高三总复习排列组合二项式定理和概率.docx
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高三总复习排列组合二项式定理和概率
高三总复习排列组合二项式定理和概率
一、本讲进度
«排列、组合、二项式左理和概率》
二、本讲要紧内容
1、排列数、组合数的运算、化简、证明等：
会解排列、组合应用题，把握常见应用题的处理思路。
2、把握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的咨询题。
3、明白得随机事件的槪率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。
三、复习指导
1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直截了当解题。
它们的共同点差不多上把一个事件分成假设干个分事件来进行运算。
只只是利用分类运算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续假设干步才能完成的那么是分步。
利用分类计数原理，重在分”类"，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的咨询题，常先分类再分步。
2、排列数与组合数差不多上运算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区不。
排列数公式：
A：
―如-2）mr乔而'当丹时，K-中m,nGN.,mWn,规立0!
二1
n（n一l）（n-2）・・[n-（m-l）]_n!
m!
m!
（n-m）!
组合数性质：
CT+C：
"=C”|m,规定C；；=l,•其中m,hGNmmWn
3、处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：
直截了当法，间接法
（2）两种途径：
元素分析法，位這分析法
（3）对排列组合的混合题，一样先选再排，即先组合再排列。
弄淸要完成什么样的事件是前提
（4）基此题型及方法：
捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，平均分组法，逆向摸索法等
4、二项式住理
（a+b）11=C；；an+C^an"Ib+.+C^an"rbr+---4-Cjbn
通项公式Tr+I=C^an",br,r=0,b2,…，n
二项式系数的性质：
（1）对称性，在展开式中，与首末两端''等距离"的两个二项式系数相等，即
（2）增减性与最大值：
在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n是偶数
nn-ln*l
时，中间一项C?
最大；当n是奇数时，中间两项C可，C可相等，且为最大值;
⑶U+C\+C：
+…+C：
=2g+C：
+C：
+・・・=C\+U+◎+•・・
5、概率
（1）概率是频率的近似值，两者是不同槪念
（2）等可能事件中概率P（A）=-,P⑷G[0,1]
n
（3）互斥事件A,B中有一个发生的概率：
加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）特例：
B=A时，P（A）+P（瓦）=1,即对立事件的概率和为1
（4）相互独立事件A,B同时发生的概率P（A・B）=P（A）P（B）
（5）事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率PMk）二GP（1-P严，其中P为事件A在一次试
验中发生的概率，此式为二项式[（1-P）+P]n展开的第k+1项
四、典型例题
例1、用n种不同颜色为以下两块广告牌着色（如图），要求在①，②，③，④个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色。
（1）假设尸6,为甲着色时共有多少种不同方法？
（2）假设为乙着色时共有120种不同方法，求n。
解：
完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定决的着色方法数。
因此
（1）为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法。
••・共有着色方法6X5X4X4=480种
（2）与①的区不在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n（n-l）（n-2）（n-3）
由n（n-l）（n-2）（n-3）=120
（n'~3n）（n__3n+2）-120-0即（n3-3n）s+2（n:
-3n）-12X10=0•*.rf-311-10二0
•••n=5
例2、运算以下各题：
⑴2A#_A：
~6!
+5!
〔2）（C仏+C仏）*A：
（x）
（3）C；+C：
+C：
+…+C：
o
『7!
-6!
_（7X6-6）x5!
_36小心6!
+5!
=（6+l）x5!
=T
原式二喘"需虫：
卄严士
A3
（3）原式二（C；+C；）+C：
+…C器=（C：
+C：
）+C；+…+（2缶
=（C；+C；）+C：
+…+<4=…==165
例3、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法?
