得二元一次不等式组：
（*）
思考：
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
2．简单的线性规划问题
不等组（*）是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于
，
的一次不等式，所以又称为线性约束条件.
函数
称为目标函数,又因
是关于变量
，
的一次解析式,所以又称为线性目标函数.
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.
满足线性约束条件的解
叫做可行解.
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件
由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）
目标函数
关于x，y的函数，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的所有解
可行域
由所有可行解组成的平面区域
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题
※典型例题
考点1．求线性目标函数的最值
【例1】若变量x，y满足约束条件
且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是（ ）
A．48B．30C．24D．16
分析：
先将不等式2y－x≤4转化为x－2y≥－4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y＝＋的最优解，进而求得a，b的值．
解析：
∵
，∴
，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，
由z＝5y－x，得y＝＋.
由图知目标函数y＝＋，过点A（8,0）时，zmin＝5y－x＝5×0－8＝－8，即b＝－8.
目标函数y＝＋过点B（4,4）时，zmax＝5y－x＝5×4－4＝16，即a＝16.
∴a－b＝16－（－8）＝24，故选C.
答案：
C
点评：
解线性规划问题的步骤
变式1．设z＝2x＋y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值．
解：
作出可行域如下图．
∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z表示斜率为－2，在y轴上的截距为z的平行直线系．
由图知当直线过点A时，在y轴上的截距z最大．
当直线过点B时，在y轴上的截距z最小．
由得∴A（5,2）．由得∴B（1,1）．
∴当x＝5，y＝2时，zmax＝12；当x＝1，y＝1时，zmin＝3.
考点2．求非线性目标函数的最值
【例2】实数x，y满足不等式组求z＝的取值范围．
分析：
将理解成点（x，y）与点（－1,1）所在直线的斜率，再结合点所在的可行域进行求解．
解析：
作出不等式组表示的可行域，如下图中的阴影部分．z＝＝，所以z的几何意义是动点（x，y）与定点A（－1,1）连线的斜率．结合图可知，z的最小值为直线l1的斜率，z的最大值无限接近于直线l2的斜率．
l1的斜率k1＝kAB，l2与直线x－y＝0平行．
由得B点坐标（1,0），k1＝－.
∴z∈.
变式训练1.
（1）若x，y满足约束条件则的最大值为________．
（2）设x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为（ ）
A．[2，8]B．[4，13]
C．[2，13]D.
解：
（1）的几何意义为点（x，y）与坐标原点连线的斜率．
画出可行域，如图中阴影部分所示．
由得C（1，3），
由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.
（2）画出不等式组表示的平面区域，得可行域是三角形围成的区域，如图所示．
解方程组得即A（3，2），
∵的几何意义是可行域内的点P（x，y）与原点的距离|OP|，
当动点P位于点A时，|OP|最大，最大值为＝，
而原点与可行域内的点的距离的最小值就是原点到直线x＋y＝2的距离，即为＝，
∴目标函数z＝x2＋y2的最小值为2，最大值为13，故选C.
变式2．设x，y满足条件
（1）求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
（2）求v＝的最大值与最小值．
[解] 画出满足条件的可行域如图所示，
（1）x2＋y2＝u表示一组同心圆（圆心为原点O），且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：
当（x，y）在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过（0,0）时，u最小．又C（3,8），所以u最大值＝73，u最小值＝0.
（2）v＝表示可行域内的点P（x，y）到定点D（5,0）的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C（3,8），B（3，－3），
所以v最大值＝＝，v最小值＝＝－4.
考点3．线性规划中的参数问题
【例3】若直线y＝2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的最大值为（ ）
A．－1 B．1 C. D．2
解析：
可行域如图中阴影部分所示，由得交点A（1,2），当直线x＝m经过点A（1,2）时，m取得最大值为1，应选B.
答案：
B
点评：
由运动变化的观念让目标函数所表示的直线过可行域上的某点，求线性约束条件中的一不等式的参数值，此是逆向思维，需要数形结合解决问题．
变式3．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：
作出可行域如图阴影部分所示：
由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点M（4,4）时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2（舍去）；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点（0,2）时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M（4,4）时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知，k＝2.
答案：
2
若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是________．
解：
如右图，由得代入x－2y＝2中，解得a＝2.
[答案] 2
变式4.已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝（ ）
A．2B．9
C．3D．0
[解析] 选D 由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点（3，－3－k）时，z最小，所以－6＝2×3＋4×（－3－k），解得k＝0.
考点4．线性规划在实际中的应用
【例4】某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：
产品A（件）
产品B（件）
研制成本与搭载
费用之和（万元/件）
20
30
计划最大资
金额300万元
产品重量（千克/件）
10
5
最大搭载重
量110千克
预计收益（万元/件）
80
60
试问：
如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
分析：
→
→→
解析：
设搭载A产品x件，B产品y件，预计总收益z＝80x＋60y.
