人教版初中数学八年级下册《181 平行四边形》同步练习卷4.docx

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人教版初中数学八年级下册《181平行四边形》同步练习卷4

人教新版八年级下学期《18.1平行四边形》

同步练习卷

一．解答题（共20小题）

1．在△ABC中，AB＝AC＝6，点D为BC的中点，点E为AC的中点，连接DE，求DE的长．

2．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数．

3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．

（1）求证：

DE＝CF；

（2）求EF的长．

4．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：

三角形的中位线　　于第三边，并且　　；

（2）证明：

三角形中位线定理．

已知：

如图，DE是△ABC的中位线．

求证：

　　．

证明：

5．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：

CD＝EF．

6．已知：

如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：

OE＝OF．

7．如图，在▱ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：

AF＝CE．

8．如图，在▱ABCD中，延长BA到F，使得AF＝BA，连接CF交AD于点E，求证：

AE＝DE．

9．已知：

如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．求证：

AE＝CF．

10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE．

（1）求证：

△BAE≌△DCF；

（2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

11．如图，已知：

四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC；四边形BEFC中，BC＝EF，BE＝CF．讨论图共有几个平行四边形？

并指出相应的平行四边形（不须证明）

12．如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：

四边形OPMN是平行四边形．

13．已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

14．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：

四边形BCEF是平行四边形．

15．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

16．如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝

AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB＝2，AD＝3，∠A＝60°，求CE的长．

17．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连结BE．

（1）求证：

四边形BCFD是平行四边形．

（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

18．如图，分别延长▱ABCD的边AB、CD至点E、点F，连接CE、AF，其中∠E＝∠F．求证：

四边形AECF为平行四边形．

19．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．

（1）求证：

四边形AECF是平行四边形；

（2）如果AE＝3，EF＝4，求AF、EC所在直线的距离．

20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝5，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：

四边形BDFC是平行四边形．

（2）若BD＝BC，求四边形BDFC的面积．

人教新版八年级下学期《18.1平行四边形》2019年同步练习卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共20小题）

1．在△ABC中，AB＝AC＝6，点D为BC的中点，点E为AC的中点，连接DE，求DE的长．

【分析】利用三角形中位线定理可以直接求得DE的长度．

【解答】解：

∵点D为BC的中点，点E为AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝

AB．

又AB＝AC＝6，

∴DE＝3．

【点评】本题考查了三角形的中位线的性质：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

2．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数．

【分析】利用等腰三角形的三线合一结合∠ABC的度数，可求出∠DBC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出∠EDB的度数．

【解答】解：

∵AB＝BC，点D是AC的中点，

∴∠DBC＝

∠ABC＝42°．

又∵DE∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC＝42°．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一求出∠DBC的度数是解题的关键．

3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．

（1）求证：

DE＝CF；

（2）求EF的长．

【分析】

（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；

（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出答案．

【解答】解：

（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝

BC，

∵EF∥CD

∴四边形DEFC是平行四边形，

∴DE＝CF．

（2）∵四边形DEFC是平行四边形，

∴DC＝EF，

∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，

∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，

∴DC＝EF＝

．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．

4．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：

三角形的中位线　平行　于第三边，并且　等于第三边的一半　；

（2）证明：

三角形中位线定理．

已知：

如图，DE是△ABC的中位线．

求证：

　DE＝

BC，DE∥BC　．

证明：

【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长DE到F，使DE＝EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠ADE，再求出BD＝CF，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DF∥BC，DF＝BC．