（1）平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）平均分成三份，每份2本；
（3）甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本:
（4）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本：
（5）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本：
（6）分成三份，一份4本，另两份每份1本；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本〔均只要求列式）解：
⑴c：
W：
（2）W冬
（3）C；・C：
・C；・A；
⑷C：
W
A；
■
「4
⑹C*-C*.-4
A；
（7）C；Cj
评注：
有关排列组合混合题常常是先组合再排列。
例4、四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）
A、150种B、147种C、144种D、141种
解：
从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情形有三类。
第一类，取出的4个点位于四而体的同一个而内，有4C：
种：
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共而，有6种：
第三类，由中位线构成的平行四边形（英两组对边分不平行于四面体相对的两条棱〕，它的4个点共而，有3种。
以上三种情形不合要求应减掉，因此不同的取法共有C；o-4C：
-6-3=141（种）
例5、求（4+2x+x:
）（2-x）7的展开式中€的系数。
解：
（4+2x+£）（2-x）t=（8-x3）（x-2）6
=（8-x8）[（x*-2C61xs+（-2）:
CsSx4+（-2）sCg3x3+（-2）Cx"*…]
含x‘的项为-2X8XCJ・x5-（-2）UxJ-336芒
••・的系数为-336
例6、（仮+击）n的展开式前三项中的X的系数成等差数列。
（1）求展开式里所有的X的有理项；
（2）求展开式里系数最大的项。
解:
⑴・・•Cj=l,C冷弓,C；（l）2=ln（n-1）
由题设可知2上=1+丄1】（1】一1）,n2一9n+8=0
28
解得n二8或n=l（舍去）
当n二8时，通项T“]=C；（Vx）8-r-（2^/x）-r=C^-2-rx4-^
据题意，4-兰必为整数，从而可知:
r必为4的倍数，而0WrW8
•••r=0,4,8,故x的有理项为T|=xXTs=—x,T9=——-8256x2
（3）设第:
r+1项的系数t円最大，明显3/0,故有也21且Jwi
trtr+l
9-r
/.r=2或r=3所求项为T3=7x2和T4=7x°
例7、设a〉l,nGN,且n$2,求证：
Va-1<-_-
n
证明：
设右-1=X,那么（x+D^a
欲证原不等式，即证nx<（x+l）B-l,其中x>0
T（x+l）n=C；xn+c]1xn~,+---+C；-,x+l>C；_,x+l
即（x+l）=>nx+l,原不等式成立。
评注：
由于（a+b）「的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似运算或证明不等式的目的。
例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求以下事件的概率：
（1）取到的2只差不多上次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只：
（3）取到的2只中至少有一只正品。
解：
从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6：
二36种不同取法
（1）取到的2只差不多上次品情形为2匚4种，因而所求概率为；
369
（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：
第一次取到正品，第二次取到次品：
及第一次
取到次品，第二次取到正品。
因而所求概率为p=—+—=-
36369
（3）由于''取到的两只中至少有一只正品"是事件''取到的两只差不多上次品"的对立事件，因而所求概率为p=L
99
例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分不为1和丄，求：
34
（1）恰有1人译出的密码的概率；
（2）至多1人译出的密码的槪率；
99
（3）假设达到译出的密码的槪率为至少需要多少个乙如此的人。
100
解：
记"甲译出密码"为事件A,''甲译不出密码"这事件瓦；记"乙译岀密码"为事件B,''乙译不出密码"为事件R：
''两人都译岀密码"为事件C,''两人都译不出密码"为事件D：
''恰有1人译出密码"为事件E；''至多1人译岀密码"为事件F。
（1）''恰有1人译出密码"是包括2种情形：
一种是AB,另一种是ABo这两种情形不能同时发生，是互斥的。
————11115
•••P（E）=P（AB）+P（BB）=P（A）・P（B）・P（A）P（B）=Hl—7）+（l一右
343412
（2）''至多1人译岀密码"包括两种情形：
"2人都译不岀密码"或"恰有1人译岀密码"，即事件D+E,且事件D、E是互斥的
•••P（F）=P（D）+P（E）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=l+—=—