则约束条件为，化简为
作出可行域，如图，作出直线l0：
4x＋3y＝0并平移，由图象得，
当直线经过M点时z取得最大值，
由，解得，即M（9,4）．
∴zmax＝80×9＋60×4＝960（万元）．
答：
搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
变式1．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：
亩）分别为（ ）
A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50
解：
设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，
则目标函数为z＝（0.55×4x－1.2x）＋（0.3×6y－0.9y）＝x＋0.9y.
线性约束条件为即
画出可行域，如下图．
作出直线l0：
x＋0.9y＝0，
向上平移至过点B时，z取得最大值，
由求得B（30,20），故选B.
例5. 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解:
设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作直线l：
3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立解得x＝100，y＝200.
∴点M的坐标为（100,200）．
∴z最大值＝3000x＋2000y＝700000（元）．
因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
变式训练5.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示：
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
已知生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，若要该企业每天获得利润最大，则甲、乙两种产品每天应分别生产多少？
解：
设该企业每天生产甲种产品x吨、乙种产品y吨，则x，y需满足约束条件可获利润z＝3x＋4y.约束条件表示的平面区域是以（0，0），（4，0），（2，3），（0，4）为顶点的四边形及其内部，把各顶点坐标代入目标函数检验可知，目标函数在点（2，3）处取得最大值3×2＋4×3＝18，即该企业每天可获得最大利润为18万元．
故要使该企业每天获得利润最大，该企业应每天生产甲种产品2吨、乙种产品3吨．
※当堂检测
1．已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为（ ）
A．－3B.C．－5D．4
解析：
依据不等式组画出可行域，确定点（2，－1）使z＝3x＋2y得到最大值4.答案：
D
2．已知x、y满足约束条件则（x＋3）2＋y2的最小值为（ ）
A.B．2C．8D．10
解析：
画出可行域（如下图所示）．
（x＋3）2＋y2即点A（－3,0）与可行域上点（x，y）间距离的平方．显然|AC|长度最小，
∴|AC|2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10.
答案：
D
3．点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z＝x＋y的最大值为________．
解析：
不等式组所表示的可行域如右图，当平行直线系z＝x＋y过点A（2,4）时，目标函数z＝x＋y取得最大值，z最大值＝2＋4＝6.
答案：
6
4．设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1,0）之间的距离的最小值为________．
解析：
不等式组表示的区域D如图阴影部分所示．由图知点P（1,0）与平面区域D上的点的最短距离为点P（1,0）到直线y＝2x的距离d＝＝.
答案：
5．已知变量x，y满足求z＝2x＋y的最大值和最小值．
解：
作出不等式组所表示的可行域，如下图所示阴影部分．
设直线l0：
2x＋y＝0，直线l：
2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距．
显然，当直线越往上移动时，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动时，对应在y轴上的截距越小，即z越小．
作一组与直线l0平行的直线系l，上下平移，可得：
当直线l移动到直线l2时，即过点A（5,2）时，zmax＝2×5＋2＝12；当直线l移动到直线l1时，即过点B（1,1）时，zmin＝2×1＋1＝3.
6．有一根钢管，长度是4000mm，要截成长为500mm和600mm的两种毛坯钢管，且所截得的500mm毛坯钢管数量与所截得的600mm毛坯钢管数量之比大于1∶3，怎样截合理？
解析：
设截得500mm的毛坯钢管x根，600mm的毛坯钢管y根，所截得的毛坯钢管总数为z根，则有
即
作出可行域如图所示（不包括落在x轴上的边界）
目标函数为z＝x＋y，作一组平行直线x＋y＝t，经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B（8,0）点的直线，这时x＋y＝8.由x，y∈N*知（8,0）不是最优解，因此，在可行域内找整点，得到点（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）均为最优解，此时x＋y＝7.
【练习2】 若点（x，y）位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是（ ）
A．－6 B．－2 C．0 D．2
解析：
作出函数y＝|x|＝和y＝2围成的等腰直角三角形的可行域（如图阴影部分所示），则可得过交点A（－2,2）时，2x－y取得最小值－6，选A.
答案：
A
【练习3】 实数x，y满足不等式组求z＝|x＋2y－4|的最大值．
解析：
方法一：
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得B点坐标为（7,9），显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
方法二：
由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.
1．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的（ ）
A．左上方B．右上方C．左下方D．右下方
1.解析：
选D 将（0,0）代入2x－y－6，得－6＜0，（0,0）点在不等式2x－y－6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．故选D项．
2．已知点（3,1）和（－4,6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＜－1或a＞24B．－24＜a＜7C．－7＜a＜24D．a＜－24或a＞7
2.解析：
选C 要使点（3,1）和（－4,6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，必须且只需（3×3－2×1＋a）[3×（－4）－2×6＋a]＜0即可，由此解得－7＜a＜24.
