北京高考数学专项复习 排列组合与二项式.docx

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北京高考数学专项复习排列组合与二项式

2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷

一．选择题（共16小题）

1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

A．1440种B．960种C．720种D．480种

2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　）

A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个

3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（　　）

A．C1214C412C48B．C1412A124A84

C．

D．C1412A124C84A33

4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（　　）

A．6B．12C．15D．30

5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（　　）

A．C124C84C44种B．3C124C84C44种

C．C124C84A33种D．

种

6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（　　）

A．480B．240C．120D．96

7．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（　　）

A．120个B．480个C．720个D．840个

8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（　　）

A．36个B．24个C．18个D．6个

9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（　　）

A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种

10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（　　）

A．24种B．18种C．12种D．6种

11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）

A．24B．18C．12D．6

12．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）

A．324B．328C．360D．648

13．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（　　）

A．8B．24C．48D．120

14．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（　　）

A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P943

15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（　　）

A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72

16．若（1+

）5=a+b

（a，b为有理数），则a+b=（　　）

A．45B．55C．70D．80

二．填空题（共10小题）

17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　　．

18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　　种．

19．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有　　个．（用数字作答）

20．

的展开式中常数项为　　；各项系数之和为　　．（用数字作答）

21．在

的展开式中，x2的系数为　　（用数字作答）．

22．若

展开式的各项系数之和为32，则n=　　，其展开式中的常数项为　　．（用数字作答）

23．

展开式中的常数项是　　．

24．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为　　．（用数字作答）

25．在（2+x）5的展开式中，x3的系数为　　（用数字作答）

26．在

的展开式中，x3的系数是　　．（用数字作答）

2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

A．1440种B．960种C．720种D．480种

【分析】因为2位老人不排在两端，所以从5名志愿者中选2名排在两端，因为2位老人相邻，所以把2位老人看成一个整体，与其他元素进行排列，注意整体之间的排列．

【解答】解：

可分3步．

第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有A52=20种排法，

第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A44=24种排法

第三步，2名老人之间的排列，有A22=2种排法

最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法

故选B

【点评】本题主要考查了有限制的排列问题的解决，掌握这些常用方法．

2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　）

A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个

【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，先选两个字母，第一个有26种选法，由于字母可以重复，第二个也有26种选法，字母后面的4个数字，可以从10个数字中选4个排列，根据分步计数原理得到结果．

【解答】解：

本题是一个分步计数原理，

先选两个字母，第一个有26种选法，

由于字母可以重复，第二个也有26种选法，

字母后面的4个数字，可以从10个数字中选4个排列，共有A104种结果，

根据分步计数原理知共有26×26×A104，

故选A．

【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．

3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（　　）

A．C1214C412C48B．C1412A124A84

C．

D．C1412A124C84A33

【分析】先从14人中选12人，有C1412种选法，早班从12人中选取4人，中班从剩余的8人中选4人，剩余的4人是晚班；开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84，即可得答案．

【解答】解：

先从14人中选12人，有C1412种选法，

早班从12人中选取4人，有C124种选法，

中班从剩余的8人中选4人，有C84种选法，

剩余的4人是晚班．

∴开幕式当天不同的排班种数为C1412C124C84．

故选A．

【点评】本题考查组合的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．

4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（　　）

A．6B．12C．15D．30

【分析】增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，原节目单不变，两个新节目不相邻，可以应用插空法来解，原来的5个节目形成6个空，新增的两个节目插到6个空中，得到结果．

【解答】解：

∵增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，

且两个新节目不相邻，

∴可以应用插空法来解，

原来的5个节目形成6个空，新增的两个节目插到6个空中，共有A62=30

故选D．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一个不相邻问题，这种问题一般采用插空法，本题原来的元素顺序不变不用排列，有的题目需要先排原来的，再在形成的空中排列新元素，再根据分步计数原理得到结果．

5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（　　）

A．C124C84C44种B．3C124C84C44种

C．C124C84A33种D．

种

【分析】首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组，从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这些数相乘再除以3个元素的全排列，再把这三个小组作为三个元素分到三个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原理得到结果．

【解答】解：

首先把12个人平均分成3组，共有

个小组，

再把这三个小组作为三个元素分到三个路口，这样就有一个全排列，

共有A33种结果，

根据分步计数原理知共有

A33=C124C84C44

故选A．

【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．

6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（　　）

A．480B．240C．120D．96

【分析】由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果．

【解答】解：

由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素共有C52，

这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44，

∴分法种数为C52•A44=240．

故选B．

【点评】排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．

7．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（　　）

A．120个B．480个C．720个D．840个

【分析】由题意知本题所给的单词除去要求的两个之外还有6个，因为要取5个字母，所以好要从6个字母中选三个，把要求的两个字母看成一个元素，这样有四个元素进行排列．

【解答】解：

要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果，

再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480，

故选B．

【点评】排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查．

8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（　　）

A．36个B．24个C．18个D．6个

【分析】各位数字之和为奇数的有两类：

一是两个偶数一个奇数：

有C31A33种结果，所取得三个都是奇数：

有A33种结果，根据分类计数原理得到结果．

【解答】解：

由题意知本题是一个分类计数问题，

各位数字之和为奇数的有两类：

①两个偶数一个奇数：

有C31A33=18个；

②三个都是奇数：

有A33=6个．

∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．

故选B．

【点评】本题考查分类计数问题，是一个数字之和是奇数还是偶数的问题，数字问题是排列组合与计数原理的主角，经常出现，并且常出常新．

9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（　　）

A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种

【分析】依题意，优先分析甲甲工程队，除1号子项目外有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，由排列公式可得其情况数目，根据乘法原理，分析可得答案．