【解答】解：

（1）定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

（2）已知：

△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

求证：

DE＝

BC，DE∥BC，

证明：

如图，延长DE到F，使DE＝EF，连接CF，

∵点E是AC的中点，

∴AE＝CE，

在△ADE和△CEF中，

，

∴△ADE≌△CEF（SAS），

∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，

∴AB∥CF，

∵点D是AB的中点，

∴AD＝BD，

∴BD＝CF，

∴BD∥CF，

∴四边形BCFD是平行四边形，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴DE∥BC且DE＝

BC．

故答案为：

平行；等于第三边的一半；DE＝

BC，DE∥BC．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．

5．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：

CD＝EF．

【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，证明四边形DECF是矩形，根据矩形的性质证明．

【解答】证明：

∵DE、DF是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DF∥AC，

∴四边形DECF是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，

∴平行四边形DECF是矩形，

∴CD＝EF．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

6．已知：

如图，平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：

OE＝OF．

【分析】欲证明OE＝OF，只要证明△AOE≌△COF（AAS）即可．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，

∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE＝OF．

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．如图，在▱ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：

AF＝CE．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得出∠B＝∠D、AB＝DC、AD＝BC，再由ASA证得△ABE≌△CDF，得出BE＝DF即可得出结论．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，AB＝DC，AD＝BC，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴BE＝DF

又∵AD＝BC

∴AF＝CE．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．

8．如图，在▱ABCD中，延长BA到F，使得AF＝BA，连接CF交AD于点E，求证：

AE＝DE．

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：

∵▱ABCD，

∴AB＝CD，BF∥DC，

∴∠F＝∠ECD，∠FAE＝∠D，

∵AE＝BA，

∴AF＝DC，

在△AFE与△DCE中

，

∴△AFE≌△DCE（ASA），

∴AE＝DE．

【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．

9．已知：

如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．求证：

AE＝CF．

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．

【解答】证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠ABE＝∠CDF，

又∵BE＝DF，

在△ABE与△CDF中

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）

∴AE＝CF．

【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．

10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE．

（1）求证：

△BAE≌△DCF；

（2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

【分析】

（1）只要证明AE＝CF，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD即可根据SAS证明；

（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明；

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠DCF，

∵AF＝CE，

∴AE＝CF

∴△BAE≌△DCF．

（2）解：

四边形EBFD是菱形．

理由如下：

连接BF、DE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，OA＝OC，

∵AE＝CF

∴OE＝OF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵BD⊥EF，

∴四边形BEDF是菱形．

【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

11．如图，已知：

四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC；四边形BEFC中，BC＝EF，BE＝CF．讨论图共有几个平行四边形？

并指出相应的平行四边形（不须证明）

【分析】由题意可证四边形ABCD，四边形BEFC是平行四边形，分A，B，E共线和不共线讨论，可得结论．

【解答】解：

∵AB＝DC，AB∥DC

∴四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，AD＝BC

∵BC＝EF，BE＝CF

∴四边形BEFC是平行四边形

∴BC∥EF，EF＝BC

∴AD∥EF，AD＝EF

∴四边形AEFD是平行四边形

当A，B，E三点共线时，平行四边形有3个，分别是▱ABCD，▱BEFC，▱AEFD；

当A，B，E三点不共线时，平行四边形有2个，分别是▱ABCD，▱BEFC．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，分类思想，利用分类思想解决问题是本题的关键．

12．如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：

四边形OPMN是平行四边形．

【分析】由题意可证∠MON＝90°＝∠PMO，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得PM＝ON，OP＝MN，即结论可证．

【解答】证明：

在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，

因此，OM2+ON2＝42+32＝25，MN2＝52＝25

∴OM2+ON2＝MN2

∴△MON是直角三角形．

∴∠MON＝∠PMO＝90°

因此，在Rt△POM中，OP＝x﹣3，OM＝4，MP＝11﹣x，

由勾股定理可得，OM2+MP2＝OP2即：

42+（11﹣x）2＝（x﹣3）2

解得：

x＝8

∴OP＝x﹣3＝8﹣3＝5，MP＝11﹣x＝11﹣8＝3

∴OP＝MNMP＝ON

∴四边形OPMN是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明∠MON＝90°是本题的关键．

13．已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

【分析】只要证明AB∥CD即可解决问题．

【解答】证明：

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

在Rt△ABE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF，

∴ABE＝∠CDF，

∴AB∥CD，∵AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

14．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：

四边形BCEF是平行四边形．

【分析】连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，首先得出四边形ABDE是平行四边形，进而得出OF＝OC得出四边形BCEF是平行四边形．