21212
11QO
（3）n个乙如此的人都译不岀密码的概率为（1-丄）"，依照题意得：
1-（1-丄）n=—
44100
解得：
n=16
例10、某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根,求他发觉用完一盒时另一盒还有r根（lWrWn）的概率。
解析：
由题意知：
数学家共用了2n-r根火柴，英中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。
由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的槪率是丄，他不从此盒中取岀一根火柴的概率也是丄。
22
由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：
C黑（$（1-纽JC黑（£严
五、同步练习
（1）选择题
1、某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，那么不同的座法共有
Ax60种B、112种C、242种D、672种
2、某同学从6门课中选学2门，其中有2门课上课时刻有冲突，另有2门不承诺同时选学，那么该同学可选学的方法总数有
（V7+l）4（x-l）5展开式中，x‘的系数为
11、在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，那么事件A在一次试验中发生的概率P的取值范畴是
A、[0.4,1]B、（0,0.4]C、（0,0.6]D、[0.6,1）
12、一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一个零件装配机器，假设第一次取得合格品的概率是P”第二次取得合格品的概率是P"那么
Ax匕＞匕B、Pt=P：
C、P：
＜P3D、Px=2P：
13、一个学生通过某种英语听力测试的槪率是1/2,他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的槪率大于0・9,那么n的最小值为
Ax3B、4C、5D、6
14、甲、乙两人投篮命中的概率分不为p、q,他们各投两次，假设P二1/2,且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7/36,那么q的值为
A.--Cx-D.-
5452
（二）填空题
15、空间12个点，其中5个点共而，此外无任何4个点共而，这12个点最多可决定个不
同的平而。
16、（4+2x+x:
）（2-x）7展开式中x'的系数为」
17、l_gc出C：
—…l）n占C：
；二。
18、有1个数字难题，在半小时内，甲能解决它的概率是丄，乙能解决它的概率是丄，两人试图独立
23
地在半小时内解决它，那么：
两人都未解决的概率为:
咨询题得到解决的概率为。
19、一次考试出了10个选择题，每道题有4个可供选择的答案，英中1个是正确的，3个是错误的，
某学生只明白5个题的正确答案，对苴他5个题全靠猎回答，那么那个学生卷而上正确答案许多于7个题的概率是。
（3）解答题
20、某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体冇、美术共6节课，假如第1节不排体育，最后1盯不排数学，那么共有多少种不同的排课表的方法。
21、有甲、乙、丙三位老师，分到6个班上课：
（1）每人上2个班课，有多少种分法？
（2）甲、乙都上1个班课，丙上4个班课，有多少种分法？
（3）2人各上1个班课，1个人上4个班课，有多少种分法？
22、x（1-x）k+x3（l+2x）8+x3（l+3x）13的展开式中，含x”的系数是144,求k的值并求出含x‘项的系数等于多少？
23、某气象站天气预报的准确率为80%,求：
（1）5次预报中恰有4次准确的概率：
（2）5次预报中至少有4次准确的概率（结果保留2位有效数字
24、有6个房间安排4个旅行者住，每人能够进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求以下事件的概率：
（1）事件A：
指泄的4个房间各有1人：
（2）事件B：
恰有4个房间中各有1人：
（3）事件C：
指泄的某个房间中有2人：
（4）事件D：
第1号房间有1人，第2号房间有3人。
25、有甲、乙两批种子，发芽率分不为0.8,0.7,从两批种子中各取1粒，求：
（1）2粒种子都能发芽的概率；
（2）至少有1粒种子发芽的槪率；
（3）恰好有1粒种子发芽的槪率。
26、如图构成系统的每个元件的可靠性为r（0
求图中两种系统的可靠性。
（1）
（2）
参考答案
（-）选择题
1、B
2、B
3.B
A5.D
6.D
7、A
8.C
9xC10、C
11sA
12、B
13、B
14xC
（二）
填空题
1只9111A
-336
1
17u
18.
（1）
1/3
（2）
2/3
19、0.3671875
▲2、一.
n+1
（三）
解答题
20、504
21.
（1）
90
（2）30
⑶
9022、4,-3
23.
（1）
0.41
⑵
0.74
1
5
25
1
21s
（1）
（2）
（3）
（4）——
54
18
216
324
25s
（1）
0.56
⑵
0.91
（3）t
D・38
26.
（1）
rB（2-rB）
（2）rB（2-r）B
（2）比
（1）可靠
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