【解答】解：

根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，

其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，

根据乘法原理，分析可得有C41A44种情况；

故选B．

【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．

10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（　　）

A．24种B．18种C．12种D．6种

【分析】根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案．

【解答】解：

∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，

在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，

∴种法共有C32•A33=18种，

故选B．

【点评】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解．

11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　）

A．24B．18C．12D．6

【分析】分类讨论：

从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．

【解答】解：

从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有

=6种；

从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有

=6种；

2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有

=6种；

故共有3

=18种

故选B．

【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．

12．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）

A．324B．328C．360D．648

【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．

【解答】解：

由题意知本题要分类来解，

当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，

因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256

当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，

共有9×8×1=72

根据分类计数原理知共有256+72=328

故选B

【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．

13．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（　　）

A．8B．24C．48D．120

【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．

【解答】解：

由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有A21=2种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．

故选C．

【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题．

14．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（　　）

A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P943

【分析】在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C943，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的．

【解答】解：

在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，

共有C1003种结果，

至少有1件次品的对立事件是没有次品，

没有次品的事件有C943，

∴至少有1件次品的不同取法有C1003﹣C943，

故选C．

【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加．

15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（　　）

A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72

【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．

【解答】解：

用插空法解决的排列组合问题，

将所有学生先排列，有A88种排法，

然后将两位老师插入9个空中，

共有A92种排法，

∴一共有A88A92种排法．

故选A．

【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．

16．若（1+

）5=a+b

（a，b为有理数），则a+b=（　　）

A．45B．55C．70D．80

【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b

【解答】解析：

由二项式定理得：

（1+

）5=1+C51

+C52（

）2+C53（

）3+C54（

）4+C55•（

）5

=1+5

+20+20

+20+4

=41+29

，

∴a=41，b=29，a+b=70．

故选C

【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．

二．填空题（共10小题）

17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　96　．

【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．

【解答】解：

5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：

1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×

=96种．

故答案为：

96．

【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．

18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　36　种．

【分析】分3步进行分析：

①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．

【解答】解：

先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有

种方法，而A、B可交换位置，所以有2

=48种摆法，

又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2

=12种摆法，

故满足条件的摆法有48﹣12=36种．

故答案为：

36．

【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．

19．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有　14　个．（用数字作答）

【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．

【解答】解：

由题意知本题是一个分类计数问题，

首先确定数字中2和3的个数，

当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，

当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，

当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，

根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，

故答案为：

14

【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．

20．

的展开式中常数项为　10　；各项系数之和为　32　．（用数字作答）

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为0求出展开式的常数项；

令二项式中的x等于1求出各项系数和．

【解答】解：

，

由10﹣5r=0得r=2，

故展开式中常数项为C52=10；

取x=1即得各项系数之和为（1+1）5=32．

故答案为10，32．

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查求展开式的系数和问题常用的方法是赋值法．

21．在

的展开式中，x2的系数为　﹣14　（用数字作答）．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，求出r，代入通项求出展开式中x2的系数．

【解答】解：

展开式的通项

令

得r=1

故x2的系数为（﹣2）×C71=﹣14

故答案为﹣14

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

22．若

展开式的各项系数之和为32，则n=　5　，其展开式中的常数项为　10　．（用数字作答）

【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10．

【解答】解：

∵展开式的各项系数之和为32

∴2n=32解得n=5

展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣5r

当r=2时，常数项为C52=10．

故答案为5，10．

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．

23．

展开式中的常数项是　210　．

【分析】写出通项公式

，令x的系数为0，求出k的值，即可写出常数项．

【解答】解：

令

，得k=6，

所以

展开式中的常数项是T7=C106（﹣1）6=210

故答案为：

210

【点评】本题考查二项式定理的通项的应用，属基本题型、基本方法的考查．

24．在（1﹣2x）6的展开式中，x2的系数为　60　．（用数字作答）

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．

【解答】解：

（1﹣2x）6的展开式中，通项公式Tr+1=

（﹣2x）r=（﹣2）r

xr，

令r=2，则x2的系数=

=60．

故答案为：

60．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

25．在（2+x）5的展开式中，x3的系数为　40　（用数字作答）

【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．

【解答】解：

（2+x）5的展开式的通项公式为：

Tr+1=

25﹣rxr，

所求x3的系数为：

=40．

故答案为：

40．

【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．

26．在

的展开式中，x3的系数是　84　．（用数字作答）

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得到x3的系数．

【解答】解：

，

令7﹣2r=3，

解得r=2，

故所求的系数为（﹣2）2C72=84

故答案为84

【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题．