数学新学案同步必修5第二章习题课一.docx
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数学新学案同步必修5第二章习题课一
习题课
（一）求数列的通项公式
学习目标1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2.掌握利用递
推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法.
知识点一
通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
思考
你能看出数列
（1）
：
－1,1，－1,1⋯与数列
（2）:
0,2,0,2⋯的联系吗？
由此写出数列
（2）的一
个通项公式.
答案
数列
（1）每项加1
得到数列
（2）.数列
（1）的通项公式是
an＝（－1）n，故数列
（2）的通项公式
是an＝（－1）n＋1.
梳理通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等
比数列，寻找an与n，an与an＋1的联系.
知识点二利用递推公式求通项公式
思考还记得我们是如何用递推公式an＋1－an＝d求出等差数列的通项公式的吗？
答案累加法.
梳理已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我
们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式.赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待
定系数法、换元、迭代等.
知识点三利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
思考如何用数列{an}的前n项和Sn表示an?
答案an＝
S1，n＝1，
Sn－Sn－1，n≥2.
梳理当已知Sn或已知Sn与an的关系式，可以借助上式求出通项公式，
或者得到递推公式，
再由递推公式求得通项公式
.在应用上式时，不要忘记对
n讨论.
1.数列可由其前四项完全确定.（×）
2.可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值.（√）
3.{Sn}也是一个数列.（√）
类型一通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1由数列的前n项，写出通项公式：
（1）3,5,3,5,3,5，⋯
12345
（2），，，，，⋯
5133381
（3）2，2，4，8，16，⋯
11111
（4），，，，，⋯
考点
数列的通项公式
题点
根据数列的前几项写出通项公式
解
（1）这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为
3，偶数项为
5.所以它的一个通项公式
为an＝4＋（－1）n.
（2）数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an
＝n.
n＋1
1111
（3）数列可化为1＋1,2＋2，3＋4，4＋8，5＋16，⋯，
1
所以它的一个通项公式为an＝n＋2n－1.
（4）数列可化为
1
1
1
1
1
1×2，2×3，
3×4，
4×5，
5×6，⋯，
所以它的一个通项公式为
1
.
an＝
nn＋1
反思与感悟
这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故
解决这类问题可以根据所给数列的特点
（递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列
）
联想基本数列，再考察它与基本数列的关系.
跟踪训练1
由数列的前几项，写出通项公式：
（1）1，－7,13，－19,25，⋯
（2）1，
3，
1，
7，
9，⋯
4
7
2
13
16
8，15，－24，⋯
（3）1，－579
考点
数列的通项公式
题点
根据数列的前几项写出通项公式
解
（1）数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶
数项为负，所以它的一个通项公式为
an＝（－1）n＋1（6n－5）.
1
3
5
7
9
（2）数列化为4，
7，10
，13，
16，⋯，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式
2n－1
为an＝.3n＋1
2
2
－1
2
－1
2
－1
（3）数列化为
2－1
3
4
5
3
，－
5
，
7
，－
9
，⋯，
所以数列的一个通项公式为
n
1
n＋12－1
an＝（－1）＋
.
2n＋1
类型二
利用递推公式求通项公式
命题角度1
累加、累乘
例2
（1）数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；
（2）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝n
an，求an.
3
n＋1
考点
递推数列通项公式求法
题点
一阶线性递推数列
解
（1）∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，⋯，an－an－1＝n，等式两边同时相加得
an－a1＝2＋3＋4＋⋯＋n，
即an＝a1＋2＋3＋4＋⋯＋n＝1＋2＋3＋4＋⋯＋n＝
nn＋1
.
2
（2）由条件知
an＋1
n，分别令n＝1,2,3，⋯，n－1，
＝
an
n＋1
代入上式得（n－1）个等式累乘之，
即
a2a3a4
⋯
an
1
2
3
n－1
··
＝
×××⋯×
，
a1
a2a3
an－1
2
3
4
n
an
1
2
2
∴a1＝n，又∵a1＝3，∴an＝
3n.
反思与感悟型如an＋1＝an＋f（n）的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：
第一步将递推公式写成an＋1－an＝f（n）；
第二步依次写出an－an－1，⋯，a2－a1，并将它们累加起来；
第三步得到an－a1的值，解出an；
第四步
检验a1是否满足所求通项公式，
若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘
法类似.
跟踪训练
2
（1）已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（
）
A.an＝2n－1
B.an＝2n
n（n
1）
n2
C.an
2
2
D.a
22
n
考点
递推数列通项公式求法
题点
一阶线性递推数列
答案
C
解析
n
an＋1
n
a2a3
a4
an
1
23
n1
，即
an
12
3
⋯
由an＋1＝2an，得
＝2
，即
··⋯
＝2
×2×2×⋯×2
－
＝2
＋
＋
＋
an
a1a2
a3
an－1
a1
n（n1）
n（n1）
n（n1）
＋（n－1）＝22，故an＝22a1＝22.故选C.
（2）在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1（n＝2,3,4⋯），求{an}的通项公式.
考点递推数列通项公式求法
题点an＋1＝pan＋f（n）型
解∵当n＝1时，a1＝1，
a2－a1＝1，
a3－a2＝2，
当n≥2时，
a4－a3＝3，
这n－1个等式累加得，
⋯，
an－an－1＝n－1，
an－a1＝1＋2＋⋯＋（n－1）＝
nn－1
，
2
故an＝
nn－1
＋a1＝
n2－n＋2
2
2
且a1＝1也满足该式，
n2－n＋2
*
∴an＝（n∈N）.
