广东海洋大学10--15第二学期高数(试题与答案)Word文档格式.doc
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总分
阅卷教师
各题分数
24
14
28
6
100
实得分数
一.填空（3×
8=24分）
1.设，，，则
2.设，，则
3.曲面在点处的切平面方程为
4.将平面上的曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为
5.函数的驻点为
6.设为连接到点的直线段，则
7.幂级数的收敛半径为
8.微分方程的通解为
二.计算题（7×
2=14分）
1.设，求.
2.设函数是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，求.
三.计算下列积分（7×
4=28分）
1.，其中是由,及所围成的闭区域。
2.证明曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值。
3.计算,其中是球面的外侧。
4.计算，其中是由围成的闭区域。
四.计算题（7×
1.判别级数是否收敛?
若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
2.将函数展开为的幂级数。
3.求微分方程满足初始条件的特解。
4.求微分方程的通解。
五.证明（6分）
2014-2015学年第二学期
《高等数学》A卷（参考答案及评分标准课程号：
19221101×
2
一、填空（3×
1.；
2.；
3.；
4.4.；
5.；
6.；
7.；
8.
二、计算题（14分）
1.,,（4分）
（3分）
2.令（1分），得，
则，（4分）
则.（2分）
三．计算下列积分（7×
1.原式
2.设，有，
所以曲线积分与路径无关。
（4分）
原式=（3分）
3.设表示围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式有
原式
4.原式
四．1.令，则，且，所以级数
收敛。
（3分）
又，而级数发散，所以级数发散。
因此级数条件收敛。
（1分）
2.因为，（4分）
所以
.（3分）
3.设，
则（3分）
=
=（2分）
代入初始条件得，所以特解为.（2分）
4.特征方程为，特征根为
所以对应的齐次方程的通解为.（4分）
设是的特解，则
所以原方程的通解为（3分）
五．积分区域为：
，更换积分次序有
（6分）
广东海洋大学2013—2014学年第二学期
21
32
5
7=21分）
1.设,，则
2.过点且与轴垂直相交的直线方程为
3.过与平面平行的平面方程为
4.函数的驻点为
5.幂级数的收敛半径为
6.曲线在面上的投影曲线的方程为
7.微分方程满足的特解为
1.设，求.
2.设是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，求.
1.，其中是由轴轴以及直线所围成的闭区域。
2.证明曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值。
3.计算,其中是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。
四.计算题（8×
4=32分）
1.判别级数是否收敛。
2.将函数展开为的幂级数。
3.求微分方程的通解。
4.求微分方程的通解。
五.证明（5分）
试题共6页加白纸3张
《高等数学》试题参考答案和评分标准
5.幂级数的收敛半径为1
6.曲线
7.微分方程
两边对求导，
（1）
（3）
两边对求导，，（3）
解：
区域D可表示为
（2）
=
（2）
设则
（2）
所以曲线积分与路径无关
（2）
原式==（3）
3.计算,其中是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。
设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式
原式=（3）
=
（1）
=
（2）
==
（1）
区域D在极坐标下可表示为，
（2）
原=（3）
=
（2）
解：
（4）
所以级数收敛（4）
2.将函数展开为的幂级数。
（4）
，（4）
的通解为，
（2）
设原方程的通解为，代入方程得
，得（4）
原方程的通解为
（2）
特征方程为，特征根为
（2）
对应的齐次方程的通解为
（2）
是方程的一个特解，
（2）
原方程的通解为
（2）
五.证明（5分）
证明：
设区域D为则
（2）
区域D可表示为
=
广东海洋大学2012—2013学年第二学期
1.设,，若=2，则
2.过点且与平面平行的平面方程为
3.设曲线，则=
5.幂级数的收敛域为
6.曲线
1.，其中是由两坐标轴以及所围成的闭区域。
2.设曲线积分在整个平面内与路径无关，求常数，并计算积分值。
3.计算,其中是圆锥体的整个表面的外侧。
3.求微分方程的通解。
4.求微分方程的通解。
五.设级数收敛，证明级数发散。
（5分）
广东海洋大学2011—2012学年第二学期
《高等数学》课程试题答案和评分标准
1.设,，则= 1，
2.过点且垂直于直线的平面方程为
3.设曲线，则=
4.改变积分次序=
6.函数在点处的梯度为
7.微分方程的通解为
（2）
（2）
（2）
=
（1）
在方程两边对x求偏导数，
（1）
（2）
得，
（1）
在方程两边对y求偏导数，
1.，其中是由直线以及所围成的闭区域。
区域D可表示为，
（1）
（3）
=
（2）
=
（1）
2.设曲线积分在整个平面内与路径无关，求常数，并计算积分值。
，所以
（2）
3.计算,其中是球面的外侧。
==8
（1）
4.，其中是由围成的闭区域。
=
（1）
=
（1）
1.0判别级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。
=发散，
（2）
单调减少，，（3）
所以收敛，并且是条件收敛。
（3）
（2）
，
（2）
原方程的通解为
（2）
五.设级数收敛，证明级数也收敛。
证：
（2）
而收敛，也收敛。
（1）
由比较判别法知，原级数收敛。
（2）
《高等数学》试题答案和评分标准
一、填空（3×
1.设，则 ，
2.过点且与平面垂直的直线方程为
3.设曲线，则=
4.改变积分次序=
5.函数的傅立叶级数在x=处收敛于
6.函数在点处的梯度为
7.微分方程通解为
2.，其中是由围成的闭区域。
3.设曲线积分在整个平面内与路径无关，求常数，并计算积分值。
4.计算,其中是区域的整个表面的外侧。
1.判别级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。
3.求微分方程的通解。
试题答案和评分标准
1.设，则 -1，
2.过点且与平面垂直的直线方程为
5.函数的傅立叶级数在x=处收敛于0
7.微分方程通解为
（2）
在方程两边对x求偏导数，
（1）
（2）
得，
（1）
得，
（1）
区域D可表示为，
（1）
（3）
=
（2）
=
（1）
原=（3）
=
（1）
=
（1）
原式==1（3）
4.计算,其中是区域的整个表面的外侧。
原式=（3）
=
（1）
=4
（1）
=发散，
（2）
单调减少，，（3）
（3）
，
（2）
的通解为，
（2）
，得（4）
特征方程为，特征根为
（2）
对应的齐次方程的通解为
（2）
是原方程的一个特解
（2）
证：
（2）
（1）
（2）
试题共6页加白纸2张
密
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