北师大版初二数学下知识点.docx
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北师大版初二数学下知识点
第一章一元一次不等式与一元一次不等式组
知识要点
一、知识点一：
不等式的基本性质：
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
二、知识点二：
一元一次不等式组
由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：
，
。
要点诠释：
在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：
（1）不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；
（2）在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
三、知识点三：
一元一次不等式组的解集
组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.
要点诠释：
（1）求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
（2）用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：
4、知识点四：
一元一次不等式组的解法
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
解一元一次不等式组的一般步骤为：
（1）分别解不等式组中的每一个不等式；
（2）将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
（3）根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集（若没有公共部分，说明这个不等式组无解）.
要点诠释：
用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：
大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
五、知识点五：
利用不等式或不等式组解决实际问题
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即
（1）审：
认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：
设出适当的未知数；
（3）找：
找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：
根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；
（5）解：
解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：
检验是否符合题意，写出答案。
要点诠释：
在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。
注意积累利用一元一次不等式或不等式组解决实际问题的经验。
三、规律方法指导
知识要点
总结
注意问题
1．一元一次不等式组的解法
2．一元一次不等式组的应用
1．一元一次不等式组的解题步骤：
①先整理一元一次不等式组；
②分别求两个不等式的解集；
③利用数轴找到解集的公共部分；
④写出不等式组的解集
2．一元一次不等式组的应用：
①先根据题意列出一元一次不等式组；
②解这个一元一次不等式组；
③根据实际意义找出符合题意的相关整数解；
④下结论．
1．解不等式组时，容易出现两个解集不符合符号方向的错误
2．利用数轴来确定解集时，两个端点处是空心还是实心容易出现错误
3．利用一元一次不等式组解决实际问题时，容易忽视实际问题的意义
解题方法总结
1．能利用数轴找解集的尽可能应用2．利用数轴找整数解应找全面
第二章分解因式
一.知识点一：
1.分解因式：
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
2.因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
（1）整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
3.例题：
把下列各式分解因式
（1）8x－72=8（x－9）；
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）；（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
二.知识点二：
分解因式方法之一……提公共因式法
1.提公共因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:
2.概念内涵:
（1）因式分解的最后结果应当是“积”;
（2）公因式可能是单项式,也可能是多项式;
（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
3.易错点点评:
（1）注意项的符号与幂指数是否搞错;
（2）公因式是否提“干净”;
（3）多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
4.练习：
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
三.知识点三：
分解因式方法之二…………运用公式法
1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
2.主要公式:
（1）平方差公式:
（2）完全平方公式:
3.易错点点评:
因式分解要分解到底.如
就没有分解到底.
4.运用公式法:
（1）平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方;
③二项是异号.
（2）完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
5.因式分解的思路与解题步骤:
（1）先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
（2）再看能否使用公式法;
（3）用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
6.练习题：
把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）22）2x3－8x.
解：
（1）9（m+n）2－（m－n）2=［3（m+n）］2－（m－n）2
=［3（m+n）+（m－n）］［3（m+n）－（m－n）］
=（3m+3n+m－n）（3m+3n－m+n）
=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）
四.知识点四：
分解因式方法之三.......分组分解法:
1.分组分解法:
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如:
2.概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.
3.注意:
分组时要注意符号的变化.
五.知识点五：
分解因式方法之四………………十字相乘法:
1.对于二次三项式
将a和c分别分解成两个因数的乘积,
且满足
往往写成
的形式,将二次三项式进行分解.
如:
2.二次三项式
的分解:
3.规律内涵:
（1）理解:
把
分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.
（2）如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.
4.易错点点评:
（1）十字相乘法在对系数分解时易出错;
（2）分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
第三章分式
一.知识点一：
………分式
1.两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.
整式A除以整式B,可以表示成
的形式.如果除式B中含有字母,那么称
为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.
2.例题
（1）下列各式中，哪些是整式？
哪些是分式？
5x－7,3x2－1,
－5,
.
（2）①当a=1，2时，分别求分式
的值.
②当a为何值时，分式
有意义？
③当a为何值时，分式
的值为零？
2.整式和分式统称为有理式,即有:
3.进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变.
4.一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
二.分式的乘除法
1.分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
即:
2.分式乘方,把分子、分母分别乘方.
即:
逆向运用
当n为整数时,仍然有
成立.
3.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
［例2］计算：
（1）3xy2÷
;
（2）
÷
三.分式的加减法
1.分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
2.分式的加减法:
分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.