3．设点P（x，y），其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为（ ）
A．10B．9C．3D．无数个
解析：
选A 作的平面区域，如图所示，
符合要求的点P的个数为10，故选A.
4．不等式组表示的平面区域是一个（ ）
A．三角形B．直角梯形C．梯形D．矩形
解析：
选C 不等式组等价于或
分别画出其平面区域，可知选C.
5．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是（ ）
A.B．C.D．
解析：
选C 排除法：
∵x，y∈N*，排除B、D又∵x与y的比例为2∶3，∴排除A，故选C.
6．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是（ ）
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数D．该直线的横截距
解析：
选C 由z＝3x－y得y＝3x－z，在该方程中－z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数．
7．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为（ ）
A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4yC．z＝x＋yD．z＝4x＋5y
解析：
选A 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z＝6x＋4y.
8．z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为（ ）
A．（0,1） B．（－1，－1）C．（1,0）D．
解析：
选C 可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除选项A，B，D，故选C.
9．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为（ ）
A．3B．1C．－5D．－6
解析：
选C 由约束条件作出可行域如图：
由z＝x＋2y得y＝－x＋，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－x＋过直线x＝－1和x－y＝1的交点A（－1，－2）时，z最小，最小值为－5，故选C.
10．实数x，y满足不等式组则z＝的取值范围是（ ）
A.B．C.D．
10.解析：
选D 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P（x，y）与定点A（－1,1）连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数z＝表示阴影部分的点与定点A（－1,1）的连线的斜率，由图可知点A（－1,1）与点（1,0）连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤z＜1.
11．在△ABC中，三个顶点分别为A（2,4），B（－1,2），C（1,0），点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为（ ）
A．[1,3]B．[－3,1]C．[－1,3]D．[－3，－1]
11.解析：
选C 先画出三角形区域（如图），然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z＝y－x的取值范围．由图求出其取值范围是[－1,3]．
12．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，＋∞）
B．[1，＋∞）
C．（0，1）
D．（－∞，－1）
12．A [解析]作出不等式组表示的平面区域（如图所示），
解方程组得即A（1,3）．要使目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3），则直线y＝ax＋z的斜率a＞1，故实数a的取值范围为（1，＋∞）．
13．已知变量x，y满足约束条件则的最大值是________，最小值是________．
解析：
由约束条件作出可行域（如图所示），目标函数z＝表示坐标（x，y）与原点（0,0）连线的斜率．由图可知，点C与O连线斜率最大；B与O连线斜率最小，又B点坐标为（，），C点坐标为（1,6），所以kOB＝，kOC＝6.故的最大值为6，最小值为.
[答案] 6
14.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
.解析：
首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点（0,5）时截距最大，此时z最大．
答案：
（0,5）
15．设z＝x＋2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是________．
解析：
画出可行域如图，
由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
则的几何意义是直线y＝－x＋在y轴上的截距，当直线过点O及直线x－y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点A时，z分别取得最小值0和最大值，故z的取值范围是.
答案：
16．已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z＝x＋3y的最大值为8，则k＝________．
－6 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图所示．
解方程组得即A，易知直线y＝－＋经过可行域上的点A时，其在y轴上的截距最大，z取得最大值，则有－＋3×＝8，解得k＝－6.
17．已知关于x，y的二元一次不等式组
（1）求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
（2）求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
19.解：
（1）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．
解方程组得C（－2,3），∴u最小值＝3×（－2）－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组得B（2,1），∴u最大值＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
（2）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，且随z变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小，
解方程组得A（－2，－3），
∴z最小值＝－2＋2×（－3）＋2＝－6.
当直线y＝－x＋z－1与直线x＋2y＝4重合时，截距z－1最大，即z最大，
∴z最大值＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.
18．已知变量x，y满足约束条件
（1）设目标函数为z＝，求z的最小值；
（2）设目标函数为z＝x2＋y2，求z的取值范围．
解：
作出不等式组表示的平面区域，即可行域（如图所示）．
（1）解方程组得即B（5，2），
由z＝＝，知z的几何意义是可行域中的点与原点O的连线的斜率．
观察图形可知zmin＝kOB＝，即z的最小值是.
（2）z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．解方程组得即C（1，1）．
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离d中，
dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝，
故所求z的取值范围为[2，29]．
19．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b（万吨）
c（百万元）
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为多少（百万元）？
解析：
可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过（1,2）点时目标函数取最小值，最小值为：
z最小值＝3×1＋6×2＝15.
§3.3.2简单的线性规划问题
1．新课引入
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由己知条件可得二元一次不等式组：
（*）
思考：
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
2．简单的线性规划问题
不等组（*）是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于
，
的一次不等式，所以又称为线性约束条件.
函数
称为目标函数,又因
是关于变量
，
的一次解析式,所以又称为线性目标函数.
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.
满足线性
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