【解答】证明：

连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，

∵AB

DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴OB＝OE，OA＝OD，

∵AF＝DC，

∴OF＝OC，

∴四边形BCEF是平行四边形．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形ABDE是平行四边形是解题关键．

15．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

【分析】首先利用平行线的性质与判定方法得出∠DAE＝∠BCF，进而利用AAS得出△ADE≌△CBF，即可得出AD

BC，即可得出答案．

【解答】证明：

∵∠ADB＝∠CBD，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BCF，

在△ADE和△CBF中

∵

，

∴△ADE≌△CBF（AAS），

∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，正确得出△ADE≌△CBF（AAS）是解题关键．

16．如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝

AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．

（1）求证：

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB＝2，AD＝3，∠A＝60°，求CE的长．

【分析】

（1）利用平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE＝FC，DE∥FC，进而得出答案；

（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵DE＝

AD，F是BC边的中点，

∴DE＝FC，DE∥FC，

∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：

过点D作DN⊥BC于点N，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，

∴∠BCD＝∠A＝60°，

∵AB＝2，AD＝3，

∴FC＝1.5，NC＝

DC＝1，DN＝

，

∴FN＝

，则DF＝EC＝

＝

．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．

17．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连结BE．

（1）求证：

四边形BCFD是平行四边形．

（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

【分析】

（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

【解答】

（1）证明：

∵点D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE∥BC．

∵CF∥AB，

∴四边形BCFD是平行四边形；

（2）解：

∵AB＝BC，E为AC的中点，

∴BE⊥AC．

∵AB＝2DB＝4，BE＝3，

∴AE＝

＝

，

∴AC＝2AE＝2

．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

18．如图，分别延长▱ABCD的边AB、CD至点E、点F，连接CE、AF，其中∠E＝∠F．求证：

四边形AECF为平行四边形．

【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC，由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF＝CE，DF＝BE，可得AE＝CF，则可得结论．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC

∴∠ADF＝∠CBE，且∠E＝∠F，AD＝BC

∴△ADF≌△CBE（AAS）

∴AF＝CE，DF＝BE

∴AB+BE＝CD+DF

∴AE＝CF，且AF＝CE

∴四边形AECF是平行四边形

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键．

19．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．

（1）求证：

四边形AECF是平行四边形；

（2）如果AE＝3，EF＝4，求AF、EC所在直线的距离．

【分析】

（1）根据垂直的定义得到∠AED＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）设AF、EC所在直线的距离为h，由垂直的定义得到∠AEF＝90°，根据勾股定理得到AF＝

，根据平行四边形的面积公式即可得到结论

【解答】

（1）证明：

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED＝∠CFB＝90°，

∴AE∥CF，

在▱ABCD中，∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

又∵AD＝CB，

∴△ADE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：

在▱AECF中，AF∥EC，

设AF、EC所在直线的距离为h，

∵AE⊥BD，

∴∠AEF＝90°，

∴AF＝

，

∵S四边形AECF＝AE•EF＝AF•h，

∴h＝

＝2.4，

∴AF、EC所在直线的距离是2.4．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是证明四边形ABCDAECF是平行四边形．

20．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝5，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：

四边形BDFC是平行四边形．

（2）若BD＝BC，求四边形BDFC的面积．

【分析】

（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．

【解答】

（1）证明：

∵∠A＝∠ABC＝90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE＝∠DFE，

又∵E是边CD的中点，

∴CE＝DE，

在△BEC与△FED中，

，

∴△BEC≌△FED，

∴BE＝FE

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）解：

∵BD＝BC＝5，

∴AB＝

＝

＝4，

∴四边形BDFC的面积＝BC•AB＝5×4＝20．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．