（1）同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
上述法则用式子表示是:
（2）异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;
上述法则用式子表示是:
3.概念内涵:
通分的关键是确定最简分母,其方法如下:
最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.
4.例题计算：
（1）
－
;
（2）
+
;（3）
－
四.分式方程
1.解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
2.列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意;②设未知数;
③根据题意找相等关系,列出（分式）方程;
④解方程,并验根;⑤写出答案.
3.例题：
解方程：
（1）
=
;
（2）
+
=2.
［注意］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
解：
（1）
=
去分母，方程两边同乘以x（x－1），得：
3x=4（x－1）
解这个方程，得：
x=4
检验：
把x=4代入得：
x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x=4.
第四章相似图形（中考重点）
一.线段的比
1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:
CD=m:
n,或写成
.
2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
3.注意点:
①a:
b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:
b≠b:
a,
与
互为倒数;
⑤比例的基本性质:
若
则ad=bc;若ad=bc,则
更比性质
可变为
合比性质
，可变为
或
反比性质
，可变为
等比性质
（b+d+……+n不等于0），可变为
二.黄金分割
1.如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
三.相似多边形
1.一般地,形状相同的图形称为相似图形.
2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
四.相似三角形
1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
3.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:
证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
5.相似三角形周长的比等于相似比.
6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
五.探索三角形相似的条件
1.相似三角形的判定方法:
一般三角形
直角三角形
基本定理:
平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例.
①一个锐角对应相等;
②两条边对应成比例:
a.两直角边对应成比例;
b.斜边和一直角边对应成比例.
2.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2,l1//l2//l3,则
.
3.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
六.相似的多边形的性质：
相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
七.图形的放大与缩小：
1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
第五章数据的收集与处理
一.知识点一：
总体，个体样本
1.所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.
2.为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;
为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.
3.抽样调查的特点:
调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.
4.普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
二.知识点二：
频数与频率；极差、方差或标准差
1.在统计学中，将样本按照一定的方法分成若干组，每组内含有这个样本的个体的数目叫做频数．某个组的频数与样本容量的比值叫做这个组的频率．有了频数（或频率）就可以知道数的分布情况．
2.极差、方差或标准差。
明白极差、方差、标准差是刻画数量离散程度的几个统计量.
极差=最大值－最小值，标准差是方差的算术平方根。
即标准差
方差定义：
设有n个数据
，各数据与它们的平均数
的差的平方分别是
。
。
，
，
我们用它们的平均数，即用
第六章证明
（一）
一.定义与命题
1.一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.
定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.
2.可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.命题的结构：
题设与条件。
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
3.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.
4.有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
5.根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
二.为什么它们平行
1.平行判定公理:
同位角相等,两直线平行.（并由此得到平行的判定定理）
2.平行判定定理:
同旁内互补,两直线平行.
3.平行判定定理:
同错角相等,两直线平行.
三.如果两条直线平行
1.两条直线平行的性质公理:
两直线平行,同位角相等;
2.两条直线平行的性质定理:
两直线平行,内错角相等;
3.两条直线平行的性质定理:
两直线平行,同旁内角互补.
四.三角形和定理的证明
1.三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
2.一个三角形中至多只有一个直角
3.一个三角形中至多只有一个钝角
4.一个三角形中至少有两个锐角
五.关注三角形的外角（任何多边形的外角和都是360°）
三角形内角和定理的两个推论:
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
7、课后作业
1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;2）9－12t+4t2=（3－2t）2;
3）y2+y+
=（y+
）2;4）25m2－80m+64=（5m－8）2;
5）
+xy+y2=（
+y）2;6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
8.课后作业
（1）（x+y）2+6（x+y）+9=［（x+y）+3］2=（x+y+3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2=［a－（b+c）］2=（a－b－c）2;
（3）4xy2－4x2y－y3=y（4xy－4x2－y2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;
（4）－a+2a2－a3=－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.
例2.解方程：
（1）
=
;
（2）
+
=2.
［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
解：
（1）
=
去分母，方程两边同乘以x（x－1），得：
3x=4（x－1）
解这个方程，得x=4
检验：
把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x=4.
（2）
（2）
+
=2
解：
去分母，方程两边同乘以（2x－1），得：
10－5=2（2x－1）
解这个方程，得：
x=
检验：
把x=
代入原方程分母得：
2x－1=2×
－1=
≠0.
所以原方程的根为x=
.
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