命题角度2构造等差比数列
例3已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.
考点递推数列通项公式求法
题点一阶线性递推数列
解递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2（an－t），即an＋1＝2an－t，则t＝－3.
故递推公式为an＋1＋3＝2（an＋3）.
bn＋1an＋1＋3
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＝an＋3＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.
反思与感悟
型如an＋1＝pan＋q（其中p，q为常数，且pq（p－1）≠0）可用待定系数法求得通项
公式，步骤如下：
第一步
假设将递推公式改写为
an＋1＋t＝p（an＋t）；
第二步
由待定系数法，解得
t＝q；
p－1
第三步
写出数列an＋q
的通项公式；
p－1
第四步
写出数列{an}通项公式.
跟踪训练3
已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.
考点
递推数列通项公式求法
题点
an＋1＝pan＋f（n）型
解设an＋1＋x×5n＋1＝2（an＋x×5n），①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n，等式两边消去
2an，
得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋
1＝2（an－5n）.②
1
＝6－5＝1≠0
n
an＋1－5n＋1
＝2，则数列{an－5
n
为首项，
由a1－5
及②式得an－5
≠0，则
}是以1
an－5n
2为公比的等比数列，则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n.
类型三
利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
例4
已知数列{an
n，若Sn＝2an－4，n∈N*
，则an等于（）
}的前n
项和为S
A.2
n＋1
B.2
n
C.2
n－1
D.2
n－2
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
答案
A
解析
因为Sn＝2an－4，所以Sn－1＝2an－1－4，两式相减可得
Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an
＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即an＝2，因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以数列{an}
an－1
是首项为
4，公比为
2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.
反思与感悟
已知Sn＝f（an
n＝f（n）解题步骤：
）或S
第一步
利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步
利用an＝Sn－Sn－1（n≥2），求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步
若求出n≥2时的{an
1＝S1求出a1，并代入{an
}的通项公式，则根据a
}的通项公式进
行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式
.如果求出的是{an
}的递推公式，则问
题化归为类型二.
跟踪训练
4
在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋⋯＋nan＝n＋1
an＋1（n∈N*），求数列{an}
2
的通项an.
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
n＋1
解由a1＋2a2＋3a3＋⋯＋nan＝2an＋1，得
n
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋⋯＋（n－1）an－1＝2an，
n＋1
an，
两式作差得nan＝
an＋1－n
2
2
得（n＋1）an＋1＝3nan（n≥2），
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2
时，nan＝2·3n－2.
1，n＝1，
于是an＝2n·3n－2，n≥2.
1.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋
1
，则通项公式
an＝________.
nn＋1
1
答案
4－n
解析
原递推公式可化为
an＋1＝an＋1－
1，
n
n＋1
1
1
1
1
则a2＝a1＋1－
2，a3＝a2＋2－
3，
a4＝a3＋1－1，⋯，an－1＝an－2＋1－
1，an＝an－1＋
1－1，逐项相加得an＝a1＋1－1，
3
4
n－2n－1
n－1
n
n
故an＝4－
1.
n
2.设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
答案
1121
解析
a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3，
再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1（n≥2），得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an
（n≥2）
2＝
，又a
3a1，所以an＋1＝3an（n≥1），S5＝
1－35
＝121.
1－3
3.如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式
an＝________.
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
答案
2n－1
解析
当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2an－1）－（2an－1－1），
∴an＝2an－1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N*.
4.已知数列{an}的前n项和Sn
＝1＋λa，其中
λ≠0.证明{a
n}是等比数列，并求其通项公式.
n
考点
an与Sn关系
题点
由Sn与an递推式求通项
解
由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝
1，a1≠0.
1－λ
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，
得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1（λ－1）＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，
an＋1
λ
所以
＝
.
an
λ－1
所以{an}是首项为
1，公比为
λ的等比数列，
1－λ
λ－1
所以an＝1
λ
n－1.
1－λλ－1
1.不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为基础.
2.利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适
用还需论证.
3.待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只
是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成立，从而可以借助等差数列或等比数列
求得通项.
4.使用递推公式或前n项和求通项时，要注意n的取值范围.
一、选择题
1.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n（n∈N*），则a100的值是（）
A.9900
B.9902
C.9904
D.11000
考点
递推数列通项公式求法
题点
an＋1＝pan＋f（n）型
答案
B
解析
a100＝（a100－a99）＋（a99－a98）＋⋯＋（a2－a1）＋a1
＝2（99＋98＋⋯＋2＋1）＋2
＝2×
99×99＋1
2
＋2＝9902.
2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
an
，则这个数列的第
n项为（）
1＋2an
A.2n－1
B.2n＋1
1
1
C.2n－1
D.2n＋1
考点
递推数列通项公式求法
题点
一阶线性递推数列
答案
C
解析∵an＋1＝
an
，∴
1＝
1＋2.
1＋2an
an＋1
an
1
1
∴an
为等差数列，公差为
2，首项a1
＝1.
1
∴an＝1＋（n－1）
·2＝2n－1，
∴an＝
1
.
2n－1
3.在数列
n
1＝2，an＋1＝an＋ln
1＋1，则an等于（
）
{a}中，a
n
A.2＋lnn
B.2＋（n－1）lnn
C.2＋nlnn
D.1＋n＋ln
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